Funzioni di pi` u variabili: matrice hessiana, direzioni di crescita e di decrescita

(1)

Derivate parziali Restrizione di una funzione

Funzioni di pi` u variabili: matrice hessiana, direzioni di crescita e di decrescita

Lezione del 12 novembre 2018

Matematica generale. Corso A

(2)

Vettore Gradiente Matrice Hessiana

Il vettore avente per componenti le derivate parziali della funzione

`e dettogradiente della funzione ed `e denotato con

∇f(x, y) =

∂f

∂x(x, y),∂f

∂y(x, y)

T

Esempio

a) Calcolare il gradiente di f(x, y) =x³+2y²−7xy². b) Calcolare il gradiente di f nel punto(_5,−1)

a) La derivata parziale rispetto ad x è: ^∂f_∂x(x⁰, y⁰) =3x²−7y². La derivata parziale rispetto ad y è: ^∂f_∂y(x⁰, y⁰) =4y−14xy . Il vettore gradiente è dato da∇f(x, y) =

3x²−7y² 4y−14xy

b)∇f(5,−1) =

∂f

∂x(5,−1)

∂f

∂y(_5,−1)

!

=

3∗25−7

−4+70

=

68 66

(3)

∇f(x, y) =

∂f

∂x(x, y),∂f

∂y(x, y)

T

Esempio

a) La derivata parziale rispetto ad x è: ^∂f_∂x(x⁰, y⁰) =3x²−7y². La derivata parziale rispetto ad y è: ^∂f_∂y(x⁰, y⁰) =4y−14xy . Il vettore gradiente è dato da∇f(x, y) =

3x²−7y² 4y−14xy

b)∇f(5,−1) =

∂f

∂x(5,−1)

∂f

∂y(_5,−1)

!

=

3∗25−7

−4+70

=

68 66

(4)

∇f(x, y) =

∂f

∂x(x, y),∂f

∂y(x, y)

T

Esempio

a) La derivata parziale rispetto ad x `e: ^∂f_∂x(x⁰, y⁰) =3x²−7y². La derivata parziale rispetto ad y `e: ^∂f_∂y(x⁰, y⁰) =4y−14xy .

Il vettore gradiente `e dato da∇f(x, y) =

3x²−7y² 4y−14xy

b)∇f(5,−1) =

∂f

∂x(5,−1)

∂f

∂y(_5,−1)

!

=

3∗25−7

−4+70

=

68 66

(5)

∇f(x, y) =

∂f

∂x(x, y),∂f

∂y(x, y)

T

Esempio

a) La derivata parziale rispetto ad x è: ^∂f_∂x(x⁰, y⁰) =3x²−7y². La derivata parziale rispetto ad y è: ^∂f_∂y(x⁰, y⁰) =4y−14xy . Il vettore gradiente è dato da ∇f(x, y) =

3x²−7y² 4y−14xy

b)∇f(5,−1) =

∂f

∂x(5,−1)

∂f

∂y(_5,−1)

!

=

3∗25−7

−4+70

=

68 66

(6)

∇f(x, y) =

∂f

∂x(x, y),∂f

∂y(x, y)

T

Esempio

a) La derivata parziale rispetto ad x è: ^∂f_∂x(x⁰, y⁰) =3x²−7y². La derivata parziale rispetto ad y è: ^∂f_∂y(x⁰, y⁰) =4y−14xy . Il vettore gradiente è dato da ∇f(x, y) =

3x²−7y² 4y−14xy

b)∇f(_5,−1) =

∂f

∂x(5,−1)

∂f

∂y(5,−1)

!

=

3∗25−7

−4+70

=

68 66

(7)

Sia f : A→_{R con A}⊂_R², una funzione derivabile parzialmente in ogni punto (x, y) ∈A.

Se ogni derivata parziale `e a sua volta derivabile rispetto a x ed a y, si dice che f ammettederivate parziali seconde.

La derivata parziale di ∂f

∂x rispetto alla variabile x `e denotata con ∂²f

∂x² oppure con f_x_,x. La derivata parziale di ∂f

∂y rispetto alla variabile y `e denotata con ∂²f

∂y² oppure con f_y,y. Le derivate ∂²f

∂x² e ∂²f

∂y² sono dette derivate parziali seconde pure.

(8)

∂x² oppure con f_x,x.

∂x² e ∂²f

(9)

∂x² oppure con f_x,x. La derivata parziale di ∂f

∂x² e ∂²f

(10)

∂x rispetto alla variabile y `e denotata con ∂²f

∂x ∂y oppure con f_x,y.

∂y rispetto alla variabile x `e denotata con ∂²f

∂y ∂x oppure con f_y,x. Le derivate ∂²f

∂y ∂x e ∂²f

∂x ∂y sono dette derivate parziali seconde miste.

Una funzione che ammette derivate parziali prime e seconde continue `e detta di classe C². Per essa si ha che

∂²f

∂x ∂y = ^∂

2f

∂y ∂x .

(11)

∂x ∂y oppure con f_x,y. La derivata parziale di ∂f

∂y ∂x oppure con f_y,x.

Le derivate ∂²f

∂y ∂x e ∂²f

∂²f

∂x ∂y = ^∂

2f

∂y ∂x .

(12)

∂y ∂x e ∂²f

∂²f

∂x ∂y = ^∂

2f

∂y ∂x .

(13)

∂y ∂x e ∂²f

∂²f

∂x ∂y = ^∂

2f

∂y ∂x .

(14)

Le derivate parziali seconde possono essere raccolte nella seguente matrice, dettamatrice Hessiana,

H(x, y) =

fx,y f_x,y fy,x f_y,y

La matrice Hessiana di una funzione di classe C² `e simmetrica.

Esempio

a) Calcolare la matrice Hessiana di f(x, y) =x³+2y²−7xy². b) Calcolare la matrice Hessiana di f nel punto (5,−1)

a) Ricordando che∇f(x, y) = 3x²−7y², 4y−14xyT

, si ha:

H(x, y) =

6x −14y

−14y 4x

b) H(5,−1) =

30 14 14 4

(15)

Esempio

a) Calcolare il gradiente e la matrice Hessiana di f(x, y) =log(2x+y) +y³.

b) Calcolare il gradiente e la matrice Hessiana di f nel punto(1, 0). Svolgimento a)∇f(_{x, y}) =_2x¹₊_y_2,_2x¹₊_y +3y²

T

e

H(x, y) =

"

2₍_2x⁻₊²_y₎2 2₍_2x⁻₊¹_y₎2

−2

(2x+y)² 2₍_2x⁻₊¹_y₎2 +6y

#

b)∇f(1, 0) = ¹₂2,¹₂T

= (1,¹₂)^T H(1, 0) =

"

2₍⁻₂₎²2 2₍⁻₂₎¹2

−2

(2)² 2₍⁻₂₎¹2

#

=

−1 −¹₂

−¹₂ −¹₂

(16)

Concetto di restrizione di una funzione su un insieme Restrizione di una funzione su una semiretta Direzione di crescita e decrescita

Data una funzione f : X →_{R, con X} ⊂_R², il suo grafico G_f `e un sottoinsieme diR³, ovvero

G_f = {(x, y , z) ∈_R³ _:(_{x, y}) ∈X, z =f(_{x, y})}

(17)

Data la funzione f(x, y) = −x²+3x−y²+5y+450, calcolare il valore di f nel punto(6,−5)significa sostituire nella funzione x=6 e y = −5, ovvero

f(6,−5) =6²+3∗ (6) − (−5)²+5(−5) +450=382.

B=(6,-5,382)

A=(6,-5) A=(6,-5) punto del dominio di f

B=(6,-5,382) punto del grafico di f

(18)

Data f : X ⊆_Rⁿ →_{R, la} restrizionedi f su un sottoinsieme A⊂X `e la funzione ottenuta valutando f sui soli punti di A.

Determinare la restrizione di f lungo una retta di equazione x =k, significa valutare f nei punti di coordinate (k, y), con y ∈X . f(k, y)`e una funzione nella sola variabile y , denotata con ϕ(y).

Esempio:la restrizione di f(x, y) = −x²+3x−y²+5y+450 sulla retta di equazione x =10 `e la funzione

ϕ(y) =f(10, y) = −100+30−y²+5y+450= −y²+5y+380.

(19)

ϕ(y) =f(10, y) = −100+30−y²+5y+450= −y²+5y+380.

(20)

ϕ(y) =f(10, y) = −100+30−y²+5y+450= −y²+5y+380.

(21)

ϕ(y) =f(10, y) = −100+30−y²+5y+450= −y²+5y+380.

(22)

Determinare la restrizione di f lungo una retta di equazione y =k, significa valutare f nei punti di coordinate(x, k), con x ∈X . f(x, k)`e una funzione nella sola variabile x , denotata con ϕ(x).

Esempio:la restrizione di f(x, y) = −x²+3x−y²+5y+450 sulla retta di equazione y =8 `e la funzione

ϕ(x) =f(x, 8) = −x²+3x− (−8)²+5(−8) +450=

−x²+3x+426.

(23)

ϕ(x) =f(x, 8) = −x²+3x− (−8)²+5(−8) +450=

−x²+3x+426.

(24)

ϕ(x) =f(x, 8) = −x²+3x− (−8)²+5(−8) +450=

−x²+3x+426.

(25)

Ricordiamo che l’equazione parametrica di una retta di direzione d = (d1, d2)passante per il punto (x⁰, y⁰)`e

x(t) =x⁰+td1

y(t) =y⁰+td₂ t ∈_R

Determinare la restrizione di una funzione f :R² →_{R lungo} la retta di equazione (x(t)_{, y}(t))significa valutare f nei punti di coordinate(x⁰+td₁, y⁰+td₂), con t ∈R. La restrizione `e una funzione nella sola variabile t, denotata con ϕ(t).

(26)

x(t) =x⁰+td1

y(t) =y⁰+td₂ t ∈_R

(27)

x(t) =x⁰+td1

y(t) =y⁰+td₂ t ∈_R

(28)

Esempio

Data la funzione f(x, y) = −x²+3x−y²+5y+450, determinare la restrizione di f , ϕ(t)lungo la retta di direzione d = 1,¹₂, passante per (x⁰, y⁰) = (4, 3).

Soluzione: l’equazione della retta `e:

x(t) =4+t

y(t) =3+¹₂t t ∈_R

La restrizione di f(x,y) = −x²+3x−y²+5y+450 sulla retta di equazionex(t) =4+t,y(t) =3+ ¹₂t `e la funzione

ϕ(t) = f(4+t,3+ ¹₂t)

= −(4+t)²+3(4+t) − (3+¹₂t)²+5(3+ ¹₂t) +450

= −⁵₄t²−¹¹₂ t+452.

(29)

Ricordiamo che l’equazione parametrica di una semiretta di direzione d = (d₁, d2)uscente dal punto (x⁰, y⁰)`e

x(t) =x⁰+td₁ y(t) =y⁰+td₂ t ≥0

Determinare la restrizione di una funzione f :R² →_{R lungo} la semiretta di equazione (x(t), y(t)) significa valutare f nei punti di coordinate(x⁰+td₁, y⁰+td₂), con t ≥0. La restrizione `e una funzione nella variabile t, denotata con ϕ_d(t).

(30)

Esempio

Data f(x, y) = −x²+3x−y²+5y+450, determinare:

a) la restrizione di f , ϕd(t) lungo la semiretta uscente da (x⁰, y⁰) = (6,−5)e di direzione d = (−1, 1).

b) la restrizione di f , ϕu(t)lungo la semiretta uscente da (x⁰, y⁰) = (6,−5)e di direzione u= (3, 1).

Soluzione: a) La restrizione di f(x,y)sulla semiretta di equazionex(t) =6−t,y(t) = −5+t, t ≥0 `e la funzione

ϕd(t) = f(6−t,−5+t)

= −(6−t)²+3(6−t) − (−5+t)²+5(−5+t) +450

= −2t²+24t+382.

Soluzione b). La restrizione di f(x,y)sulla semiretta di equazionex(t) =6+3t,y(t) = −5+t `e la funzione

ϕu(t) = f(6+3t,−5+t)

= −(6+3t)²+3(6+3t) − (−5+t)²+5(−5+t) +450

= −10t²−12t+382.

(31)

Graficamente si ha:

In figura, la semiretta di direzione d = (−1, 1)`e colorata di rosso, mentre quella di direzioneu = (3, 1)`e blu.

Partendo da (6,−5) e muovendoci “di poco” lungo la direzione d = (−1, 1), il valore di f aumenta.

Partendo da (6,−5) e muovendoci “di poco” lungo la direzione u = (3, 1), il valore di f diminuisce.

d `e dettadirezione di crescita locale uscente da(6,−5) u `e dettadirezione di decrescita locale uscente da(6,−5).

(32)

Graficamente si ha:

Partendo da (6,−5)e muovendoci “di poco” lungo la direzione d = (−1, 1), il valore di f aumenta.

Partendo da (6,−5) e muovendoci “di poco” lungo la direzione u = (3, 1), il valore di f diminuisce.

(33)

Graficamente si ha:

Partendo da (6,−5)e muovendoci “di poco” lungo la direzione u = (3, 1), il valore di f diminuisce.

(34)

Graficamente si ha:

Partendo da (6,−5)e muovendoci “di poco” lungo la direzione u = (3, 1), il valore di f diminuisce.

(35)

Sia f :R²→R una funzione differenziabile

s la semiretta di origine(x⁰, y⁰)e di direzione d= (d₁, d2), d 6=0.

Sia ϕ_d(t) =f(x⁰+td₁, y⁰+td₂), t≥0 la restrizione di f su s.

d `e una direzione di crescita locale se esiste e>0 tale che ϕ_d(t) >ϕ_d(0)per ogni t ∈ (_{0, e})

o, equivalentemente, se

f(x⁰+td1, y⁰+td2) >f(x⁰, y⁰)per ogni t ∈ (0, e).

(36)

Sia f :R²→R una funzione differenziabile

s la semiretta di origine(x⁰, y⁰)e di direzione d= (d₁, d2), d 6=0.

Sia ϕ_d(t) =f(x⁰+td₁, y⁰+td₂), t≥0 la restrizione di f su s.

d `e unadirezione di decrescitalocale se esiste e>0 tale che ϕ_d(t) <ϕ_d(0)per ogni t ∈ (_{0, e})

o, equivalentemente, se

f(x⁰+td1, y⁰+td2) <f(x⁰, y⁰)per ogni t ∈ (0, e).