Astronomia
Lezione 2/12/2011
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/
Libri di testo:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.
Ostlie, Addison Wesley
- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books
- Elementi di Astronomia, P. Giannone.
L’interno delle Stelle
Considerando:
Abbiamo:
Che dividendo per A fornisce:
Otteniamo infine l’equazione per l’equilibrio idrostatico:
Deve esistere un gradiente di pressione per controbilanciare la forza di gravita’
Prima equazione fondamentale della struttura stellare..
Equilibrio Idrostatico
Conservazione della Massa
Per una stella a simmetria sferica, consideriamo un guscio di spessore dr a distanza r dal centro.
Se dr << r allora il volume del guscio sara’ dato da:
La massa nel guscio sara’:
Dove la densita’ e’ la densita’ a distanza r dal centro.
Riarrangiando si ottiene:
Che stabilisce come la massa vari allontandosi dal centro.
Questa e’ la seconda equazione fondamentale della struttura stellare.
La massa media delle particelle di un gas non e’ facile da calcolare perche’ tiene conto Anche degli elettroni ed e’ quindi necessario sapere quali sono gli atomi ionizzati o meno Il calcolo si semplifica quando tutti gli atomi sono neutri o tutti ionizzati.
Quando sono neutri possiamo scrivere:
Dividendo per la massa dell’atomo di idrogeno e definendo Si ha:
Mentre se gli atomi sono tutti ionizzati:
Dove zj tiene conto degli elettroni tutti strappati ad ogni atomo (si assumono con massa nulla al numeratore).
Peso Molecolare Medio
Quindi nel caso neutro abbiamo:
Ricordando che A e’ la massa della particella diviso la massa dell’idrogeno:
Per il Sole:
Nel caso completamente ionizzato abbiamo invece:
Che possiamo scrivere come:
Ora dato che per elementi pesanti z>>1 e che gli atomi hanno lo stesso numero di neutroni e protoni (ed elettroni strappati) si ha:
Nel caso di stelle con abbondanze Si ha
Sorgenti di Energia per le Stelle
Cosa fornisce alle Stelle l’energia necessaria per mantenere l’equilibrio ? Proviamo prima con solo l’energia potenziale gravitazionale:
Se prendiamo un guscio di massa dm distante r dal centro si ha:
E quindi l’energia potenziale e’ data da:
Assumendo una densita’ costante si ha
Da cui (ricordarsi che per il teorema del viriale l’energia totale e’ meta’ di quella potenziale)
Equazione di stato
L’equazione di stato trovata e’ valida per i gas ideali. Se pero’ andiamo in limite relativistico (m<<T) allora non e’ piu’ chiaramente valida.
In quel caso la distribuzione segue o una statistica di Bose-Einstein (per i cosidetti
Bosoni quali i fotoni) o una statistica di Fermi-Dirac (per i fermioni quali elettroni, protoni, neutroni, etc). Per i fermioni vale il principio di esclusione di Pauli, per i bosoni no.
Nel caso in cui si considerino fotoni abbiamo che l’integrale di pressione si puo’
scrivere come:
Considerando che l’impulso di un fotone e’ dato da e avendo preso c come velocita’ delle particelle nell’integrale. Si ha quindi:
e utilizzando la
distribuzione di corpo nero:
Quello che si ha normalmente e’ quindi la somma di due componenti:
Scala di Kelvin-Helmholtz
Consideriamo ad esempio il Sole e supponiamo che questo sia nato da una nube molto Piu’ grande con l’energia rilasciata e’ dell’ordine di:
Supponendo che avvenga con luminosita’ costantte, tutto questo deve essere avvenuto In un tempo:
Detto scala temporale di Kelvin-Helmholtz.
Questo fissa un limite superiore all’eta’ del Sole che e’ ovviamente sbagliato dato che, ad esempio, la luna sarebbe 100 volte piu’ vecchia.
Quindi non e’ solo l’energia gravitazionale quella responsabile.
Energia Nucleare
Chiaramente la forma di energia che sostiene le stelle e’ di tipo nucleare.
Le energie in gioco nella fusione dei nuclei sono dell’ordine del MeV , quindi Molto maggiori rispetto a quelle delle orbite degli elettroni (eV).
Per i nuclei Z indica il numero di protoni, N il numero di neutroni (isotopi) e A il numero di nucleoni A=Z+N.
Per l’idrogeno N=1, il deuterio N=2, il trizio N=3. Z=1.
Le masse delle particelle sono:
Dove
In un processo di fusione, quattro nuclei di idrogeno posso produrre un nucleo di Elio. La massa del nucleo di Elio e’ minore della somma delle masse dei nuclei di Idrogeno per il 0.7%. Una energia di circa 26.731 MeV detta energia di legame del nucleo di Elio. Questa e’ l’energia che serve alla struttura della stella.
Che temperatura e’ necessaria per avere la fusione ? Caso classico:
Troppo alta Caso Quantistico:
OK!!!
Picco di Gamow
Ci dice a quale energia si ha la massima probabilita’ di una fusione. E’ la moltiplicazione Tra la distribuzione di Maxwell (in energia) e l’energia necessaria a superare la barriera coulombiana dei nuclei.
George Gamow (1904-1968)
Nato in Ucraina, naturalizzato americano. Uno dei piu’ grandi fisici del 20simo secolo.
Guardate il libretto di Mr. Tompkins sulla relativita’ ristretta.
Gradiente di Luminosita’
Lr e’ la luminosita’ interna.
L’equazione connette la densita’ di energia emessa per unita’ di tempo con la distanza dal centro.
Quali sono i processi nucleari ?
Nucleosintesi: processo di formazione dei nuclei piu’ pesanti dell’idrogeno.
Nucleosintesi primordiale: e’ un processo in funzione nei primi tre minuti di vita del nostro universo dopo il Big Bang. Porta essenzialmente alla formazione di Elio.
(75% Idrogeno, 25% Elio). Vi sono anche tracce di Deuterio ed altri elementi Leggeri (Litio). La studierete il prossimo anno.
Nucleosintesi stellare: porta alla formazione di tutti gli elementi piu’ pesanti.
Leggi di Conservazione
• Nei processi che andremo a studiare si devono conservare:
– La carica totale
– Il numero di leptoni (leptoni: elettroni e neutrini)
contando come positiva la materia e negativa l’antimateria.
(elettroni, neutrini materia; positroni e antineutrini sono antimateria)
I nuclei andremo a scriverli come:
A numero di massa (protoni e neutroni), Z numero di protoni, X specie chimica.
Catena Protone-Protone
Quattro nuclei di Idrogeno vanno a formare un nucleo di Elio, due positroni, due neutrini elettronici e due fotoni:
Come ci si arriva ? Catena protone-protone. (PPI)
Lo step piu’ lento nella catena e’ il primo perche’ coinvolge il decadimento di un protone:
Catena Protone-Protone
Questa pero’ e’ solo una via per produrre l’Elio. Una volta che abbiamo l’Elio3 dal secondo passo della catena precedentte si puo’ formare Elio anche seguendo:
detta catena PPII.
Vi e’ anche la possibilita’ seguente una volta formatosi il berillio:
Detta catena PPIII.
Catena Protone-Protone
Essenzialmente i processi sono PPI (69%) e PPII (31%) e 0.3% PPIII
La formula per l’energia emessa dalla catena PP e’ di questa forma:
Dove
Fattore di screening:
Fattore che tiene Conto dei vari rami:
Correzioni varie:
Esprimendo il tutto a legge di potenza intorno ad una temperatura di (temperatura alla quale si ha il picco di Gamow) si ha:
con
Quindi una dipendenza dalla temperatura alla quarta potenza (vedremo che non e’
molto).
Energia nucleare emessa da catena PP
e temperatura
Scoperto da Hans Bethe (1906-2005) nel 1938, produce Elio a partire dal carbonio.
Anche qui abbiamo due rami, il primo e’:
Mentre il secondo ramo (che parte dal secondo processo della catena) accade solo lo 0.04%
Delle volte ed e’:
Catena CNO
Andamento dalla Temperatura
Dipende molto di piu’ dalla temperatura.
Bassa temperatura: domina il PP.
Alta temperatura: domina il CNO.
Mano a mano che l’idrogeno viene convertito, aumenta il peso molecolare medio,
diminuisce la pressione, la stella collassa, la temperatura incrementa e la stella «brucia»
l’elemento sempre di piu’.
Ciclo tre-alfa
Produciamo Carbonio a partire da Elio:
Dipendenza enorme dalla temperatura !!
Combustione Carbonio e Ossigeno:
