Esercizio 4 Risolvere il circuito usando i principi di Kirchhoff.

(1)

1

Esercizio 4

Risolvere il circuito usando i principi di Kirchhoff.

Svolgimento

Stabiliamo i versi delle tensioni e delle correnti (orientiamo il circuito).

Scriviamo le equazioni in base ai principi di Kirchhoff.

{

−

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝐵

𝐸 ₁ + 𝑅 ₁ I ₁ + 𝑅 ₂ 𝐼 ₂ − 𝐸 ₂ = 0 𝑆𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑙𝑖𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 ₂ − 𝑅 ₂ 𝐼 ₂ − 𝑅 ₃ 𝐼 ₃ + 𝐸 ₃ = 0 𝑆𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑙𝑖𝑎 𝐶𝐵𝐸𝐹 Abbiamo un sistema di tre equazioni in tre incognite. Sostituiamo i valori numerici.

{

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂

−10 + 47𝐼 ₁ + 56𝐼 ₂ − 15 = 0 15 − 56𝐼 ₂ − 27𝐼 ₃ + 20 = 0 Risolviamo il sistema.

Consideriamo la seconda e la terza equazione e portiamo i termini contenenti le incognite a primo membro ed i termini noti a secondo membro:

{

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂ 47𝐼 ₁ + 56𝐼 ₂ = 10 + 15 56𝐼 ₂ + 27𝐼 ₃ = 15 + 20

→ {

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂

47𝐼 ₁ + 56𝐼 ₂ = 25

56𝐼 ₂ + 27𝐼 ₃ = 35

(2)

2 Troviamo la corrente I ₂ dalla seconda equazione e sostituiamola nella terza:

{

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂

𝐼 ₂ = 25 − 47𝐼 ₁ 56 56 25 − 47𝐼 ₁

56 + 27𝐼 ₃ = 35

Sostituiamo l’espressione della corrente I 2 nella prima equazione e facciamo i calcoli:

{

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 25 − 47𝐼 ₁ 56 𝐼 ₂ = 25 − 47𝐼 ₁

56 25 − 47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 35

→

{

56𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃

56 = 25 − 47𝐼 ₁ 56 𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃

42 −47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 35 − 25 →

{

56𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25 − 47𝐼 ₁

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 10

{

56𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ + 47𝐼 ₁ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 10

→ {

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 10

Troviamo la corrente I1 dalla prima equazione e sostituiamola nella terza:

{

𝐼 ₁ = 25 − 56𝐼 ₃ 103 𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃

42 −47 25 − 56𝐼 ₃

103 + 27𝐼 ₃ = 10

→

{

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−1175 + 2632𝐼 ₃ + 2781𝐼 ₃

103 = 1030

103 Facciamo i calcoli:

{

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−1175 + 5413𝐼 ₃ = 1030

→ {

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

5413𝐼 ₃ = 1030 + 1175

(3)

3 Determiniamo la corrente I3 dalla terza equazione:

{

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42 𝐼 ₃ = 2205

5413 = 0.41

Sostituiamo il valore trovato nella prima e nella seconda equazione e facciamo i calcoli:

{

103𝐼 ₁ + 56 ∙ 0.41 = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15 ∙ 0.41 42 𝐼 ₃ = 2205

5413 = 0.41

→

{

103𝐼 ₁ + 22.8 = 25

𝐼 ₂ = 20 − 6.1 42 𝐼 ₃ = 2205

5413 = 0.41

→ {

103𝐼 ₁ = 25 − 22.8 𝐼 ₂ = 0.33 𝐼 ₃ = 0.41

{

𝐼 ₁ = 25 − 22.8

103 = 0.02 𝐼 ₂ = 0.33 𝐼 ₃ = 0.41

Abbiamo trovato le tre correnti.

𝐼 ₁ = 0.02𝐴 𝐼 ₂ = 0.33𝐴 𝐼 ₃ = 0.41 Troviamo le tensioni applicando la legge di Ohm:

Esercizio 4 Risolvere il circuito usando i principi di Kirchhoff.

1

Esercizio 4

Risolvere il circuito usando i principi di Kirchhoff.

Svolgimento

Stabiliamo i versi delle tensioni e delle correnti (orientiamo il circuito).

Scriviamo le equazioni in base ai principi di Kirchhoff.

{

−

𝐼 1 + 𝐼 3 = 𝐼 2 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝐵

{

𝐼 1 + 𝐼 3 = 𝐼 2

−10 + 47𝐼 1 + 56𝐼 2 − 15 = 0 15 − 56𝐼 2 − 27𝐼 3 + 20 = 0 Risolviamo il sistema.

Consideriamo la seconda e la terza equazione e portiamo i termini contenenti le incognite a primo membro ed i termini noti a secondo membro:

{

𝐼 1 + 𝐼 3 = 𝐼 2 47𝐼 1 + 56𝐼 2 = 10 + 15 56𝐼 2 + 27𝐼 3 = 15 + 20

→ {

𝐼 1 + 𝐼 3 = 𝐼 2

47𝐼 1 + 56𝐼 2 = 25

56𝐼 2 + 27𝐼 3 = 35

2

Troviamo la corrente I 2 dalla seconda equazione e sostituiamola nella terza:

{

𝐼 1 + 𝐼 3 = 𝐼 2

𝐼 2 = 25 − 47𝐼 1 56 56 25 − 47𝐼 1

56 + 27𝐼 3 = 35

Sostituiamo l’espressione della corrente I 2 nella prima equazione e facciamo i calcoli:

{

𝐼 1 + 𝐼 3 = 25 − 47𝐼 1 56 𝐼 2 = 25 − 47𝐼 1

56

25 − 47𝐼 1 + 27𝐼 3 = 35

→

{

56𝐼 1 + 56𝐼 3

56 = 25 − 47𝐼 1 56 𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3

42

−47𝐼 1 + 27𝐼 3 = 35 − 25 →

{

56𝐼 1 + 56𝐼 3 = 25 − 47𝐼 1

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42

−47𝐼 1 + 27𝐼 3 = 10

{

56𝐼 1 + 56𝐼 3 + 47𝐼 1 = 25

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42

−47𝐼 1 + 27𝐼 3 = 10

→ {

103𝐼 1 + 56𝐼 3 = 25

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42

−47𝐼 1 + 27𝐼 3 = 10

Troviamo la corrente I1 dalla prima equazione e sostituiamola nella terza:

{

𝐼 1 = 25 − 56𝐼 3 103 𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3

42

−47 25 − 56𝐼 3

103 + 27𝐼 3 = 10

→

{

103𝐼 1 + 56𝐼 3 = 25

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42

−1175 + 2632𝐼 3 + 2781𝐼 3

103 = 1030

103

Facciamo i calcoli:

{

103𝐼 1 + 56𝐼 3 = 25

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42

−1175 + 5413𝐼 3 = 1030

→ {

103𝐼 1 + 56𝐼 3 = 25

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42

5413𝐼 3 = 1030 + 1175

3 Determiniamo la corrente I3 dalla terza equazione:

{

103𝐼 1 + 56𝐼 3 = 25

𝐼 2 = 20 − 15𝐼 3 42 𝐼 3 = 2205

5413 = 0.41

Sostituiamo il valore trovato nella prima e nella seconda equazione e facciamo i calcoli:

{

103𝐼 1 + 56 ∙ 0.41 = 25

𝐼 2 = 20 − 15 ∙ 0.41 42 𝐼 3 = 2205

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂ 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝐵

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂

−10 + 47𝐼 ₁ + 56𝐼 ₂ − 15 = 0 15 − 56𝐼 ₂ − 27𝐼 ₃ + 20 = 0 Risolviamo il sistema.

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂ 47𝐼 ₁ + 56𝐼 ₂ = 10 + 15 56𝐼 ₂ + 27𝐼 ₃ = 15 + 20

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂

47𝐼 ₁ + 56𝐼 ₂ = 25

56𝐼 ₂ + 27𝐼 ₃ = 35

Troviamo la corrente I ₂ dalla seconda equazione e sostituiamola nella terza:

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 𝐼 ₂

𝐼 ₂ = 25 − 47𝐼 ₁ 56 56 25 − 47𝐼 ₁

56 + 27𝐼 ₃ = 35

𝐼 ₁ + 𝐼 ₃ = 25 − 47𝐼 ₁ 56 𝐼 ₂ = 25 − 47𝐼 ₁

25 − 47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 35

56𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃

56 = 25 − 47𝐼 ₁ 56 𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 35 − 25 →

56𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25 − 47𝐼 ₁

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 10

56𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ + 47𝐼 ₁ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 10

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−47𝐼 ₁ + 27𝐼 ₃ = 10

𝐼 ₁ = 25 − 56𝐼 ₃ 103 𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃

−47 25 − 56𝐼 ₃

103 + 27𝐼 ₃ = 10

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−1175 + 2632𝐼 ₃ + 2781𝐼 ₃

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

−1175 + 5413𝐼 ₃ = 1030

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42

5413𝐼 ₃ = 1030 + 1175

103𝐼 ₁ + 56𝐼 ₃ = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15𝐼 ₃ 42 𝐼 ₃ = 2205

103𝐼 ₁ + 56 ∙ 0.41 = 25

𝐼 ₂ = 20 − 15 ∙ 0.41 42 𝐼 ₃ = 2205

103𝐼 ₁ + 22.8 = 25

𝐼 ₂ = 20 − 6.1 42 𝐼 ₃ = 2205

103𝐼 ₁ = 25 − 22.8 𝐼 ₂ = 0.33 𝐼 ₃ = 0.41

𝐼 ₁ = 25 − 22.8

103 = 0.02 𝐼 ₂ = 0.33 𝐼 ₃ = 0.41

𝐼 ₁ = 0.02𝐴 𝐼 ₂ = 0.33𝐴 𝐼 ₃ = 0.41 Troviamo le tensioni applicando la legge di Ohm:

𝑉 _𝑅

= 𝑅 ₁ 𝐼 ₁ = 47 ∙ 0.02 = 0.94𝑉 𝑉 _𝑅

= 𝑅 ₂ 𝐼 ₂ = 56 ∙ 0.33 = 18.48𝑉 𝑉 _𝑅

= 𝑅 ₃ 𝐼 ₃ = 27 ∙ 0.41 = 11.07𝑉