Compito di Geometria

Compito di Geometria

10/07/2018 tempo 2h 30m

Dr. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego

Si risolva l’esercizio 1 e a piacere uno degli esercizi 2 o 3.

Esercizio 1. Sia I l’intervallo unitario [0, 1], dotato della topologia euclidea e sia J l’intervallo [0, 1] dotato della topologia i cui aperti non banali sono gli intervalli della forma [0, k) con k ≤ 1 e k ∈ R. Si denoti poi con X lo spazio prodotto J × I.

(1) Si stabilisca se X soddisfa qualche assioma di separazione T_i con i = 0, . . . , 4.

(2) Si fornisca un esempio di sottoinsime infinito di X che sia compatto, ma non chiuso.

(3) Si considerino Z := {0, 1} × I e W := J × {0, 1} si stabilisca se sono connessi e/o connessi per archi.

(4) Si stabilisca se X `e 2-numerabile.

(5) Si consideri la relazione di equivalenza ∼ su X che identifica i lati oppos- ti nella stessa direzione ed `e banale altrove, cio`e (0, y) ∼ (1, y), ∀y ∈ I e (x, 0) ∼ (x, 1), ∀x ∈ J . Sia Y := X/ ∼ e S¹ ⊂ R² la circonferenza unita- ria con la topologia euclidea indotta. Si stabilisca se esiste una funzione continua non costante

f : S¹× S¹ −→ Y,

e in caso affermativo si definisca f esplicitamente.

Esercizio 2. In P² dotato della topologia usuale si considerino i sottoinsiemi:

A₁ := {(x : y : z) ∈ P²|x²+ y²− z² = 0};

A2 := {(x : y : z) ∈ P²|y = 0};

A₃ := {(x : y : z) ∈ P²|yu = x²};

A4 := {(x : y : z) ∈ P²|x²+ y² = 0};

A₅ := {(x : y : z) ∈ P²|(x²+ y²)(x − z) = 0};

Si calcolino i seguenti gruppi fondamentali π1(P²\ Ai, p) con i = 1, . . . 5.

Esercizio 3. Siano A := {(u, v) ∈ R²|0 < v < 2π} e A⁰ := {(u⁰, v⁰) ∈ R²|0 <

v⁰ < 2π}. Si considerino le applicazioni

P : A −→ R³, (u, v) 7→ (x, y, z), e

Q : A⁰ −→ R³, (u⁰, v⁰) 7→ (x, y, z), tali che:

1

P (u, v) = (Ch(u) cos(v), Ch(u) sin(v), u);

Q(u⁰, v⁰) = (u⁰cos(v⁰), u⁰sen(v⁰), v).

(1) Si provi che P e Q sono parametrizzazioni di due superfici regolari S ed S⁰.

(2) Si provi che l’applicazione ϕ : A −→ A⁰ tale che u⁰ = Sh(u), v⁰ = v, definisce un’isometria tra S ed S⁰ e si determini la natura dei punti di S e di S⁰.

(3) Si considerino le linee coordinate di S e di S⁰ e si stabilisca quali di esse sono curve piane.

(4) Si considerino le linee coordinate di S e di S⁰ e si stabilisca quali di esse sono geodetiche.

(5) Si determinino le linee asintotiche di S.

Esercizio 1 2 3 P

Punti 15 15 15 30

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