Compito di Geometria

Compito di Geometria

05/09/2018 tempo 2h 30m

Dr. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego

Si risolva l’esercizio 1 e a piacere uno degli esercizi 2 o 3.

Esercizio 1. Consideriamo la seguente famiglia T di sottoinsiemi di R A ∈ T ⇔ [x ∈ A ⇒ −x ∈ A]

(1) Dimostrare che T `e una topologia su R.

(2) Dimostrare che A ⊂ R `e aperto se e solo se A `e chiuso.

(3) Dimostrare che T non `e n`e pi`u fine n´e meno fine della topologia euclidea.

Si consideri ora Re l’insieme R dotato della topologia euclidea e sia Rc l’insieme R dotato della topologia cofinita.

(1) In Re×Rccon la topologia prodotto, si consideri il sottoinsieme Q = A\B dove

A = {(x, y) ∈ Re× Rc|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, B = {(x, y) ∈ Re× Rc|0 < x < 1, 0 < y < 1}.

Determinare l’interno, la chiusura e la frontiera di Q.

(2) Stabilire se la funzione f : Re× Rc−→ Re× Rc data da f (x, y) = (y, x)

`e un omeomorfismo.

(3) Stabilire se la funzione g : R^e× R^c −→ R^c× R^e data da g(x, y) = (y, x)

`e un omeomorfismo.

Esercizio 2. Sia Xn lo spazio topologico ottenuto da un poligono regolare di n lati identificando tutti i lati con la stessa orientazione.

(1) Dimostrare che Xn `e connesso per archi e che π1(Xn, x0) ∼= Z/nZ.

(2) Sia X lo spazio ottenuto da n dischi disgiunti identificandoli tutti attra- verso l’identit`a ai loro bordi. Si costruisca un rivestimento q : X −→ X_n. (3) Sia n un intero positivo pari e G = {k|2k ∈ Z/nZ}. Si costruisca un spazio

Y e un rivesitmento p : Y −→ X_n di X_n tale che p∗(π₁(Y, x₀)) = G.

Esercizio 3. Si consideri l’applicazione

ϕ : R² −→ R³, (u, v) 7→ (u − v, u + v, cos(u − v)).,

(1) Si provi che ϕ definisce una superficie regolare S e si determini la natura dei suoi punti.

(2) Si determinino le curvature e le direzioni principali di S nel punto ϕ(0, 0).

(3) Si considerino le due famiglie di curve C_h e D_k, tracciate su S, di equa- zioni: u = t, v = t + h; u = τ, v = −τ + k, al variare dei parametri reali h e k (t, τ ∈ R). Per ogni coppia di numeri reali (h, k) si determini il punto P_hk di intersezione tra C_h e D_k e si provi che C_h e D_k si tagliano ortogonalmente in Phk.

1

(4) Si provi che una delle due famiglie di curve del punto 3) `e costituita tutta da linee asintotiche per S.

Esercizio 1 2 3 P

Punti 15 15 15 30

Punti Raggiunti