Onde 2 6 novembre 2014 Principio di Huygens Riflessione e rifrazione, dispersione Intensita` delle onde riflesse e rifratte Birifrangenza, dicroismo Legge di Malus

Onde 2

6 novembre 2014

Principio di Huygens

Riflessione e rifrazione, dispersione Intensita` delle onde riflesse e rifratte Birifrangenza, dicroismo

Legge di Malus

Propagazione delle onde

• La descrizione del moto delle onde deve render conto dei fenomeni di propagazione sperimentalmente noti

– Riflessione – Rifrazione – Interferenza – Diffrazione

• Il principio di Hyugens-Fresnel permette di spiegare tali fenomeni

• Li dimostreremo nel caso della luce, ma le

considerazioni si possono estendere agli altri fenomeni

ondulatori

t

t+dt

• I punti che stanno su un fronte d’onda ad un istante t sono

sorgenti di onde sferiche elementari il cui inviluppo definisce il fronte d’onda all’istante t+dt

Principio di Huygens (PdH)

   

2 cos

1 



  Af  A ^ A

• NOTA: Le onde elementari hanno ampiezza massima nella direzione di propagazione dell'onda primaria e decrescente

all’aumentare dell’angolo a tra tale direzione e quella generica dell’onda elementare

• Nelle trattazioni piu` accurate si introduce quindi il fattore di obliquità f per l’ampiezza

3

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Definiamo come piano d’incidenza il piano individuato dalla direzione dell’onda (cioe` dei raggi) e dalla normale n alla superficie di separazione tra i due mezzi

• L’onda incidente che si propaga nel mezzo 1 (trasparente) genera un’onda riflessa che si propaga sempre nel mezzo 1

• La legge della riflessione stabilisce che anche il raggio riflesso giace sul piano d’incidenza e che l’angolo di incidenza i e quello di riflessione r sono uguali

i r 1

2

i r 

n

O

O’’ O’

1

S’’

S’

2

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Consideriamo un fronte d’onda O’’S’’ al tempo t0. Dopo un periodo T, esso si sarà spostato in O’S’ e così via

• I fronti dell’onda incidente distano 1=v1T ove v1 è la velocità di propagazione dell’onda luminosa nel mezzo 1

• Ciascun punto sulla superficie di separazione (in particolare O, O’, O’’) emette onde sferiche elementari

• L’onda che viene emessa da O al tempo t0+2T è in fase con l’onda emessa da O’ al tempo t0+T e con quella emessa da O’’ al tempo t0

5 5

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• L’inviluppo di queste onde sferiche è un fronte dell’onda piana riflessa

• I fronti dell’onda riflessa distano anch’essi  =v

T

• Quindi O’R’=OS’=  da cui segue l’uguaglianza degli angoli

O

O’’ O’

1 2

r i R’’

R’ S’’

S’

i

r 

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Se anche il mezzo 2 e` trasparente viene generata anche un’onda rifratta (o trasmessa) nel mezzo 2

• La legge della rifrazione (o di Snell, anche se scoperta da Ibn Sahl) stabilisce che anche il raggio trasmesso giace sul piano d’incidenza e che tra l’angolo di incidenza i e quello di trasmissione t vale la

relazione

7

• ove, per ciascun mezzo, ne` una costante caratteristica di valore maggiore di 1, detta indice di rifrazione

• L’angolo t e` minore di i se n2 > n1

i n

t

n

sin 

sin

i n i

t n sin sin sin

2

1





Caso n₂ > n₁

t 1

2

n i

Riflessione totale

• t e` invece maggiore di i se n

> n

:

• In tal caso, affinche’ il primo membro sia minore di 1, deve accadere che

• Ovvero

• Cio` significa che si puo` avere un’onda trasmessa nel mezzo con indice di

rifrazione minore solo se l’angolo i e`

minore di un angolo limite  (o uguale, in tal caso t = /2)

• Se i supera tale valore non c’e` onda trasmessa e si ha riflessione totale

1 sin

2

1

i 

n n

i n i

t n sin sin sin

2

1





1

sin

n i  n



i  arcsin n 

n

 ^{ }

1

n



Caso n₁ > n₂

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Applichiamo il PdH al mezzo 2

• I fronti dell’onda trasmessa distano 

=v

T ove v

è la velocità di propagazione dell’onda nel mezzo 2

• Valgono le relazioni

• Dividendo membro a membro e ricordando la distanza tra i fronti d’onda

9

O

O’’ O’

1

S’’

S’

2

t i

R’’ R’



O' R'  O'Osin t



OS'  O'Osini

i t sin sin

1

2







9

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi

• Esprimendo la lunghezza d’onda in termini di velocità

• Il rapporto a primo membro non dipende dagli angoli, ma solo dalla natura dei due mezzi, quindi

• Cioè la teoria ondulatoria della luce prevede che la

velocità sia minore nel mezzo relativo al minore dei due angoli i, t cioè nel mezzo con indice di rifrazione

maggiore



v

v

 sin t sini



v

v

 sin t

sini  n

n

 const.

Rifrazione

• Nel caso in cui il mezzo 1 sia il vuoto, l’indice di rifrazione vale 1 e la velocità vale c

• quindi da cui

• Anche nel caso in cui il mezzo sia aria (o un gas) l’indice di rifrazione vale circa 1

• Introducendo l’indice di rifrazione relativo tra due mezzi, la legge di Snell si può anche scrivere



n

n

sin t  n sin t  sini



c

v  n 1



v  c

n  c

11

Dispersione

• Sperimentalmente si constata che, a parità di angolo i,

l’angolo t dipende dalla frequenza (o equivalentemente dalla lunghezza d’onda) della luce

• Ciò equivale ad affermare che l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza dell’onda

• Questo è il ben noto esperimento della scomposizione della luce bianca con un prisma: le diverse componenti colorate della luce bianca vengono deviate ad angoli diversi, cioè vengono ‘disperse’

• Questo fenomeno non è limitato alla luce, ma è comune a tutte le onde

  ⁿ   ⁱ

t 1 sin

sin   

Dipendenza di n da 

• Normalmente per la luce visibile, n e` una funzione decrescente di 

• Ne segue che l’angolo di

trasmissione t aumenta con  e quindi per il rosso e` maggiore che per il viola

• Ovvero il raggio rosso e` deviato meno di quello viola rispetto al raggio incidente

13 V

R

t

t 

Ampiezza delle onde riflesse e rifratte

• Usando le eqq. di Maxwell si possono trovare le relazioni tra le ampiezze delle onde incidente, riflessa e trasmessa

• Tali relazioni sono diverse nel caso in cui l’onda sia polarizzata nel piano di incidenza  o in direzione perpendicolare 

i r

t

E_i E_r

E_t





E  E  || 

i r

t

E_i E_r

E_t

Ampiezza delle onde riflesse

• Il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico riflesso e quello incidente è, nei due casi

i r

t

E_i E_r

E_t





E  E  || 

i r

t

E_i E_r

E_t

 

 ^{i t} 

tg

t i tg E

E

i r



 

 

 









E_r E_i



 





  sin i

 

 

15

Intensità delle onde riflesse e rifratte

• Il rapporto delle intensità è dato dai coefficenti di riflessione di Fresnel

• Nel caso in cui il mezzo non sia assorbente, l’energia si distribuisce tra l’onda riflessa e quella trasmessa, per cui i coefficienti di trasmissione sono



R_  I_r I_i



 





 E_r E_i



 



 2

 tg²

 

 



R_  I_r I_i



 





 E_r E_i



 



 2

 sin²

 

 



T_ 1  R_



T_ 1  R_

Angolo di Brewster

polarizzazione per riflessione

• È un caso limite che si presenta quando il campo è

polarizzato nel piano di incidenza e gli angoli soddisfano la condizione i+t=/2 che comporta la divergenza del

denominatore di R_ e l’annullamento dell’onda riflessa

• L’angolo i=B corrispondente è detto angolo di Brewster

• Se l’onda incidente non è polarizzata, essa può comunque essere pensata come sovrapposizione di due onde, una con polarizzazione nel piano d’incidenza e l’altra in direzione

perpendicolare

• All’angolo di Brewster la prima componente è solo trasmessa e l’altra è sia riflessa che trasmessa, ciò significa che l’onda riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano d’incidenza



n  sini

sin t  sin_B

sin t  sin_B

sin





17

Riflessione di luce non polarizzata

• Per luce non polarizzata a ciascuna polarizzazione e`

associata meta` della potenza dell’onda

• Per il fascio riflesso abbiamo

• Ove R e` il coefficiente di riflessione per luce non polarizzata

R PR P R

PR PR

P P

P





    

2 2

1 2

1









Incidenza normale

• Cioè i=0, in tal caso r=t=0 e i rapporti delle ampiezze di riflessione diventano (*)

• e i coefficienti di riflessione

• (*) per dimostrarlo

1 1 1

1



 



 



 

n n i

n i

i n i

t i

t r

i

1 1



 

 

 

 n

n t

i t r

i



R_  R_  n 1 n 1



 



2

 

   

 

  ^{1 sin 11}

sin

sin 1

sin sin

sin

sin sin

sin sin sin sin

sin sin sin sin

lim

lim lim

lim

0

0 0

0



 



 



 

 



 



 



 



 



 

 











 



 









n n i n

i

i n

i t

i

t i

t t i t

i t i

t i t

i i

t i

t i t

i tg

t i t i

t i t i

t i tg t

i tg

t i r tg

i

i i

 i

19

Coefficienti di Fresnel

• In figura sono riportati i coefficienti in funzione dell’angolo di incidenza per i due casi n1<n2 e n₁>n₂

• Figura tratta da http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Fresnel

Polarizzazione

• Per un campo trasversale f, i gradi di libertà trasversali sono due e corrispondono alle componenti f

, f

• Supponiamo che abbia la forma

• Nel piano trasversale il vettore f oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -f

a f

e lungo z da -f

a f

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente

 ^{kx t}  ^{j f}  ^{kx t}  ^k

f t

x

f  ( , ) 

sin   ˆ 

sin   ˆ

f_y

f_z f

21

Polarizzazione

• Supponiamo che il campo f abbia forma

• Nel piano trasversale il vettore f descrive un cerchio di raggio f

• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di  /2, è detta polarizzata circolarmente

 ^{kx t}  ^{j f}  ^{kx t}  ^k

f t

x

f  ( , ) 

sin   ˆ 

cos   ˆ

f_y

f_z f

Birifrangenza

• Esistono sostanze, come la calcite e il quarzo, che sono otticamente anisotrope, cioè si comportano in modo

diverso a seconda della direzione in cui si propaga la luce

• Se un raggio di luce incide su una sostanza

birifrangente, esso può separarsi in due raggi, il raggio ordinario e quello straordinario

• I due raggi, polarizzati linearmente in direzioni

mutuamente perpendicolari, si propagano a velocità diverse e possono anche propagarsi in direzioni

diverse, a seconda dell’orientamento relativo tra il materiale e l’onda incidente

23 23

Birifrangenza

• Si possono introdurre due indici di rifrazione, uno per ciascun raggio: n

e n

, tenendo conto che l’indice di

rifrazione del raggio straordinario dipende dall’angolo tra un asse caratteristico del cristallo e il campo E

• Nota:

• Per l’onda straordinaria bisogna estendere il principio di Huygens, ammettendo che le onde elementari non siano più sferiche ma ellissoidali

• L’inviluppo di queste onde fornisce ancora il fronte d’onda e la direzione di propagazione, che però non è più perpendicolare al fronte d’onda

• La legge di Snell, in entrambe le sue parti, non è applicabile al raggio straordinario

Birifrangenza

• In un cristallo birifrangente esiste una direzione particolare in cui i due raggi si propagano alla stessa velocità; questa direzione è detta asse ottico della sostanza

• Se la luce incide parallelamente all’asse ottico, non accade nulla di insolito

• Se la luce incide con un certo angolo rispetto all’asse ottico, ma perpendicolarmente alla faccia del cristallo, i raggi si propagano in direzioni diverse

• Se si ruota il cristallo attorno alla direzione dell’onda, il raggio straordinario ruota nello spazio

asse ottico 25

raggio ordinario

raggio straordinario

25

Birifrangenza

• Se la luce incide perpendicolarmente alla faccia del cristallo e

all’asse ottico, i due raggi si propagano nella stessa direzione ma a velocità diversa

• Per conseguenza escono dal cristallo con una differenza di fase che dipende dallo spessore della lamina e dalla lunghezza d’onda 

della luce incidente

• In una lamina a quarto d’onda, lo spessore è tale che, all’uscita dal cristallo, lo sfasamento tra le onde (della particolare ) è /2

• Una lamina a quarto d’onda permette di creare un fascio polarizzato circolarmente partendo da uno polarizzato linearmente

raggio ordinario raggio straordinario

Assorbimento selettivo

• E` il fenomeno per cui in alcune sostanze (tormalina, erapatite)

l’assorbimento della luce dipende dalla sua polarizzazione

• Le molecole che formano tali sostanze sono allungate e permettono agli

elettroni di muoversi preferenzialmente in tale direzione, assorbendo l’onda incidente polarizzata parallelamente

27

• La componente perpendicolare non e` invece assorbita (gli elettroni non possono muoversi in questa direzione)

• Ne segue che se il materiale e` abbastanza spesso la componente parallela all’asse ottico viene eliminata e rimane solo quella

perpendicolare

• Rimane cosi’ definito un asse preferenziale del materiale, ortogonale all’asse ottico, detto asse di trasmissione

asse ottico

E||

E

onda incidente asse di

trasmissione

Polarizzazione

• Un polarizzatore a birifrangenza separa le due componenti di polarizzazione, mentre uno ad assorbimento ne elimina una delle due

• In entrambi i casi è possibile selezionare una delle

due polarizzazioni e poi studiarla con un secondo

polarizzatore, detto analizzatore

Legge di Malus

• Consideriamo un’onda di intensità I₀, incidente su un polarizzatore

• Supponiamo che sia polarizzata

linearmente col campo E in un piano parallelo al polarizzatore, ma inclinato di un’angolo  rispetto al suo asse

29

 E

• Possiamo immaginare l’onda incidente come composta da

un’onda polarizzata lungo l’asse con ampiezza Ecos e un’onda polarizzata in direzione perpendicolare con ampiezza Esin

• La componente parallela passa indisturbata, mentre quella perpendicolare viene assorbita

• L’intensità dell’onda che passa il polarizzatore è quindi ovvero

E cos



I  E² cos²





I

  

^

analizzatore

29

Legge di Malus

• Se l’onda incidente non è polarizzata, oltre il polarizzatore avremo – un’onda polarizzata parallelamente all’asse del polarizzatore – con intensità uguale a metà di quella incidente

• Infatti per un’onda non polarizzata le due componenti sono presenti con lo stesso peso e il polarizzatore ne elimina una



I  1 2 I

polarizzatore