Prove parziali per il corso di Analisi Matematica 2
Decima Prova Scritta 31/05/2001
Si consideri la funzione
f (x, y) = x4+ x2+ y2
A2 Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (0, 1) B2 Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2
C3 Determinare massimi e minimi assoluti di f su
D = {(x, y) ∈ R2: −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}
D3 Calcolare
Z Z
D
f (x, y)dxdy
Nona Prova Scritta 24/05/2001
Si consideri il sistema di equazioni differenziali
y0(x) = −y(x) + 2z(x) + ex z0(x) = 3y(x) + 4z(x)
A2 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato B3 Determinare tutte le soluzioni del sistema completo
C3 Determinare tutte le soluzioni del sistema omogeneo tali che y(0) = 0
D2 Scrivere un’equazione differenziale del secondo ordine equivalente al sistema dato
Ottava Prova Scritta 17/05/2001
Si consideri l’equazione
y00(x) − 5y0(x) + 6y(x) = e2x+ sin(x)
A2 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata B3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa
C3 Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea completa tali che y(0) = 0 D2 Scrivere un sistema differenziale lineare di primo ordine equivalente all’equazione data:
E2 Risolvere il sistema trovato al punto precedente
Settima Prova Scritta 10/05/2001
Si consideri il problema di Cauchy
1
y0(x) = 1 ln(y(x)) + 1 y(0) = a
A2 Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema dato, al variare di a.
B3 Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = e
C3 Disegnare il grafico della soluzione del problema di Cauchy dato per a = 1/over2e D2
Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy al variare di a
Sesta Prova Scritta 03/05/2001
Si consideri la funzione
f (x) = 1
√3
x − 1(ex− 1/e)
A4 Determinare gli intervalli in cui f `e integrabile (propriamente)
B3 Stabilire se f `e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = 1 C1 Stabilire se f `e integrabile in senso improprio in intervalli che contengono x = −1 D2 Stabilire se f `e integrabile in senso improprio su [3, +∞) oppure su (−∞, −5]
D2 Disegnare il grafico di
F (x) = Z x
0
f (t)dt
Quinta Prova Scritta 26/04/2001
Si consideri la funzione
f (x) =
1 x2+ 1−1
2 x ≤ 1 ln(x) 1 < x ≤ 2 x + a x > 2
A4 Disegnare il grafico di f e determinare a in modo che f ammetta primitiva su R B3 Calcolare una primitiva di f su R, per gli a per cui ci`o `e possibile
C1 Calcolare tutte le primitive di f su R, per gli a per cui ci`o `e possibile D2 Per a = 0, disegnare il grafico di F (x) =Rx
1 f (t)dt
Quarta Prova Scritta 05/04/2001
Si consideri la funzione
f (x) =
(1 x ≤ 1
x − 1 1 < x ≤ 2 0 x > 2
A4 Disegnare il grafico di f
B3 Calcolare,usando la geometria elementare, l’area A(x) della parte di piano delimitata dall’asse delle x, dall’asse delle y, dalla retta parallela all’asse delle y di ascissa generica x e dal grafico di f .
C1 Disegnare il grafico di A
2
D2 Calcolare le somme superiori e le somme inferiori di f sull’intervallo [1, 2] relativamente alla partizione
Pn= {1 +k
n : k = 0, ..., n}
Terza Prova Scritta 29/03/2000
Si consideri la funzione
f (x) = xe−x6+ax2
A4 Determinare il campo D di definizione di f ed i limiti di f agli estremi del campo B3 Calcolare f0 e disegnare il grafico di
g(x) = f0(x) e−x6+ax2 C1 Disegnare il grafico di f
D2 Determinare il polinomio di Mc Laurin di f di grado 3
Seconda Prova Scritta 22/03/2000
Si consideri la funzione f sull’intervallo [a, b] di cui `e noto
*
* i valori f (0) = 0.
A4 Disegnare il grafico di f
B3 Precisare gli intervalli in cui f `e convessa o concava e trovare eventuali punti di flesso.
C1 Determinare i valori massimi e minimi assoluti di f0 D2 Stimare, usando il teorema di Lagrange, f (1).
Prima Prova Scritta 09/03/2000
Si consideri la funzione
f (x) = x cos(√
x) − sin(x) A2 Scrivere il polinomio di McLaurin Q2(x) di sin(x) di grado 2, B2 Scrivere il polinomio di McLaurin R2(x) di x cos(√
x) di grado 2, C2 Scrivere il polinomio di McLaurin P2(x) di f (x) di grado 2, D2 Calcolare al variare di n ∈ N
x→0lim f (x)
xn
E2 Maggiorare l’errore che si commette sostituendo P2(x) ad f (x) in [0, 1/10]
3
