Facolt` a di Agraria

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Facolt` a di Agraria

Prova scritta di Matematica

A.A. 2000-2001 Appello del 17/10/2001

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione

log |x| − log |x − 2| ≤ log(x − 1)

2. Calcolare, qualora esistano, gli integrali Z ₃

0

|3 − 2x|

(1 + x) ³ dx,

Z _+∞

0

|3 − 2x|

(1 + x) ³ dx.

3. Si consideri la funzione f :]0, +∞[→ R con legge

f (x) =

½ log x − a se x ≤ 1 (x − 1) ² se x > 1.

dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in ca- so affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione f `e derivabile in ogni punto.

4. Calcolare il limite

x→+∞ lim x (1 + 2 √

x) ² .

2 Matematica, 17/10/2001

5. Data la retta r di equazione 2x + y + 1 = 0, 1. determinare l’equazione della retta ortogonale a

r e passante per il punto (1, 2);

2. determinare l’equazione della retta parallela a r e passante per il punto (1, 2).

6. Data la funzione

f (x) = x ² + 2x + 31 11 − 2x 1. determinarne il dominio;

2. determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo;

3. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;

4. disegnarne un grafico approssimativo.

7. Data la successione a n = n ² + 2n + 31

11 − 2n n = 1, 2, 3, ...

1. dire se `e limitata;

2. calcolare estremo superiore e inferiore ri- conoscendo se sono, rispettivamente, massimo e minimo.

8. Dato il problema di Cauchy

½ y ⁰ = 2y + y ³ y(0) = y 0 ,

1. determinare una soluzione nel caso in cui y 0 = 0;

2. stabilire se la funzione y(t) = √

t + 2 `e una soluzione del problema nel caso in cui y 0 = 2;

3. determinare il dominio della funzione y(t) = 2

√ 3 e ^−4t −2 e stabilire se `e una soluzione

del problema nel caso in cui y 0 = 2.