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Facolt` a di Agraria
Prova scritta di Matematica A.A. 2000-2001 Appello del 13/7/2001
Voto
Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli protocollo di cui ` e composto l’elaborato.
Cognome Nome
no. fogli (compreso questo) N. Matricola
Esercizio 1. Risolvere la disequazione 8
log
2(3x + 1) ≥ log
4(3x + 1)
Esercizio 2. Calcolare, qualora esistano, gli integrali
Z
30
|3 − 2x|
(1 + x)
3dx e Z
+∞0
|3 − 2x|
(1 + x)
3dx.
Esercizio 3. Data la funzione f (x) =
½ x − a se x ≤ 0
|b − x
2| se x > 0,
1. dire se per a = b = −1 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;
2. determinare per quali valori di a e b la funzione f `e continua;
3. tra i valori di a e b trovati al punto precedente determinare quelli per cui f risulta invertibile.
1. `e invertibile, f : R → R
f
−1(y) =
( y − 1 se y ≤ 1
√ y − 1 se y > 1
2. tutti quelli che soddisfano l’equazione a + |b| = 0
;
3. tutti quelli che soddisfano le condizioni
a = b e b < 0.
2 Matematica, 13/7/2001
Esercizio 4.
1. Per quale valore di a ∈ R le due rette x+y = 1 e x + ay = 0 sono perpendicolari?
2. scrivere l’equazione della circonferenza cen- trata nel punto di intersezione delle due rette e passante per l’origine.
1. a = −1
2. (x − 1/2)
2+ (y − 1/2)
2= 1/2
Esercizio 5. Data la funzione f (x) = ³ 100 + x
307 − 2x
´
21. determinarne il dominio naturale;
2. determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo;
3. determinare in quali intervalli f `e concava e in quali `e convessa;
4. disegnarne un garfico approssimativo.
1. R \ {307/2}
2. −100 `e punto di min rel. e f (−100) = 0 3. ` E concava in ] − ∞, −907/4[. E conves- `
sa in ] − 907/4, 307/2[ e in ]307/2, +∞[.
y
1/4
-907/4 -100 307/2 x
