2 . MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 17

2

. MODELLAZIONE DELLO STATO DI

FATTO

2.1. RILIEVO

Il rilievo è stato effettuato in un appartamento tipo degli edifici situati nel quartiere di Sant'Ermete, in via Bronzetti. Grazie al sopralluogo è stato possibile, unitamente ai rilievi geometrici forniti dall'APES (Azienda Pisa Edilizia Sociale), chiarire le tecnologie costruttive e lo stato di degrado nel quale versano le strutture studiate. Negli allegati sono riportati i rilevi geometrici dell'edificio evidenziato in figura 2.1. Le misurazioni possono considerarsi valide anche per gli altri edifici.

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2.2. CARATTERIZZAZIONE DEI MATERIALI

L'edificio presenta una struttura verticale in muratura. Gli orizzontamenti sono stati considerati come realizzati in latero-cemento. Vista l'impossibilità di stabilirne la reale composizione dal rilievo, non è stato possibile chiarire la presenza di cordoli in cemento armato di collegamento tra la sommità della muratura e il solaio.

La normativa italiana prevede diversi livelli di indagine da poter effettuare in situ attribuendo, per ognuno di questi, determinati valori per alcuni coefficienti. L'edificio in via Bronzetti è stato indagato nel modo indicato nel testo della legge come limitato in quanto sono stati effettuati solo esami visivi del fabbricato.

figura 2.2. Dettaglio della muratura priva di intonaco, nel momento del rilievo visivo

Avendo indagato in maniera limitata la struttura portante ci si può attendere che la normativa italiana assegni alle nostre valutazioni un livello di conoscenza LC1, al quale è possibile abbinare un fattore di confidenza pari a:

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 19 = 1,35

Avendo a che fare con un livello di conoscenza limitato della struttura, la normativa suggerisce le metodologie di scelta dei valori per quanto riguarda le resistenze e i moduli elastici. Per LC1 indica:

Resistenze: i minimi degli intervalli riportati in Tab. C8A.2.1 per la tipologia muraria in considerazione;

Moduli elastici: i valori medi degli intervalli riportati nella tabella suddetta.

Tabella 2.1. Estratto della Tabella C8A.2.1 della NTC08 che definisce i valore delle caratteristiche meccaniche dei materiali considerati nella modellazione

Tipologia di Muratura E G w

N/cm² N/cm² N/mm² N/mm² kN/m³

Muratura in blocchi laterizi semipieni, con giunti verticali a secco (perc. foratura <45%)

300 10,0 2700 810

11

400 13,0 3600 1080

La tipologia rilevata è:

• muratura in blocchi laterizi semipieni, con giunti verticali a secco (percentuale di foratura < 45%),

Verranno scelti i valori minimi.

= 300 / resistenza media a compressione della muratura; = 10,0 / resistenza media a taglio della muratura;

= 2700 / valore medio del modulo di elasticità normale; = 1080 / valore medio del modulo di elasticità tangenziale;

= 11 / ³ peso specifico medio della muratura.

Il valore di calcolo del parametro G (valore medio del modulo di elasticità tangenziale) è stato calcolato importando sul software un valore del coefficiente di Poisson pari a = 0,25. Le resistenze di progetto utilizzabili per le verifiche sono:

= _" !

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 20 = "# · = 24,69 / ²

con:

= 1,35 fattore di confidenza;

"# = 3 è il coefficiente parziale di sicurezza a compressione della muratura,

comprensivo delle incertezze di modello e di geometria, fornito dalla Tab. 4.5.II, in funzione delle classi di esecuzione e a seconda che gli elementi resistenti utilizzati di categoria I o di categoria II.

Viene utilizzato un "_# = 3 essendo stato impossibile effettuare verifiche accurate in situ. Dalla Tab. 4.5.II della NTC si trova che tale parametro si riferisce a Muratura con elementi

resistenti di categoria II, per ogni tipo di malta. Gli elementi di categoria II non soddisfano i

requisiti di conformità con le norme armonizzate che forniscono resistenza caratteristica dichiarata a compressione riferita al frattile 5%.

Per quanto riguarda il materiale calcestruzzo da inserire nel modello di calcolo ci si basa su un materiale standard di riferimento con le caratteristiche riportate in seguito. Il materiale verrà utilizzato principalmente per valutare la risposta del solaio e non per gli eventuali cordoli, visto che di questi ultimi, dal rilievo, non è stato possibile verificarne la presenza.

= 31000 / = 12917 /

É riportata in seguito una tabella che riassume le proprietà utilizzate nel calcolo strutturale per i vari materiali.

Tabella 2.2. Caratteristiche dei materiali utilizzati nel modello dello stato di fatto

Materiali Peso E G Elementi

kN/m³ kN/m² N/mm² kN/m² N/mm²

Muratura 11 2700000 2700 1080000 1080 Maschi Murari

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2.3. MODELLAZIONE STRUTTURA

L'edificio presenta una struttura in muratura portante che è stata analizzata con un modello costituito da elementi monodimensionali rappresentanti i maschi murari, le fasce ed i solai secondo quanto descritto dal metodo SAM indicato da Magenes.

Il software utilizzato per l'analisi strutturale è SAP2000 versione 12.

Per l'individuazione delle pareti portanti dell'edificio, punto iniziale di qualsiasi analisi su edifici esistenti in muratura, è stato preso in considerazione il punto §4.5.4 della NTC08. A tale paragrafo la norma indica come pannelli murari resistenti anche alle azioni orizzontali, quelli che hanno una lunghezza pari ad almeno 0,3 volte l'altezza di interpiano. Questo permette in prima analisi di distinguere quali murature considerare nel modello oppure no. Tali maschi murari, individuati attraverso questa regola geometrica, sono stati considerati estesi per tutta l'altezza della costruzione: tale approssimazione è stata ritenuta legittima nonostante il piano seminterrato presenti delle eccentricità tra i maschi murari superiori ed inferiori. Tali eccentricità però sono state considerate come ininfluenti sul comportamento globale della struttura ed è stato cosi deciso di non considerarle.

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 22 figura 2.4. Maschi murari dei piani sopraelevati

Individuati i pannelli portanti della struttura è possibile notare una prevalenza di elementi resistenti nella direzione del lato lungo della struttura, riportata in seguito come direzione X. La direzione ortogonale (direzione Y) presenta un minor numero di murature portanti in grado di resistere agli sforzi orizzontali.

Non è stato chiarito fino in fondo il ruolo che gioca il solaio nel funzionamento dell'edificio rispetto alle azioni orizzontali; si è deciso comunque di inserire nel modello cordoli in calcestruzzo di altezza pari a quella del solaio, cioè di 21 centimetri e di materiale calcestruzzo. I cordoli avranno le estremità modellate come infinitamente rigide secondo le regole di modellazione consigliate da Magenes, lasciando la possibilità di deformazione alla zona sottostante alle aperture.

figura 2.5. Offset rigidi dei cordoli in calcestruzzo

Un contributo alla resistenza della struttura alle azioni orizzontali può essere portato anche dalle fasce murarie presenti sotto e sopra il vano nel quale vengono collocate le finestre. Tali elementi murari collegano i vari componenti verticali della struttura. Le fasce sono state

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 23 rappresentante nel software attraverso collegamenti rigidi che uniscono un elemento in muratura presente nel sotto finestra.

figura 2.6. Modellazione delle fasce murarie degli elementi sottofinestra

Il solaio preso in considerazione nell'analisi è costituito da elementi in laterizio con soletta in calcestruzzo armato, probabilmente prive di reti metalliche nell'agglomerato cementizio. Per una analisi preliminare, e comunque indicativa di un comportamento possibile, il solaio è stato trattato come infinitamente rigido applicando un vincolo di tipo diaframma ai nodi di ogni livello. Successivamente verrà giustificata questa scelta a scapito di un'analisi a solai flessibili.

2.3.1. SEZIONE DEI MASCHI MURARI

Vengono riportate le sezioni resistenti degli elementi in muratura suddivisi per livelli altimetrici.

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Tabella 2.3. Sezioni degli elementi verticali in muratura suddivisi per livelli

LIVELLO 0

Elemento Sezione [metri]

187 3,64x0,33 191 3,64x0,33 259 1,65X0,33 263 1,18X0,33 267 1,30X0,33 272 1,25X0,33 276 1,25X0,33 280 3,00x0,33 454 1,65X0,33 458 1,18X0,33 462 1,30X0,33 466 1,25X0,33 470 1,25X0,33 558 2,70X0,24 562 2,70X0,24 570 2,70X0,24 615 2,70X0,24 732 1,65X0,33 739 1,18X0,33 746 1,18X0,33 753 1,25X0,33 760 1,12X0,33 767 3,00x0,33 882 1,65X0,33 889 1,18X0,33 897 1,18X0,33 905 1,25X0,33 913 1,12X0,33 974 7,83x0,33 989 7,83x0,33 1440 3,99x0,24 1444 4,76X0,24 1448 7,58X0,24 1452 3,99x0,24 1456 4,76X0,24

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 25 LIVELLO 1

188 3,64x0,33 192 3,64x0,33 260 1,65X0,33 264 1,18X0,33 268 1,30X0,33 273 1,25X0,33 277 1,25X0,33 281 3,00x0,33 455 1,65X0,33 459 1,18X0,33 463 1,30X0,33 467 1,25X0,33 471 1,25X0,33 559 2,70X0,24 563 2,70X0,24 571 2,70X0,24 616 2,70X0,24 734 1,65X0,33 741 1,18X0,33 748 1,18X0,33 755 1,25X0,33 762 1,12X0,33 769 3,00x0,33 884 1,65X0,33 892 1,18X0,33 900 1,18X0,33 908 1,25X0,33 915 1,12X0,33 1006 7,83x0,33 1009 7,83x0,33 1441 3,99x0,24 1445 3,57x0,24 1449 7,58X0,24 1453 3,99x0,24 1457 3,57x0,24

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(11)

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2.4. ANALISI DEI CARICHI

2.4.1. CARICHI DEI SOLAI

I solai presenti nella struttura sono in latero-cemento di altezza 21 centimetri. Il carico viene applicato come uniformemente distribuito agli elementi monodimensionali che schematizzano i cordoli in cemento armato nelle due direzioni, ortogonali tra loro, in modo da riproporre il comportamento scatolare che appartiene alla struttura esistente.

Per i solai il peso proprio é:

) = 3,30 / ² 2.4.2. ELEMENTI DIVISORI INTERNI

Secondo quanto indicato nella NTC08 al paragrafo §3.1.3.1, il peso proprio di elementi divisori interni può essere ragguagliato ad un carico permanente portato uniformemente distribuito. Il valore di tale carico è determinabile attraverso il peso proprio per unità di lunghezza _! delle partizioni. Nel caso in esame, essendo gli elementi divisori sicuramente soggetti a modifiche, è stato preso come valore il massimo indicato dalla norma. Per queste considerazioni il carico uniformemente distribuito vale:

= 2,00 / ² è sarà applicato in entrambe le direzioni.

2.4.3. CARICO VARIABILE

Per carichi variabili vengono intesi quelli legati alla destinazione d'uso dell'opera. In questa analisi e per il tipo di struttura con cui abbiamo a che fare utilizzeremo il valore dei carichi verticali uniformemente distribuiti. Nella NTC08 al punto §3.1.4 si può leggere che per edifici di categoria A, cioè di ambienti a uso residenziale, il valore del carico verticale uniformemente distribuito è:

*_! = 2,00 / ² applicato a sua volta nelle due direzioni principali.

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2.4.4. COPERTURA IN LEGNO

La copertura in legno viene esclusa dal calcolo strutturale ma il suo peso viene ugualmente inserito nel modello. Avendo ipotizzato un peso complessivo della copertura in legno con tegole in laterizio di 42 kg/m², si passa all'applicazione all'ultimo livello di un carico permanente portato pari a:

= 0,42 / ²

2.4.5. APPLICAZIONE DEI CARICHI ALLA STRUTTURA

I carichi finora determinati sono di tipo statico e calcolati con unità di misura / ². Si è pensato quindi di determinare le aree di influenza di ciascun cordolo per poter applicare il carico alla struttura. È stata scartata l'ipotesi di applicare il carico su solai che scaricano in un solo verso in quanto si è preferito ipotizzare che la struttura possa avere un comportamento scatolare.

figura 2.7. Schema di carico sulla struttura.

Applicando questi criteri si può notare come siano gli elementi interni i più sollecitati dalle azioni verticali statiche.

2.4.6. CARICO NEVE

Il carico provocato dalla neve sulle coperture è valutato mediante la seguente espressione, fornita dalla NTC08:

+, = -. · +,! · / · 0

dove:

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 30 -. = 1,6 coefficiente di forma della copertura per 1 = 32°

+,! = 0,60 ⁄ ² valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo per

un periodo di ritorno di 50 anni essendo per la zona III 3, = 4 < 200 .

/ = 1,0 coefficiente di esposizione;

0 = 1,0 coefficiente termico.

Dopo aver chiarito il significato ed il valore dei vari parametri viene calcolato il carico neve sulla copertura:

+5 = 1,6 · 0,6 ⁄ · 1 · 1 = 0,96 / ²² 2.4.7. CARICO VENTO

Il calcolo dell'azione del vento è stato ricondotto ad un calcolo di un’azione statica equivalente, secondo quanto specificato nella NTC08.

La pressione del vento è data dall'espressione:

6 = +7 · 8 · 9 ·

dove:

+7 pressione cinetica di riferimento;

8 coefficiente di esposizione;

9 coefficiente di forma, funzione della tipologia e della geometria della costruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento;

coefficiente dinamico.

Vengono ora esplicitati i coefficienti appena descritti.

2.4.7.1. Pressione cinetica di riferimento +₇

La pressione cinetica di riferimento +₇ (in N/m²) è data dall’espressione: +₇= 1_{2 : ;}₇²= 456 / ²

dove:

;7 velocità di riferimento del vento (in m/s);

: densità dell’aria assunta convenzionalmente costante e pari a 1,25 kg/m³.

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 31 Per quanto riguarda la definizione della velocità di riferimento da utilizzare nella espressione della pressione cinetica di riferimento vale la pena chiarire i parametri di riferimento per la zona del sito in esame. La zona è la numero 3 e presenta tali parametri:

• _;_7, = 27 [m/s];

• 3 = 500 [m];

• <== 0,020 [1/s].

Inoltre occorre essere a conoscenza dell'altitudine sul livello del mare (in m) del sito ove sorge la costruzione. Questa è pari a:

3, = 4

In mancanza di specifiche ed adeguate indagini statistiche ;₇ è data dall'espressione: ;7 = ;7, = 27 /5 6>? 3, ≤ 3

É stato così calcolato il valore della pressione cinetica di riferimento: +7 = 456 / ²

2.4.7.2. Coefficiente di esposizione ₈

Il coefficiente di esposizione ce dipende dall’altezza z sul suolo del punto considerato, dalla

topografia del terreno, e dalla categoria di esposizione del sito ove sorge la costruzione. Per altezze sul suolo non maggiori di z = 200 m, esso è dato dalla formula:

8 (B) = <D E FG (B/B ) [7 + 0 FG (B/B )]6>? B ≥ B .L

8 (B) = 8 (B .L)6>? B < B .L

dove:

<D, B , B _.L sono funzione della categoria di esposizione del sito ove sorge la costruzione;

0 coefficiente di topografia.

La categoria di esposizione del sito in questione è la III, legata anche alla classe di rugosità del terreno che verifichiamo essere la B essendo l'area suburbana.

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 32 Possiamo ora trovare i valori delle grandezze <_D, B , B _.L :

• <D = 0,20

• _{B = 0,10} • B .L= 5

Tali grandezze vengono utilizzate per il calcolo del coefficiente di esposizione per ognuno dei solai presenti nella struttura, cambiando cosi il valore con la quota in questione.

Per il primo solaio interpiano abbiamo la quota di:

B = 0,9 < B .L = 5

e quindi un coefficiente di esposizione pari a

8 (B) = 8 (B .L) = 1,70

Fino a quota 5 metri il valore del coefficiente di esposizione rimane costate, per questo anche per il secondo solaio, che ha quota 4,05 metri, si ottiene il medesimo risultato. Superata tale quota si ha un aumento del valore.

Per il terzo solaio interpiano abbiamo la quota di:

B = 7,12 > B .L = 5

₈ (B) = 1,92 Per il quarto solaio interpiano abbiamo la quota di:

B = 10,23 > B .L = 5

8 (B) = 2,15 2.4.7.3. Coefficiente dinamico cd

In assenza di specifiche analisi, ed essendo l'opera una costruzione di tipologia corrente, il coefficiente dinamico è stato assunto cautelativamente pari ad 1.

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2.4.7.4. Coefficiente di forma ₉

Per quanto riguarda il coefficiente di forma questo dipende sia dalla presa in considerazione di pressione interna o esterna, dal verso del vento e dall'essere sopravento o sottovento della parete in questione. Per valutare e dimensionare le pressioni relative alle quote per i vari casi verranno utilizzati i coefficienti di seguito riportati.

Per la valutazione della pressione esterna si assumerà:

- per elementi sopravento (cioè direttamente investiti dal vento), con inclinazione sull'orizzontale α ≥ 60°, _9,8 = +0,8.

- per elementi sottovento (intendendo come tali quelli non direttamente investiti dal vento o quelli investiti da vento radente, _9,8= −0,4.

Per la valutazione della pressione interna si assumerà:

- per costruzioni che hanno una parete con aperture di superficie minore di 1/3 di quella totale (come quella presa in esame): _9,. = ± 0,2.

Rimane infine da esplicitare il valore delle pressione dovuta al vento sulle pareti della struttura. É da chiarire in principio che l'azione del vento sarà valutata nelle due direzioni caratteristiche (X e Y), nei due versi e nei casi che la pressione interna sia positiva o negativa: un totale di otto combinazioni di carico della struttura. Di seguito vengono riportati i valori delle pressioni per i vari livelli e per la combinazione in esame.

Pressione Parete Sopra-vento con Pressione Interna Positiva - primo livello (z = 4,05 m) 6 = 0,465 /m² - secondo livello (z = 7,12 m) 6 = 0,525 /m² - terzo livello (z = 10,23 m) 6 = 0,588 /m² Pressione Parete Sopra-vento con Pressione Interna Negativa - primo livello (z = 4,05 m) 6 = 0,775 /m² - secondo livello (z = 7,12 m) 6 = 0,875 /m² - terzo livello (z = 10,23 m) 6 = 0,980 /m² Pressione Parete Sotto-vento con Pressione Interna Positiva - primo livello (z = 4,05 m) 6 = −0,465 /m² - secondo livello (z = 7,12 m) 6 = −0,525 /m² - terzo livello (z = 10,23 m) 6 = −0,588 /m²

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 34 Pressione Parete Sotto-vento con Pressione Interna Negativa

- primo livello (z = 4,05 m) 6 = −0,155 /m² - secondo livello (z = 7,12 m) 6 = −0,177 /m² - terzo livello (z = 10,23 m) 6 = −0,196 /m²

Il segno meno sta ad indicare il verso uscente dell'azione rispetto alla parete in esame. Inoltre, per effettuare un calcolo più pratico ed a favore di sicurezza, si andrà ad applicare all'altezza di interpiano il valore dell'azione ventosa corrispondente al solaio che vi si trova in sommità: l'azione sarà così sovradimensionata.

Figura 2.8. Esempio di applicazione del carico vento. Nel caso la combinazione Vento +X+int

2.4.8. CARICO SISMA

L'azione sismica, sebbene si tratti di un azione dinamica, può essere ricondotta ad una di tipo statico. Tale approssimazione conduce all’applicazione di forze statiche equivalenti alla struttura in sostituzione delle forze di inerzia indotte dall’azione sismica. Tale metodo di analisi è soggetto a molte limitazioni, quindi può essere applicato solo se sono soddisfatte alcune ipotesi di base. Per poter valutare l'azione simica con la quale effettuare le verifiche della struttura, è necessario innanzitutto identificare il periodo di riferimento e il tempo di ritorno dell'azione sismica, dettati dalla tipologia della struttura, e studiare le caratteristiche proprie del sito ove sorge la struttura. Verranno eseguite valutazione riguardo ad un'analisi statica lineare con lo scopo di identificare le forze con le quali calcolare i momenti torcenti da

(19)

2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 35 applicare alla struttura. I momenti torcenti così calcolati, dovuti ad una incertezza sulla posizione del centro delle rigidezze effettivo dell'edificio, saranno utilizzati per lo svolgimento delle analisi.

Dell'edificio preso in esame saranno studiate le caratteristiche nell'ambito del suo comportamento lineare che, essendo un manufatto già esistete, deve essere sicuramente in grado di rispondere agli eventuali terremoti stimati in questa analisi. Si adotteranno per questi motivi spettri di risposta lineari.

In base allo Stato Limite preso in considerazione per la progettazione cambia la probabilità di superamento. Dalla Tab.3.2.I presente nella NTC 2008 notiamo come:

Q>? FR SE3ER TU UE> VU W3GGR (STW): QYD,Z[\ = 63%

Q>? FR SE3ER TU UE> VU S3F;3^_3?VU3 V>FF3 `UE3 (ST`): QYD,Z[Y = 10%

Ottenute le varie probabilità di superamento per i vari Stati Limite si può procedere al calcolo dei rispettivi tempi di ritorno.

Per quanto riguardo lo SLD: a_b,Z[\= cYd

eLf)c ghi,jklm= 50 3GGU Per quanto riguardo lo SLV: a_b,Z[Y = _eLf)c gcYd

hi,jkhm= 475 3GGU

Le azioni sismiche di progetto sono definite a partire dalla “pericolosità sismica di base” del sito di costruzione. La pericolosità sismica è definita in termini di accelerazione orizzontale massima attesa 3_n in condizioni di campo libero su sito di riferimento rigido.

Le forme spettrali sono definite, per ciascuna delle probabilità di superamento nel periodo di riferimento Q_YD, a partire dai valori dei seguenti parametri su sito di riferimento rigido orizzontale:

3n accelerazione orizzontale massima;

valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione orizzontale; ao∗ periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione

orizzontale.

In seguito sono riportati i valori di tali parametri per lo Stato Limite di Danno e lo Stato Limiti di Salvaguardia della Vita.

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 36 SLD 3n = 0,048 ^ = 2,548 ao∗ = 0,249 5 SLV 3n = 0,118 ^ = 2,404 ao∗ = 0,279 5

La costruzione si trova in categoria di sottosuolo B cioè depositi di terreni a grana grossa mediamente addensati o terreni a grana fina mediamente consistenti con spessori superiori a 30 metri, caratterizzati da un graduale miglioramento delle proprietà meccaniche con la profondità (Tab.3.2.II).

Per configurazioni superficiali semplici si può adottare la seguente classificazione. Dalla Tab.3.2.IV della NTC08 troviamo che il terreno della costruzione è di categoria topografica T1, cioè con superficie pianeggiante, pendii e rilievi isolati con inclinazione media U ≤ 15°. L'azione sismica è caratterizzata da 3 componenti di traslazione , due orizzontali (X ed Y) ed una verticale (Z), da considerare tra di loro indipendenti. Le componenti possono essere descritte mediante l'accelerazione massima e relativo spettro di risposta attesi in superficie.

Quale che sia la probabilità di superamento nel periodo di riferimento Q_YD considerata, lo spettro di risposta elastico della componente orizzontale è definito dalle espressioni seguenti:

0 ≤ a < aq S8(a) = 3n · S · r · · s _aa q+

1

r · t1 − aaqu v

aq ≤ a < aw S8(a) = 3n · S · r ·

aw ≤ a < a\ S8(a) = 3n · S · r · · t a_{a u}w

a\ ≤ a S8(a) = 3n · S · r · · t aw · a_a \ u

Vengono messi in luce i termini a_q, a_w e a_\.

aq= aw⁄ 3 periodo di inizio del tratto dello spettro ad accelerazione costante; aw = w · aw∗ periodo di inizio del tratto dello spettro a velocità costante; a\= 4,0 · =_nx+ 1,6 periodo di inizio del tratto dello spettro a spostamento costante.

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 37 I valori numerici dei tre periodi, per gli stati limite presi in considerazione, sono:

SLD aq = 0,121 5> RGVU aw = 0,362 5> RGVU a\ = 1,791 5> RGVU SLV aq = 0,132 5> RGVU aw = 0,397 5> RGVU a\ = 2,073 5> RGVU

Per poter tracciare la funzione nei vari intervalli c'è bisogno di mettere in luce il parametro S, definito come:

S = SZ · Sy = 1,20

con entrambi i valori di S_Z e S_y dipendenti dalla categoria di sottosuolo.

Per quanto riguarda S_Z, coefficiente di amplificazione stratigrafica, va osservata la Tab. 3.2.V presente sulla NTC2008 che ne specifica il valore:

1,00 ≤ SZ = 1,40 − 0,40 · · 3_{^ ≤ 1,20}n

Risulta quindi:

SZ = 1,20

Sempre dalla Tab.3.2.V possiamo ricavare il valore del coefficiente _w per la categoria di sottosuolo B:

w = 1,10 · (aw∗)c , = 1,419

Per quanto riguarda invece S_y questo è il coefficiente di amplificazione topografica valutato mediante la Tab. 3.2.VI che vale, per categoria topografica a₎,:

Sy = 1,0

Il valore del parametro r è influenzato dalla tipologia di spettro col quale è stata pensata l'analisi. Volendo sfruttare solo in limitata parte le caratteristiche post-elastiche della struttura, si è pensato di utilizzare un fattore di struttura minimo, pari a 1,5. Avvalendosi di questa considerazione si giunge ad avere:

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 38 Viene illustrato di seguito lo spettro di risposta elaborato con i dati sopra descritti. Di seguito vengono riportati in forma di tabella i dati numerici.

figura 2.9. Grafico degli spettri di normativa con i quali è stata caricata la struttura 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0 ,0 0 0 0 ,3 6 2 0 ,4 9 8 0 ,6 3 4 0 ,7 7 0 0 ,9 0 6 1 ,0 4 2 1 ,1 7 9 1 ,3 1 5 1 ,4 5 1 1 ,5 8 7 1 ,7 2 3 1 ,8 9 6 2 ,1 0 6 2 ,3 1 7 2 ,5 2 7 2 ,7 3 8 2 ,9 4 8 3 ,1 5 8 3 ,3 6 9 3 ,5 7 9 3 ,7 9 0 4 ,0 0 0 Spettro SLV Spettro SLD

(23)

Tabella 2.4. Spettro di risposta per tempo di ritorno di 475 anni per lo SLV

SLV SLD T [s] z{ [g] T [s] z{ [g] 0,000 0,142 0,000 0,057 0,132 0,227 0,121 0,146 0,397 0,227 0,362 0,146 0,476 0,189 0,430 0,123 0,556 0,162 0,498 0,106 0,636 0,142 0,566 0,093 0,716 0,126 0,634 0,083 0,796 0,113 0,702 0,075 0,876 0,103 0,770 0,069 0,955 0,094 0,838 0,063 1,035 0,087 0,906 0,058 1,115 0,081 0,974 0,054 1,195 0,075 1,042 0,051 1,275 0,071 1,110 0,048 1,355 0,067 1,179 0,045 1,434 0,063 1,247 0,042 1,514 0,060 1,315 0,040 1,594 0,057 1,383 0,038 1,674 0,054 1,451 0,036 1,754 0,051 1,519 0,035 1,833 0,049 1,587 0,033 1,913 0,047 1,655 0,032 1,993 0,045 1,723 0,031 2,073 0,044 1,791 0,029 2,165 0,040 1,896 0,026 2,256 0,037 2,001 0,024 2,348 0,034 2,106 0,021 2,440 0,031 2,212 0,019 2,532 0,029 2,317 0,018 2,623 0,027 2,422 0,016 2,715 0,025 2,527 0,015 2,807 0,024 2,632 0,014 2,899 0,024 2,738 0,013 2,991 0,024 2,843 0,012 3,082 0,024 2,948 0,011 3,174 0,024 3,053 0,010 3,266 0,024 3,158 0,009 3,358 0,024 3,264 0,009 3,449 0,024 3,369 0,008 3,541 0,024 3,474 0,008 3,633 0,024 3,579 0,007 3,725 0,024 3,684 0,007 3,816 0,024 3,790 0,007 3,908 0,024 3,895 0,006 4,000 0,024 4,000 0,006

(24)

2.5. DEFINIZIONE COMBINAZIONI DI CARICO

Al fine di verificare la struttura agli Stati Limite si definiscono le seguenti combinazioni delle azioni. Tali combinazioni sono indicate dalla NTC08.

- Combinazione fondamentale, impiegata per gli stati limite ultimi (SLU):

"|)· ) + "| · + "g· Q + "})· *!)+ "} · ~ · *! + "}•· ~ • · *!•+ …

- Combinazione caratteristica (rara), impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE):

)+ + Q + *!)+ ~ · *! + ~ • · *!•+ …

- Combinazione frequente, impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE):

)+ + Q + ~)) *!)+ ~ · *! + ~ • · *!•+ …

- Combinazione quasi permanente, impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE):

)+ + Q + ~ ) *!)+ ~ · *! + ~ • · *!•+ …

- Combinazione sismica, impiegata per gli stati limite ultimi e di esercizio connessi all'azione sismica E:

+ ) + + Q + ~) *!)+ ~ · *! + …

Nella formulazione delle azioni il simbolo + indica combinato con.

I valori dei coefficienti di combinazione sono riportati nella NTC08 nella Tab.2.5.I. Sono riportati in seguito solo i valori utili a questa progettazione.

Tabella 2.5. Valori dei coefficienti di combinazione Ψ

Categoria/Azione variabile • _‚ •ƒ‚ •„‚

Categoria A Ambienti ad uso residenziale 0,7 0,5 0,3

Vento 0,6 0,2 0,0

Neve (a quota < 1000 m s.l.m) 0,5 0,2 0,0

Per quanto riguarda i coefficienti parziali per le azioni o per l'effetto delle azioni nelle verifiche SLU, è possibile consultare la Tab.2.6.I riportata nella NTC08. Il significato dei simboli è il seguente:

(25)

2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 41 "|) coefficiente parziale del peso proprio della struttura, nonché del peso proprio del

terreno dell'acqua, quando pertinenti;

"| coefficiente parziale dei pesi propri degli elementi non strutturali;

"}. coefficiente parziale delle azioni variabili. 2.5.1. DEFINIZIONE COMBINAZIONI SISMICHE

Le combinazioni sismiche vengono assemblate secondo quanto indicato al punto §7.3.5 nella normativa italiana.

1,00 · …+ 0,30 · †

con rotazione dei coefficienti moltiplicativi e conseguente individuazione degli effetti più gravosi. Gli effetti così stimati sono stati inseriti nelle combinazioni sismiche precedentemente riportate.

2.6. REGOLARITÀ IN PIANTA

La struttura non può essere considerata come regolare in pianta non soddisfacendo i seguenti requisiti:

a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e rigidezze;

b) il rapporto tra i due lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta è inferiore a 4 (per l'edificio studiato tale valore risulta 3,6).

c) la struttura non presenza rientri o sporgenze;

d) gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro piano rispetto agli elementi verticali.

La normativa italiana prevede l'assunzione del solaio come infinitamente rigido se presenta una soletta di calcestruzzo armato di spessore minimo di 4 centimetri. Essendo questa presente, i solai sono stati considerati, almeno in una prima analisi, infinitamente rigidi. Il punto c) del precedente elenco però chiarisce come la struttura in esame non sia da considerarsi regolare in pianta per la presenza del vano scala, che crea un ampia zona vuota all'interno dell'edificio e che può addirittura inficiare una analisi fatta con solai considerati

(26)

2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 42 infinitamente rigidi. In seguito verrà sviluppato in maniera esaustiva l'argomento della schematizzazione dei solai.

2.7. REGOLARITÀ IN ALTEZZA

La costruzione in esame può essere considerata regolare in altezza soddisfacendo i seguenti requisiti;

a) tutti i sistemi resistenti verticali si estendono per tutta l'altezza della costruzione; b) massa e rigidezza rimangono costanti;

c) non ci sono restringimenti della sezione orizzontale.

2.8. DEFINIZIONE MOMENTI TORCENTI

La definizione di a₎ passa necessariamente dalla stima del periodo del modo di vibrare principale della costruzione in esame:

a) = ) · ‡•/ˆ = 0,285 5> RGVU

con:

) = 0,050 per il tipo strutturale della muratura;

‡ = 10,66 altezza della costruzione in metri.

L'analisi statica lineare consiste nell'applicazione di forze equivalenti corrispondenti alle forze di inerzia indotte dall'azione sismica e può essere effettuata per costruzioni che rispettino alcuni requisiti specifici, a condizione che il periodo del modo di vibrare principale nella direzione in esame (a₎) non superi 2,5 a_w o a_\ e che sia regolare in altezza. Tale analisi statica lineare è stata effettuata unicamente con lo scopo di determinare forze statiche con le quali calcolare i momenti torcenti causati da un'eventuale eccentricità tra la posizione del centro delle masse e il centro delle rigidezze.

L'entità delle forze si ottiene dall'ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo a) e la loro distribuzione sulla struttura segue la forma del modo di vibrare principale nella direzione in esame, valutata in modo approssimato.

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 43 La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è data dalla formula seguente:

. = ‰ · B. · Š. ‹ BŒ ŠŒ Œ

• dove:

‰ = S (a)) · Š · Ž ^⁄ . è la forza da applicare alla massa i-esima;

Š. e ŠŒ sono i pesi, rispettivamente della massa i e della massa j riportati di

seguito.

Tabella 2.6. Pesi sismici dei vari livelli della struttura

Livello •• kN 0 7709,28 1 7528,98 2 5398,97 3 3182,15 4 965,32

B. e B_Œ sono le quote delle masse i e j;

S ,Z[Y(a)) = 0,227 ^ è l'ordinata dello spettro di risposta di progetto per lo SLV;

S ,Z[\(a)) = 0,146 ^ è l'ordinata dello spettro di risposta di progetto per lo SLD;

Š = 7709,28 è il peso complessivo della costruzione;

Ž è un coefficiente pari a 0,85 in quanto la struttura ha almeno tre orizzontamenti e a₎ < 2 a_w ;

g è l'accelerazione di gravità.

Grazie a questi valori è possibile ora calcolare le forze da applicare, essendo:

‰,Z[Y = S ,Z[Y(a)) · Š · Ž ^⁄ = 151,63 per lo SLV

‰,Z[\ = S ,Z[\(a)) · Š · Ž ^⁄ = 97,52 per lo SLD

Vengono riportati in seguito i valori delle forze per lo Stato Limite di Salvaguardia della Vita e per lo Stato Limite di Danno.

(28)

Tabella 2.7. Forze statiche equivalenti calcolate per lo Stato Limite di Salvaguardia della Vita e lo Stato Limite di danno

Livello SLV SLD kN kN 1 0,30 0,19 2 17,70 11,39 3 61,87 39,79 4 132,64 85,31

Il calcolo dei momenti torcenti, da applicare alla struttura, si basa sulla considerazione che esista un minino di eccentricità, stimata al 5% del lato in entrambe le direzioni, del centro delle rigidezze rispetto al centro della masse. Questa non coincidenza tra i due punti crea fenomeni di torsione della struttura che vanno quantomeno considerati.

È possibile calcolare i momenti torcenti con la seguente formula:

‘0,. = . · >Œ

dove:

>Œ è l'eccentricità del piano calcolata come il 5% della lunghezza totale della costruzione e varia con la direzione:

>… = 0,05 · T… = 0,05 · 8,18 = 0,409

>† = 0,05 · T† = 0,05 · 29,5 = 1,475

I momenti torcenti verranno applicati in un punto qualsiasi della struttura, avendo questa ogni piano rigido, e avranno i valori riportati in seguito.

Tabella 2.8. Momenti torcenti

Livello SLV SLD ’“” ’“• ’“” ’“• kNm kNm kNm kNm 1 0,12 0,44 0,08 0,28 2 7,24 26,11 4,66 16,80 3 25,30 91,25 16,27 58,69 4 54,25 195,65 34,89 125,84

(29)

2.9. RIGIDEZZA DEL SOLAIO

La struttura può essere studiata in due diverse modalità: considerando i solai come infinitamente rigidi oppure come flessibili. È noto come un'analisi a solai rigidi possa notevolmente semplificare il calcolo, portando ad una diminuzione dei gradi di libertà dell'edificio in fase di studio. Tale approssimazione però non è sempre ammessa in quanto la normativa italiana su questo punto impone una limitazione: si può considerare un diaframma orizzontale infinitamente rigido nel proprio piano se questo, modellato attraverso una schematizzazione a bielle posizionate lungo le diagonali, presenta degli spostamenti orizzontali, calcolati durante un'analisi sismica statica, non maggiori di quelli ottenuti da un'analisi svolta con solai rigidi aumentati del 10%. Nel caso in esame verranno trattate separatamente le diverse schematizzazioni dei solai con una modalità di carico riconducibile a quella statica lineare in modo da scegliere la tipologia di solaio con la quale affrontare l'analisi modale.

2.9.1. SOLAIO RIGIDO

Per applicare ai solai presenti nell'edificio l'infinita rigidezza richiesta per questo modello si è applicato ad ogni punto del medesimo piano un vincolo di tipo Diaframma. Questo tipo di vincolo impedisce gli spostamenti relativi tra i vari punti a cui è stato assegnato, consentendo invece le rotazioni relative. I carichi statici verranno applicati eliminando eventuali rotazioni: l'azione verrà scomposta in due parti col fine di avere stesso momento sia a destra che a sinistra del baricentro delle masse del piano. La stessa tecnica verrà utilizzata anche in seguito per la modellazione dei solai come flessibili. Come confronto iniziale vengono proposti in seguito gli spostamenti per le combinazioni sismiche di Stato Limite di Danno (SLD) in direzione X dei punti del primo livello fuori terra, da confrontare in seguito con gli spostamenti dei medesimi punti ma calcolati con solai flessibili. Si passa alla valutazione della combinazione sismica allo SLD che massimizza lo spostamento in direzione X.

2.9.2. SOLAI FLESSIBILI

Per passare a considerare i solai non infinitamente rigidi ci si rifarà in seguito alla teoria delle bielle equivalenti. Verranno inserite nel piano del solaio degli elementi resistenti a compressione che collegano i punti sulla diagonale del quadrilatero ospitante la soletta orizzontale. Le bielle avranno una rigidezza allo sforzo assiale ma saranno schematizzate con

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 46 cerniere alle estremità. Le bielle equivalenti hanno una rigidezza allo sforzo assiale così calcolata:

<7 = 7 · –_T 7 7

dove:

7 è il modulo elastico della biella, considerato in questa sede pari a quello della muratura della quale sono composti i maschi murari;

–7 è l'area della biella;

T7 è la lunghezza della biella.

La rigidezza della biella così formulata deve essere equiparata alla rigidezza del solaio che ha tale formulazione: <, = _T 1 , • 12 o — + T, –, w dove:

T, è la dimensione del solaio in direzione ortogonale alla direzione del sisma;

— è il momento d'inerzia della sezione;

–, è l'area di taglio;

o = 31000 / ² è il modulo elastico del calcestruzzo componente il

solaio;

w = 12917 / ² è il modulo elastico a taglio.

Mettendo a confronto le due formule si può ricavare l'area della sezione resistente della biella. Per comodità verrà utilizzata un'altezza di 21 centimetri, pari allo spessore del solaio reale. In seguito è riportata una tabella con le larghezza delle bielle per i vari settori di solai considerati ricavati dalla trattazione appena esposta per le due direzioni del sisma considerate.

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Tabella 2.9. Caratteristiche meccaniche e geometriche delle bielle che simulano il comportamento flessibile dei solai

Sezioni Bielle X Y

Solaio l h ˜” ™š Altezza Base ˜” ™š Altezza Base

m m › „ m m › „ m m 1 14,46 0,21 1,0461 0,82 0,21 3,74 27,7749 1,46 0,21 1,81 2 13,33 0,21 1,0461 0,82 0,21 3,44 27,7749 1,46 0,21 1,67 3 5,34 0,21 1,0461 0,82 0,21 1,38 1,5200 0,57 0,21 0,51 4 5,71 0,21 1,0461 0,82 0,21 1,48 1,5200 0,57 0,21 0,55 5 2,01 0,21 1,0461 0,82 0,21 0,52 0,3770 0,42 0,21 0,31 6 2,01 0,21 1,0461 0,82 0,21 0,52 0,3770 0,42 0,21 0,31 7 5,27 0,21 1,0461 0,82 0,21 1,36 1,5050 0,57 0,21 0,66 8 6,27 0,21 1,0461 0,82 0,21 1,62 1,5050 0,57 0,21 0,78

Figura 2.10. Bielle che schematizzano il comportamento non infinitamente rigido dei solai

Una volta applicate le sezioni al modello è stata lanciata l'analisi. Gli spostamenti del primo livello fuori terra in direzioni X vengono paragonati, nella tabella sottostante, a quelli ottenuti con l'analisi effettuata a solaio rigidi. Il metodo di paragone utilizzato per tale studio si basa sul confronto fra il vettore che collega il punto sottostante a quello preso in esame. Tale vettore è stato dimensionato con gli spostamenti relativi tra punti di due livelli adiacenti. La verifica consiste nell'evitare che il vettore ottenuto con solai flessibili sia maggiore di 1,1 volte di quello a solaio rigido.

(32)

2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO

figura 2.11. Schema dello spostamento relativo tra piani adiacenti

Il confronto tra i vettori corrispondenti al solaio rigido e al solaio flessibile è riportato in seguito.

2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO

. Schema dello spostamento relativo tra piani adiacenti

Il confronto tra i vettori corrispondenti al solaio rigido e al solaio flessibile è riportato in

48 . Schema dello spostamento relativo tra piani adiacenti

(33)

Tabella 2.10. Confronto, in metri, tra la lunghezza del vettore spostamento per la schematizzazione a solai infinitamente rigidi e quella per solai flessibili per ogni livello

LIVELLO 1

Nodo Rigido Flessibile Verifica

22 0,9099 0,9099 OK 23 0,9099 0,9099 OK 24 0,9099 0,9099 OK 25 0,9099 0,9099 OK 26 0,9099 0,9099 OK 27 0,9099 0,9099 OK 28 0,9099 0,9099 OK 83 0,9098 0,9098 OK 84 0,9099 0,9099 OK 85 0,9099 0,9099 OK 86 0,9099 0,9099 OK 87 0,9099 0,9099 OK 88 0,9099 0,9099 OK 130 0,9100 0,9100 OK 135 0,9100 0,9100 OK 222 0,9100 0,9100 OK 223 0,9099 0,9099 OK 224 0,9097 0,9097 OK 225 0,9099 0,9099 OK 230 0,9098 0,9098 OK 234 0,9099 0,9099 OK 238 0,9099 0,9099 OK 242 0,9099 0,9099 OK 246 0,9099 0,9099 OK 250 0,9099 0,9099 OK 254 0,9099 0,9099 OK 292 0,9098 0,9098 OK 296 0,9099 0,9099 OK 300 0,9099 0,9099 OK 304 0,9099 0,9099 OK 308 0,9099 0,9099 OK 312 0,9099 0,9099 OK 357 0,9100 0,9100 OK 358 0,9099 0,9099 OK 359 0,9097 0,9097 OK 363 0,9100 0,9100 OK 368 0,9100 0,9100 OK 378 0,9100 0,9100 OK 385 0,9099 0,9098 OK 393 0,9099 0,9099 OK 403 0,9100 0,9100 OK 410 0,9099 0,9099 OK 414 0,9099 0,9099 OK

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(35)

(36)

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2. MODELLAZIONE DELLO STATO DI FATTO 53 Per ogni punto e per ogni livello risulta maggiore lo spostamento per la schematizzazione a solai infinitamente rigidi. Questa scelta viene riproposta nell'analisi modale.