3. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 1

3. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 1 Utilizzando la definizione, verificare i seguenti limiti

1. lim

n!+1

n n + 1 = 1 2. lim

n!+1n² 4n + 1 = +1 3. lim

n!+1log(_n2¹+1) = 1

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

4. Siano a_n= ^{( 1)}_n2ⁿ + 1 e b_n= ^{1+( 1)}_n2 ⁿ. Allora le due successioni A. non ammettono limite;

B. sono regolari e lim

n!+1an= lim

n!+1bn; C. sono limitate.

5. Siano (a_n) e (b_n) due successioni positive tali che la successione somma (a_n+ b_n) risulti conver- gente. Allora

A. (a_n) e (b_n) sono convergenti.

B. (a_n) e (b_n) sono limitate.

C. (an bn) `e regolare.

6. Siano (a_n) e (b_n) successioni regolari, non negative tali che lim

n!+1a_n= lim

n!+1b_ne lim

n!+1 an

bn = 0.

Allora

A. esiste n₀ 2 N tale che an bn per ogni n n₀. B. lim

n!+1a_n b_n= 0.

C. lim

n!+1a_n+ b_n= lim

n!+1b_n.

Utilizzando l’algebra dei limiti e i limiti notevoli visti, calcolare i seguenti limiti.

7. lim

n!+1

2n²+p

n 1

3p

n 2p³ n 8. lim

n!+1

2· 5ⁿ 4ⁿ 5 4ⁿ 9. lim

n!+1(2n² n 1)⁸ (n³ n²+ 1)⁵ 10. lim

n!+1

e ⁿ⁺¹ 3 ⁿ 2^{3 n}

13

11. lim

n!+1

n^↵ n³+ n

n²+ 2n al variare di ↵ > 0 12. lim

n!+1

2ⁿ ⇡ⁿ

aⁿ+ 2ⁿ 3ⁿ⁺¹ al variare di a > 0

. Risolvere gli esercizi 1-2 e 17-18 del libro di testo

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