5. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 3 1. Sia (a

5. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 3

1. Sia (a _n ) _{n 2N} successione positiva e infinitesima tale che ^a

_a

n

! ` 2 R per n ! +1. Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

A. `  1.

B. ` < 1.

C. se ` 6= 1, esiste n 0 2 N tale (a n ) _{n n}

risulta monotona.

Calcolare i seguenti limiti utilizzando il criterio del rapporto 2. lim

n!+1

n ⁿ (n!) ² 3. lim

n !+1

2 ^n!

n ⁿ 4. lim

n !+1

2 ⁿ

(3n)!

5. lim

n!+1

n ⁿ log n (n!) ^↵ 6. lim

n !+1

n ^↵n

(2n)! al variare di ↵ 2 R 7. lim

n !+1

n ⁿ

(2n)! ↵ ⁿ al variare di ↵ > 0 Calcolare i seguenti limiti

8. lim

n!+1

n ² 3 log n + 2 ²ⁿ n! n ²ⁿ 9. lim

n!+1

n ² (1 cos ₂ ¹

) log(1 + _n! ¹ ) 10. lim

n !+1

log cos _n! ¹ sin ¹

3

11. lim

n !+1

log(e ⁿ + 1)

n ^↵ al variare di ↵ 2 R 12. lim

n !+1

n! sin ^{↵ 1} _n

2 ⁿ

al variare di ↵ 2 R

20