3. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 1

3. ESERCIZI sulle SUCCESSIONI, parte 1 Utilizzando la definizione, verificare i seguenti limiti

1. lim

n !+1

n n + 1 = 1 2. lim

n!+1 n ² 4n + 1 = + 1 3. lim

n !+1 log( _n

¹ +1 ) = 1

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

4. Siano a _n = ^{( 1)} _n

+ 1 e b _n = ^{1+( 1)} _n

. Allora le due successioni A. non ammettono limite;

B. sono regolari e lim

n!+1 a n = lim

n!+1 b n ; C. sono limitate.

5. Siano (a _n ) e (b _n ) due successioni positive tali che la successione somma (a _n + b _n ) risulti conver- gente. Allora

A. (a n ) e (b n ) sono convergenti.

B. (a _n ) e (b _n ) sono limitate.

C. (a _n b _n ) `e regolare.

6. Siano (a n ) e (b n ) due successioni positive tali che lim

n!+1 a n = lim

n!+1 b n e lim

n!+1 a

b

= 0. Allora A. esiste n ₀ 2 N tale che a n  b n per ogni n n ₀ .

B. lim

n !+1 a _n b _n = 0.

C. lim

n !+1 a _n + b _n = lim

n !+1 b _n .

Utilizzando l’algebra dei limiti e i limiti notevoli visti, calcolare i seguenti limiti.

7. lim

n !+1

2n ² + p

n 1

3 p

n 2 p

n 8. lim

n!+1

2 · 5 ⁿ 4 ⁿ 5 4 ⁿ 9. lim

n !+1 log(n) + log(n ² + 2) log(n ⁴ + 3) 10. lim

n!+1

e ⁿ

3 ⁿ

2 ^{3 n}

11. lim

n !+1

n ^↵ n ³ + n

n ² + 2n al variare di ↵ > 0 12. lim

n !+1

2 ⁿ ⇡ ⁿ

a ⁿ + 2 ⁿ 3 ⁿ⁺¹ al variare di a > 0

10