Moto di filtrazione al di sotto di un diaframma Moto di filtrazione al di sotto di un diaframma

(1)

Moto di filtrazione al di sotto di un diaframma Moto di filtrazione al di sotto di un diaframma

∆H h=cost.

h=cost.

∂h/∂n=0

(2)

Reticolo di flusso al di sotto di un Reticolo di flusso al di sotto di un

diaframma diaframma

∆H Linea equipotenziale

Linea equipotenziale Linea di flusso

Linea di flusso Linea di flusso

Linea di flusso Linea equipotenziale

(3)

Calcolo delle pressioni interstiziali Calcolo delle pressioni interstiziali

e delle portate e delle portate

∆H

1 2 3

4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 4 5 6 7 8 9

3 2

1 Q=mq _i ; q _i =K∆h _i ; ∆h _i =∆H/n z=0

h=H ⁰ -∆h ⁱ

h= H ⁰ -2 ∆h ⁱ H ₀

z _A A

A w

A wA i

A u z

H h H

h H

h = − ∆ = − ∆ = +

γ 15 ; 14

14 ₀

0

(4)

Distribuzione delle pressioni interstiziali Distribuzione delle pressioni interstiziali

a monte e a valle della paratia a monte e a valle della paratia

∆H

50 40 30 20 10 0

15 16 17 18 19 20

0 10 20 30 40 50

15 16 17 18 19 20

u _w (kPa) z (m)

A valle della paratia, le pressioni interstiziali sono maggiori di quelle idrostatiche

(5)

Sifonamento in condizioni di flusso 1D Sifonamento in condizioni di flusso 1D

( )

( ) ^z ^zi

u

zi z

z L z

z h h u

w w

w v

v

w w

w

γ γ

γ σ

σ

γ γ

+

−

=

−

=

+

 =



 



 ∆ +

=

−

= '

'

∆h L

z

z’ h u _w

L z

∆ h

) ( h L

w

∆ + γ

 

 



 ∆ + z L z

h γ

w

∆ h

w cr w

v i

γ

σ ' = 0 ⇒ = γ ⁻

(6)

Coefficiente di sicurezza al sifonamento Coefficiente di sicurezza al sifonamento

( _w ) ^z _w ^zi

v γ γ γ

σ ' = − +

( ) _cr

w w w

w

v z zi − = i

<

⇒

>

−

⇒

> γ

γ γ γ

γ γ

σ ' 0 i

i

i _cr

η =

(7)

Verifica al sifonamento di una paratia Verifica al sifonamento di una paratia

D i _m = ∆ h ^m

D=2m D/2

h (m)

(∆h) _m

15

16

17

18

19

(8)

Incremento del coefficiente di sicurezza Incremento del coefficiente di sicurezza

al sifonamento al sifonamento

( )

w w w

v

w w

v

w w

v

D q D

i h

h D

q

D h

z h h

u

q D

γ γ γ σ γ

γ γ

γ σ

γ γ

γ γ σ

+ −

∆ <

=

⇒

>

∆

⋅

−

⋅

− +

=

⋅ +

∆

⋅

=

−

∆ +

=

+

⋅

=

0 ' '

0 D=2m D/2

h (m)

(∆h) _m

15 15.5 16 16.5

15 16 17 18 19

σ’ _v può essere aumentato ,

1. aumentando σ _v mediante un sovraccarico

2. approfondendo la paratia

(9)

Il fenomeno dei fontanazzi Il fenomeno dei fontanazzi

∆h

(10)

Sifonamento del fondo foro

(11)

∂h/∂n=0 dreno

(u _w =0)

Flusso in presenza di dreni Flusso in presenza di dreni

h=cost.

In corrispondenza del dreno, h≡z e ∆h≡∆z

(12)

Reticolo di flusso in presenza di dreni Reticolo di flusso in presenza di dreni

h=cost.

q=Σq _i ; q _i =K∆z _i ; ∆z _i =H/n

∆z _i ≡∆h _i =cost. q _i

H 1

2 n

(13)

∂h/∂n=0 dreno

(u _w =0)

Flusso in presenza di asse simmetria Flusso in presenza di asse simmetria

h=cost.

In corrispondenza del dreno, h≡z e ∆h≡∆z

(14)

Reticolo di flusso in asse di simmetria Reticolo di flusso in asse di simmetria

L’asse di simmetria è una linea di flusso

(15)

Moti non confinati Moti non confinati

∂h/∂n=0

dreno

(u _w =0)

h=cost.

(16)

Rete idrodinamica Rete idrodinamica

∂h/∂n=0

dreno (u _w =0) h=cost.

∂h/∂n=0 e u _w =0

La superficie di pelo libero deve essere tracciata per tentativi

(17)

Anisotropia della conducibilit

Anisotropia della conducibilit à à idraulica idraulica

y Y

; =

= x

K X K

x y

Cambio di variabili

x y x

y

K K X

h x

X x

h X

x h x

K K X

h x

X X

h x

h

2 2

∂

= ∂

∂

 ∂



 





∂

= ∂

 

 





∂

= ∂

∂

= ∂

∂

2 0

2 2

2 =

∂ + ∂

∂

y K h

x

K _x h _y

2 0

2 2

2 =

∂ + ∂

∂

y h X

h

(18)

Regione trasformata Regione trasformata

x x

K x X K

x y

3 1 9

1 =

=

∂h/∂n=0

dreno

(u _w =0)

h=cost.

(19)

Rete idrodinamica nella regione trasformata Rete idrodinamica nella regione trasformata

∂h/∂n=0

dreno (u _w =0) h=cost.

∂h/∂n=0 e u _w =0

(20)

Rete idrodinamica in scala originale Rete idrodinamica in scala originale

∂h/∂n=0

dreno (u _w =0) h=cost.

∂h/∂n=0 e u _w =0

La rete idrodinamica non è a maglie quadre

(21)

Conducibilit

Conducibilit à à idraulica equivalente nella idraulica equivalente nella regione trasformata

regione trasformata

K x X K

x

= y

Scala distorta

x

Scala originale

∆h ∆h

X y K h

Y v

q _x _eq ∆

=

= y

X h K

K K x y

K h y v q

x y x

x x

= ∆

=

y y

(22)

Metodo delle differenze finite (1) Metodo delle differenze finite (1)

( ) ² ¹

1 1 , ,

1 2

2 1 1 , 1

, , 1

1 ,

1 ' 2 '

'

; '

x

h h h

x h h

x h

x h h h

x h x

h h h

x h

i i i i

i i i

i i

i i i i

i

∆ +

= −

∆

≅ −

∂

∆

≅ −

∂ =

∂

∆

≅ −

∂ =

∂

−

− + +

− −

− + +

+

x h(x)

x _i-1 x _i x _i+1

(23)

Metodo delle differenze finite (2) Metodo delle differenze finite (2)

( )

( ) ^, ² ^, ¹

1 , 2

2

2 , 1 ,

, 1 2

2 2 2

y

h h

h y

h

x

h h

h x

h

j i j i j

i

j i j i j

i

∆

+

≅ −

∂

∆

+

≅ −

∂

− +

i,j i+1,j i-1,j

i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1

i-1,j-1 i+1,j-1

∆y

∆x

Se ∆x=∆y, l’equazione di campo nel nodo i diventa:

0 4 _,

1 , 1

, ,

1 ,

2 1 2 2

2 = + + + − =

∂ + ∂

∂

− +

−

+ j i j i j i j i j

i h h h h

y h h x

h

(24)

Metodo delle differenze finite (3) Metodo delle differenze finite (3)

, 0

1 , =

∆

= −

∂

∂ +

y h h

n

h i j i j

i,j i+1,j i-1,j

i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1

i-1,j-1 i+1,j-1

∆y

∆x

h h _i _, _j ₊₁ =

i,j i+1,j i-1,j

i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1

i-1,j-1 i+1,j-1

∆y

∆x

Condizione di Neumann Condizione di Dirichlet

(25)

Dreni verticali

(26)

Divergenza di un vettore in coordinate Divergenza di un vettore in coordinate

cilindriche cilindriche

( ^r ^dr ) ^d ^dz

r dr v v

rd v dz r rd v

div θ _r θ _r ^r  + θ



 





∂ + ∂

−

=

⋅

⋅ r ⋅

r

r+dr dθ

dz

r dr v _r v ^r

∂ + ∂ v r

v θ

θ ^θ θ

θ v d

v ∂

+ ∂

Se v _θ =v _z =0

r v r

v v

div ^r ^r

∂ + ∂ r =

= ∫

∫ v

S

dV v

div S

d

v r r r

(27)

Consolidazione in presenza di dreni verticali Consolidazione in presenza di dreni verticali

( ) ( )

 

 

∂

= ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

t v

r r

rv v r

div ^r ε ^v

ϑ ^ϑ 1

r 1

Relazione di Darcy

 

 



 +

∂

− ∂

∂ =

− ∂

= u z

K r r

K h v

w h w

h

r γ

Consolidazione radiale

t r

v r

v _r _r _z

∂

= ∂

∂

+ ∂ ε

( ) ¹ ( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2

2 t u r

u r

u c r

t u r E

u K

r u r

K w w _w

w r ed

w w

h w

w h

∂

∆

= ∂

 





 





∂

∆ + ∂

∂

∆

⇒ ∂

∂

−

= ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

γ γ

Equazione di continuità

(28)

Grado di consolidazione Grado di consolidazione

( ) ₀

; 0 )

( =

∂

∆

= ∂

∆

r =R

r r u

u

Se

(29)

Misura della permeabilit

Misura della permeabilit à à in laboratorio: in laboratorio:

prova a carico costante prova a carico costante

Q _sabbia

∆h

L

A L

K h A

Q = ∆

K = 10 ^-9 m/s

A = 10-2 m2 Nel caso di argilla, l’acqua che evapora

(30)

Misura della permeabilit

Misura della permeabilit à à in laboratorio: in laboratorio:

prova a carico variabile prova a carico variabile

Q _sabbia h

L A

a

( ₀ )

ln 0 K t t h

L h A a

h Kdt L dh A

a

a dh L dt

K h A

a dh Qdt

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

h L h

A

a ₀

⋅ ln ¹

K

(31)

Misura della permeabilit

Misura della permeabilit à à in sito: in sito:

prova in foro a carico costante prova in foro a carico costante

h K F

Q = ⋅ ⋅ h

h

(32)

Coefficiente di ingresso (terreno isotropo)

(33)

Coefficiente di ingresso (terreno anisotropo) Coefficiente di ingresso (terreno anisotropo)

(1) (1)

(34)

Coefficiente di ingresso terreno anisotropo (2)

(35)

Misura della permeabilit

Misura della permeabilit à à in sito: in sito:

prova in foro a carico variabile prova in foro a carico variabile

dt D dh Q

h K F Q

2

4 − π

=

⋅

=

( ₂ ₁ )

1 2 2

2 ln 4

4 t t D K

F h

h

dt D K

F h

dh

−

⋅

−

=

⋅

−

=

π π h ₀

h ₁ h ₂

z H

(36)

Stima della posizione della falda in una Stima della posizione della falda in una

Moto di filtrazione al di sotto di un diaframma Moto di filtrazione al di sotto di un diaframma