Elettromagnetismo
Fenomeni osservati fino dall’antichit`a sull’ambra (electron) e su materiali provenienti da una cava vicinio alla citt`a di Magnesia Studia le forze che tengono insieme gli atomi
Protoni ed elettroni si attraggono e si legano a formare atomi
Molte applicazioni: luce elettrica, forno a microonde, cellulari, radio e televisione
In medicina: radiografie, risonanza magnetica, PET e vari strumenti di diagnosi
Radioterapia e adroterapia per i tumori, laser per la chirurgia
Outline
Inizialmente si studia l’interazione di cariche pountiformi Si introduce quindi il campo elettrico
Poi le distribuzioni di carica superficiali e volumetriche
Per semplificare i problemi con elevata simmetria e per alcuni risultati teorici, si usano il concetto di flusso ed il teorema di Gauss
Con questo si possono studiare i conduttori, ed i condensatori in particolare
Si vede che il campo elettrico porta energia
Si studiano i dipoli, che sono i ”mattoni” elementari utili per capire gli isolanti
Atomi
Sono costituiti da un nucleo fatto da cariche positive e neutre (protoni e neutroni) e da particelle pi`u esterne negative (elettroni) Protoni e neutroni hanno massa quasi 2000 volte pi`u grande degli elettroni
Protoni e neutroni sono tenuti insieme dalle interazioni nucleari forti Gli elettroni si possono pensare come fossero pianeti che girano attorno al nucleo
La loro forza centripeta `e data dall’attrazione elettrica tra protone ed elettrone
Carica elettrica
I La carica elettrica `e quantizzata: le cariche pi`u piccole misurate sono quelle di protone (positiva)+e ed elettrone (negativa) −e che sono tra loro opposte; tutte le altre cariche osservate sono multiple di queste I quark, se esistono, hanno carica ±23e oppure ±13e
I La carica elettrica totale di ogni reazione `e conservata: non si sono mai osservate sparizioni o creazioni di carica elettrica
materia e antimateria devono avere cariche elettriche opposte, altrimenti non si potrebbero annichilare
Densit` a di carica
Spesso conviene trattare la carica come un continuo Si pu`o distribuire sulla superficie, quindi ho σ = Q/S σ `e la densit´a di carica superficiale
questo avviene di solito sui conduttori
si pu`o distribuire nello spazio, dove ho ρ = Q/V ρ `e la densit´a di carica volumetrica
Forza tra cariche
Sperimentalmente trovo che la forza tra protone ed elettrone `e attrattiva e vale
F = k r2 k vale 2.308 · 10−28 N · m2
La forza tra due protoni e tra due elettroni `e la stessa in modulo ma opposta in verso, quindi `e repulsiva
La forza che agisce tra due cariche qualsiasi `e proprzionale a ciascuna delle cariche
l’unit`a di misura della carica nel SI `e il Coulomb ed `e tale che la carica del protone vale
e = 1.6022 · 10−19 C
Quando si dice che su di un corpo `e presente una certa carica elettrica, significa che quella `e la differenza tra carica positiva e negativa
Campi
Come si trasmette la forza?
La meccanica quantistica relativistica stabilisce che avviene scambiando particelle
Nella fisica classica abbiamo l’azione a distanza
Se mettiamo una carica (di prova) B in presenza di un’altra carica A, C’`e una forza tra le due: posso dire che questa esiste perch`e A crea un campo
Una particella carica in un campo elettrico e magnetico sente una forza (di Lorentz)
F = q~ ~E + ~v × ~B
Carica puntiforme
E una carica le cui dimensioni possono essere trascurate` Genera un campo elettrico della forma
~E = 1 4πε0εr
Q r2ˆr ε0 `e una costante universale che vale
ε0 = 8.85 · 10−12N · m2/C2
εr dipende dal materiale nel quale si trovano le cariche ed `e sempre εr ≥ 1
Flusso di un campo
attraverso una superficie
Disegno le linee di campo, tangenti al campo in ogni punto Le linee sono tanto pi`u fitte quanto pi`u il campo `e intenso Definisco il flusso Φ attraverso una superficie come una quantit`a proporzionale alle linee del campo che attraversano la superficie Per una superficie con normale che fa un angolo θ col campo sar`a E · S · cos(θ)
Considero positive le linee che vengono da un verso, negative da verso opposto (angolo maggiore di 180o)
Teorema di Gauss
Se la sorgente del campo `e esterna a una superficie chiusa, tante linee entrano quante escono: il flusso `e quindi nullo
Se la sorgente `e interna, non importa in quale punto la metto, le linee che escono sono sempre le stesse e quindi anche il flusso
Se deformo la superficie questo non canbia, `e importante solo sapere se la sorgente sta dentro o fuori
Se prendo una superficie sferica con una carica nel mezzo, il flusso `e proporzionale a
Φ = Q
4πε0εrr2 · 4πr2= Q ε0εr
Quindi posso dire che questo `e vero per ogni superficie chiusa
Teorema di Gauss
forma matematica
Posso scrivere il flusso come un integrale Se ho pi`u cariche il flusso si somma
Ogni flusso dovuto a cariche interne da’ un contributo Φ = εQ
0εr
Ogni carica esterna da’ un contributo nullo Formalmente posso scrivere il teorema di Gauss
Φ = Z
S
E · ˆ~ n = Qint
ε0εr
Conduttori
All’equilibrio le cariche non subiscono alcuna forza, altrimenti si muoverebbero
Fanno eccezione le cariche sulla superficie, dove si possono muovere solo paralellamente alla superficie
Ne deduco che
1 Il campo elettrico nell’interno `e nullo
2 Sulla superficie ~E deve essere perpendicolare alla superficie Posso calcolare ~E sulla superficie dal teorema di Gauss
Φ = Q
ε0εr = E · S Dividendo per la superficie
E = σ ε0εr
Condensatori
Condensatori piani
Due superfici conduttrici piane e parallele formano un condensatore piano
Se c’`e una carica Q sulla prima superficie, ci deve essere una carica opposta sull’altra (per il teorema di Gauss)
Il sistema ha simmetria per traslazione in due direzioni, e il campo elettrico deve essere perpendicolare alle superfici ed uniforme Il campo elettrico vale εσ
0εr
Condensatori
Condensatori cilindrci
E costituito da due cilindri coassiali, di raggio R` 1 e R2
Posso calcolare il campo elettrico attraverso una superficie coassiale di raggio r
Il teorema di Gauss, applicato ad un cilindro di lunghezza L e raggio r , con R1 < r < R2 da’
E (r ) · 2 π r L = Q/ε = σ · 2 π R1L/ε con ε = ε0· εr. Ne deduco che
E (r ) = σ ε
R1 r
Energia di un condensatore
Immagino di fare del lavoro per caricare un condensatore piano, inizialmente scarico
Dopo averci portato una carica dq, compare un campo elettrico contrario dq/S ε.
Dopo aver ripetuto questa operazione un certo numero di volte, ci sar`a una carica q sul condensatore, e uun campo contrario q/S ε Per portare un’altra carica elettrica dq devo quindi fare un lavoro contro il campo dato da
dW = dq · q S ε · d
Per calcolare il lavoro totale, devo integrare al variare della carica tra 0 e Q
W = Z Q
0
q
S εd dq = Q2 2S εd
Densit` a di energia
del campo elettrico
Dove risiede l’energia nel condensatore?
Posso immaginare che sia distribuita nello spazio tra le armature Calcolo allora la densit`a di energia
w = Q2d 2S ε
.
(S · d ) = 1 2ε
Q S
2
= σ2 2ε = 1
2εE2 Questo risultato `e del tutto generale, e non limitato al caso del condensatore piano. L’energia del campo elettrico `e quindi distribuita uniformemente nello spazio con densit`a
w = 12εE2
Dipolo elettrico
E costituito da due cariche elettriche opposte a distanza piccola` rispetto a quella dove si osserva il campo elettrico
Il prodotto carica×distanza si chiama momento di dipolo elettrico Il campo elettrico del dipolo va a zero, per grandi distanze, come r13. Quindi ci si ”accorge” del dipolo solo per le sostanze neutre
Gli atomi delle sostanze isolanti diventano dipoli sotto l’azione di un campo elettrico esterno
i dipoli di queste sostanze scheramano il campo elettrico
Dipolo elettrico
Sul dipolo, in un campo elettrico agisce un momento torcente di modulo τ = qE · b = qE · d · sin(θ) = pE sin(θ)
Se considero il verso di rotazione, vedo che posso scrivere l’equazione vettoriale
~τ = ~p × ~E
Per spostare un dipolo in un campo elettrico devo fare del lavoro, quindi c’`e un’energia potenziale associata alla posizione del dipolo data da
U = −~p · ~E
