SERIE NUMERICHE

SERIE NUMERICHE

Con l’introduzione delle serie, ci si propone di esten- dere l’operazione di somma ad un numero infinito di addendi.

Def. Data una successione {aⁿ}, si chiama serie di termini a_n la successione {sⁿ} il cui termine n−mo s_n `e definito come

s_n =

∑n k=0

a_k = a₀ + a₁ + · · · + aⁿ , ∀ n ∈ N .

In maniera pi`u esplicita, la successione {s<sup>n</sup>} `e la funzione di N in R:

s : N → R

0 7→ s⁰ = a₀

1 7→ s¹ = a₀ + a₁

2 7→ s² = a₀ + a₁ + a₂ . . .

n 7→ sn = a₀ + a₁ + · · · + an

. . .

• Il termine n−mo sⁿ della serie {sⁿ} si chiama somma parziale n−ma della serie (o ridotta n−ma della serie)

• Data una successione {aⁿ}, la serie di termini aⁿ si indica abitualmente con il simbolo

+∑∞ n=0

a_n (o anche con ∑

a_n o ∑

n a_n se non occorre specificare meglio); in altre parole si pone:

+∞

∑

n=0

a_n = {sⁿ} , dove sⁿ =

∑n k=0

a_k .

Def. Se la successione {sⁿ} converge, diverge (po- sitivamente o negativamente), `e oscillante, diciamo rispettivamente che la serie converge, diverge (posi- tivamente o negativamente), `e oscillante (o indeter- minata).

Se la successione {sn} non `e oscillante, il limite di {sⁿ} si chiama somma della serie di termini aⁿ e si indica anch’essa con il simbolo

+∑∞ n=0

a_n (oppure ∑ a_n,

∑

n a_n); in altre parole si pone anche:

+∞

∑

n=0

a_n = lim

n→+∞ s_n , quando il limite di {sn} esiste.

Studiare il carattere della serie

+∑∞ n=0

a_n significa stabilire se la serie `e convergente, divergente o indeterminata.

Osservazione. In base a quanto precede, il simbolo

+∑∞ n=0

a_n (o ciascuna delle sue varianti ∑

a_n, ∑

n a_n) si usa con un doppio significato: esso indica sia la successione {sⁿ} delle somme parziali sⁿ =

∑n k=0

a_k, sia il suo limite lim

n→+∞ s_n (se esiste).

La somma di una serie

+∑∞ n=0

a_n si pu`o assumere come definizione di “somma degli infiniti termini a_n (n = 0, 1, 2, . . . )”. Nel caso in cui la successione {aⁿ} sia

definitivamente nulla, ovvero se

∃ m ∈ N : ∀ n ≥ m aⁿ = 0 , il valore

+∑∞ n=0

a_n coincide con l’usuale somma degli addendi a₀, a₁,...,a_m−1, cio`e:

+∞

∑

n=0

a_n =

m∑−1 n=0

a_n .

Si ha infatti che ∀ n ≥ m − 1 la somma parziale n−ma s_n =

∑n k=0

a_k si riduce a

s_n =

m∑−1 k=0

a_k +

∑n k=m

a_k =

m∑−1 k=0

a_k .

Quindi {sⁿ} `e definitivamente costante e

n→+∞lim s_n =

m∑−1 k=0

a_k =

m∑−1 n=0

a_n

(l’indice della sommatoria `e muto).

Data una serie

+∑∞ n=0

a_n, una relazione importante tra il termine n−mo aⁿ della serie e la somma parziale n−ma sⁿ =

∑n k=0

a_k `e data dalla seguente:

a_n = s_n − sⁿ₋₁ , ∀ n ≥ 1 .

La precedente si ricava subito osservando che:

s_n − sⁿ₋₁ =

∑n k=0

a_k − ⁿ∑⁻¹

k=0

a_k

=

n∑−1 k=0

a_k + a_n − ⁿ∑⁻¹

k=0

a_k = s_n−1 + a_n − sⁿ−1 = a_n

ESEMPI: 1) Se a_n = 1 ∀ n ∈ N, la serie ⁺∑^∞

n=0

a_n =

+∑∞ n=0

1

`e per definizione la successione {sⁿ}, dove:

s_n =

∑n k=0

a_k =

∑n k=0

1 = n + 1 , ∀ n ∈ N .

Si calcola

n→+∞lim s_n = lim

n→+∞ n + 1 = +∞ . Quindi la serie

+∑∞ n=0

1 `e positivamente divergente e la sua somma `e +∞; in base a quanto detto prima, si scrive anche:

+∞

∑

n=0

1 = +∞ .

2) Se a_n = (−1)ⁿ, ∀ n ∈ N, la serie ⁺∑^∞

n=0

(−1)ⁿ `e per definizione la successione {sⁿ}, dove per ogni n ∈ N:

s_n =

∑n k=0

(−1)^k = {

1 se n pari 0 se n dispari

La successione {sⁿ} `e oscillante: quindi si dice che la serie

+∑∞ n=0

(−1)ⁿ `e oscillante o indeterminata.

3) Se a_n = 2⁻ⁿ, ∀ n ∈ N, la serie ⁺∑^∞

n=0

2⁻ⁿ `e per definizione la successione {sⁿ}, dove per ogni n ∈ N:

s_n =

∑n k=0

2^−k =^∗ 1 − 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾

1 − 2⁻¹ = 2(1−2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾) = 2−2⁻ⁿ . Si calcola:

n→+∞lim s_n = lim

n→+∞(2 − 2⁻ⁿ) = 2 . Quindi la serie

+∑∞ n=0

2⁻ⁿ converge e la sua somma `e

+∞

∑

n=0

2⁻ⁿ = 2

———————————————–

∗ Si usa qui la formula di fattorizzazione

1 − qⁿ⁺¹ = (1 − q)(1 + q + · · · + qⁿ⁻¹ + qⁿ)

= (1 − q) ∑ⁿ

k=0

q^k con q = 2⁻¹

4) La serie dell’esempio 3) `e un caso particolare della serie geometrica di ragione q ∈ R: ⁺∑^∞

n=0

qⁿ. Il carattere della serie dipende dalla ragione q, secondo lo schema sottostante:

+∞

∑

n=0

qⁿ



















converge a 1

1 − q se |q| < 1 , diverge positivamente se q ≥ 1 ,

oscilla (o `e indeterminata) se q ≤ −1 .

Condizione necessaria per la convergenza di una serie

Teorema. Se la serie

+∑∞ n=0

a_n converge allora lim

n a_n = 0.

dim. La convergenza della serie

+∑∞ n=0

a_n significa la convergenza della successione {sⁿ} delle somme par- ziali s_n =

∑n k=0

a_k. Sia L ∈ R il limite delle successione {sⁿ} (cio`e la somma della serie degli aⁿ). Allora, dato che a_n = s_n − sⁿ₋₁ si ha:

limn a_n = lim

n s_n − lim

n s_n−1 = L − L = 0 . Attenzione: La condizione lim

n a_n = 0, necessaria per la convergenza della serie

+∑∞ n=0

a_n, NON `e sufficiente.

La serie armonica

+∑∞ n=1

1

n diverge a +∞, pur avendo che lim

n 1

n = 0.