ALGEBRA 1 — 2009/2010 prof. Elisabetta Strickland Primo esonero — 11 Novembre 2009
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N.B.: compilare il compito in modo sintetico ma esauriente, spiegando chiaramente quanto si fa, e scrivendo in corsivo con grafia leggibile.
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[1] — Dimostrare, per induzione su n , che per ogni n ≥ 2 si ha 1
2 + 1
2 · 3 + 1
3 · 4 + · · · + 1
(n−1) · n = 1 − 1 n
[2] — Determinare il MCD (:= massimo comun divisore) tra i due interi a := 1815 e b := 343 ed esprimerlo poi nella forma a s + b t per opportuni s, t ∈ Z .
[3] — Risolvere il sistema di congruenze lineari
5 x ≡ −3 (mod 2) 2 x ≡ −1 (mod 3)
−2 x ≡ 4 (mod 7)
[4] — Discutere l’iniettivit`a e la suriettivit`a della funzione f : F −→ F , definita da x 7→ f (x) := 2 x3 + 5 , quando F `e uno dei campi seguenti:
(a) F = Q , (b) F = R , (c) F = C , (d) F = Z5 , (e) F = Z7
