Si determini al variare di λ ∈ R l’integrale generale dell’equazione differenziale y 00 + 1

Analisi Matematica II, Ing. Aerospaziale (Canale A-K)

Silvia Marconi - 22 Maggio 2012 -

Esercizi di ricapitolazione Equazione di Eulero

Si determini al variare di λ ∈ R l’integrale generale dell’equazione differenziale y ⁰⁰ + 1

x y ⁰ − 4

x ² y =  λx x ∈ (0, 1]

λ

x

x ∈ [1, +∞)

Si cerchino poi eventuali valori di λ in modo tale che il corrispondente integrale generale sia di classe C ^∞ (0, +∞).

[y(x) =

 c 1 x ² + c 2 x ⁻² + ^λ ₅ x ³ x ∈ (0, 1]

c 1 + ^λ ₃
x ² + c 2 + ^λ ₅
x ⁻² − ^λ ₃ x ⁻¹ x ∈ [1, +∞) y di classe C ^∞ (0, +∞) per λ = 0].

Funzioni in due variabili

• Data la funzione in due variabili f _α (x, y) = ^|y|

√

x

+y

−5

√

(x−3)

+y

1. determinare e disegnare il suo insieme di definizione, stabilendone la natura topologica, al variare del parametro reale α ∈ R.

2. Fissato α = 2, stabilire se la funzione f 2 (x, y) ` e prolungabile per conti- nuit` a nel punto (3, 0) e in caso affermativo, detta ˜ f ₂ (x, y) il suo prolun- gamento, stabilire lungo quali direzioni ˜ f ₂ ` e derivabile direzionalmente nel punto (3, 0).

[Insieme illimitato, n´ e aperto n´ e chiuso, connesso per α > 0; insieme illimitato, n´ e aperto n´ e chiuso, non connesso per α ≤ 0; f prolungabile e il limite ` e 0; ˜ f ₂ derivabile in direzione ˆ v = (1, 0) e ˆ v = (−1, 0)].

• Determinare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione f (x, y) = x ² ln(y − 1) − 8y + y ²

nel suo insieme di definizione.

[(0, 4) punto di minimo, (2, 2) punto di sella, (−2, 2) punto di sella. f illimitata sia superiormente che inferiormente].

• Data la funzione in due variabili f (x, y) = ln(3 + xy)

1. determinare e disegnare il suo insieme di definizione, stabilendone la natura topologica.

2. Determinare massimi e minimi relativi e assoluti della funzione sul disco chiuso di centro l’origine e raggio √

2.

[(1, 1) e (−1, −1) punti di massimo assoluto, (1, −1) e (−1, 1) punti di minimo

assoluto. (0, 0) punto di sella].