SoSottttoossppaazzii R
Raapppprreesesennttaazziioonnee ccaarrtteessiiaannaa ee rarapppprreesseennttaazziioonnee ppaarraammeettrriiccaa
ReRetttete aaffffiinnii ddii RRn n
Rosalba Barattero
ESERCITAZIONE N.5 2 aprile 2009
ESERCIZIO1.
Sottospazi
a) A={(x,y,z)∈R3| x+z=y=x+y-z=0} è sottospazio di R3 ? b) B= {(3s,1+5s)|s∈R} è sottospazio di R2 ?
c) C= {(2t,0,-t)| t∈R} è sottospazio di R3 ?
d) D= {(a-3b,b-a,b,a)| a,b∈R} è sottospazio di R4 ?
Chi sono i sottospazi di Rn ?
• Definizione. Un sottospazio V di Rn è un sottoinsieme non vuoto di Rn chiuso rispetto all’addizione di vettori e alla moltiplicazione di un vettore per uno scalare
( u,v ∈ V ⇒ u+v∈ V ; λ∈R, u∈ V ⇒ λ u∈ V )
Come si riconoscono i sottospazi di Rn ?
• sottoinsiemi generati da vettori <v1, v2,…, vs> ( tutte le possibili C.L. di v1, v2,…, vs )
• soluzioni dei sistemi lineari omogenei
a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
=
= +
0 0
0 z y x y
z x
In questo caso notiamo che (0,0,0) è l’unica soluzione : il sistema rappresenta l’origine di R3 : il più piccolo
sottospazio di R3 ( i sottospazi contengono tutti l’origine ! ).
È un sistema lineare omogeneo
⇒ l’insieme delle sue soluzioni è sottospazio di R3
b) Usiamo la definizione e , come abbiamo appena detto se λ=0, u=(x,y)∈B⇒ λu=0(x,y)=(0,0)∈B, se B è
sottospazio.
Qui (3s,1+5t) =(0,0) ⇒
⎩⎨
⎧
= +
= 0 5 1
0 3
s
s ⇒
⎩⎨
⎧
=
= 0 1 s 0
assurdo ! B non è sottospazio di R2 : è una retta non passante per l’origine.
Tutti i sottospazi di R2 sono :
c) (2t,0,-t) = t(2,0,-1) ⇒ C =<(2,0,-1)> sottospazio generato da (2,0,-1) : retta per l’origine di R3 Tutti i sottospazi di R3 sono :
d) (a-3b,b-a,b,a) = a( , , , ) +b( , , , ) = a(1,-1,0,1) +b(-3,1,1,0)
⇒ D = <(1,-1,0,1), (-3,1,1,0) >, che sappiamo essere sottospazio di R4.
- {(0,0)}
- Le rette per l’origine - R2
- {(0,0,0)}
- Le rette per l’origine - I piani per l’origine - R3
ESERCIZIO2.
SOTTOSPAZI:dalle parametriche alle cartesiane Siano dati in R4 i vettori u=(1,1,0,-1), v=(1,1,1,1) e sia V=<u,v>
il sottospazio generato da u e v.Determinare una rappresen- tazione parametrica e una cartesiana di V.
u(1,1,0,-1), v=(1,1,1,1) sono L.I. ( non proporzionali ! ), quindi sono entrambi ′essenziali′ come generatori di V
( ciascuno dei due non genera l’altro!).
Allora (x,y,z,w)∈V⇔∃ s,t∈R t.c. (x,y,z,w)=s(1,1,0,-1)+t(1,1,1,1)
Cioè
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
−
=
= +
= +
=
t s w
t z
t s y
t s x
s,t∈R : una rappresentazione parametrica di V.
I°MODO : DALLE PARAMETRICHE ALLE CARTESIANE
Per trovare la rappresentazione cartesiana procediamo così:
(x,y,z,w)∈V ⇔ ρ
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
− 1 1 1 1
1 0 1 1
w z y x
=2 (*)
Ora usiamo la regola di Kronecker, orlando il minore M non nullo segnato.Abbiamo: ρ=2 ⇔ sono nulli i determinanti delle due sottomatrici orlanti M:
1 1 1
0 1 1
z y x
=0 e
1 1 1
1 0 1
w z y
− =0 ⇔⎩⎨⎧−x2z−y+=y0+w= 0 Rappresentazione cartesiana di V
Trovate le 2 equazioni lineari omogenee che individuano V: non una in più, né una in meno ! Esattamente il minimo numero di equazioni che individuano V.
Osservazione di carattere generale
In generale se V ⊆Rn ,d=dimV , allora mettendo in riga (o in colonna) i generatori di V che sono L.I. trovo un minore M non nullo di ordine d.
Quanti sono i minori che orlano M ? tanti quante sono le colonne in (*) fuori di M , dunque n-d !
Ogni minore ci fornisce un’equazione e allora le equazioni carte- siane sono esattamente n-d !
IIMODO : DALLE PARAMETRICHE ALLE CARTESIANE
In R4 si ha V:
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
−
=
= +
= +
=
t s w
t z
t s y
t s x
⇔ (x,y,z,w)=s(1,1,0,-1)+t(1,1,1,1)
• dim V =2 : 2 è il numero dei generatori L. I. di V, ossia 2 è il numero di elementi che costituisce una base di V Cerchiamo il sistema lineare omogeneo costituito dalle equazioni L.I. il cui spazio delle soluzioni è V . Abbiamo visto che il sistema cercato ha n-d equazioni.
Rivediamolo in un altro modo, un po’ più ′empirico′ ...
Questo sistema ha ∞2 soluzioni ( in generale ∞d ): ∞2 = ∞4-ρ 4 = n° incognite,
ρ =ρ (A) = massimo n° di equazioni L.I. del sistema
= n° righe che fanno parte del minore non nullo che dà la caratteristica 2
= 2
• in generale il n° di variabili libere (quelle al di fuori del minore ) è esattamente d , la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo, quindi l’ordine del minore è n-d (ρ = n-d) , con n= dim Rn , d = dim V
Quindi abbiamo ritrovato che il n° di equazioni L.I. che individuano V è n-d (qui = 4-2 =2 )
( questo ragionamento si può estendere a qualsiasi sistema lineare, non nec. omogeneo, che abbia soluzioni, grazie alla tecnica risolutiva vista la volta scorsa).
Eliminiamo i parametri :
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
−
=
= +
= +
=
t s w
t z
t s y
t s x
⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
= +
= +
=
w - t s
z t
t s y
t s x
⇒
⎩⎨
⎧
+
−
= +
−
=
z w z y
z w z
x ⇒
⎩⎨
⎧
−
=
−
= w 2z y
w 2z
x eq. L.I.
( se non si fanno pasticci sono L.I. e sono 2 come previsto!) Non è la stessa rappresentazione di prima, ma con una C.L. si nota che :
⎩⎨
⎧
−
=
−
= w 2z y
w 2z
x ⇔
⎩⎨
⎧
= + +
−
=
−
0 w y 2z
0 y
x .
ESERCIZIO3.
Sottospazi: dalle cartesiane alle parametriche
Verificare che in R3 i piani V: 2x+y+z=0, W: 2x+y-z=0 si intersecano in una retta e determinarne una
rappresentazione parametrica.
⎩⎨
⎧
=
− +
= + +
0 z y 2x
0 z y
2x ρ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 - 1 2
1 1
2 =2 ( righe non proporzionali)
⇒ Ci sono ∞n-ρ = ∞3-2 =∞1 soluzioni, ci aspettiamo una retta, verifichiamolo, e troviamone la rappresentazione parametrica facendo uso della tecnica della riduzione di Gauss.(*)
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 - 1 2
1 1
2 R2→ R2 – R1 ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
2 - 0 0
1 1
2
R2→ -1/2 R2 ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 0 0
1 1 2
R1→ R1 – R2 ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
1 0 0
0 1 2
Isoliamo a I membro il minore trovato
⎩⎨
⎧
=
= 0 z
-2x
y , abbiamo il
sottoinsieme (x,-2x,0) di R3, ossia x(1,-2,0), quindi il sottospazio V= <(1,-2,0> : la retta di eq. param. x= t, y=-2t, z=0 , t∈ R,
<(t,-2t,0)>.
La riduzione totale consente di ricavare l’espressione ′diretta′
delle incognite.
ESERCIZIO 3.
Minore non nullo di ordine 2 in forma ridotta
… ci spostiamo dall’origine
• Ogni spazio affine A è individuato da un pto P ( un qualsiasi pto di partenza) e dalla giacitura D(A )= {Q-P| al variare di Q pto di A} ,
ossia il sottospazio di tutti i vettori direzionali di A ( vedi disegno pag. seg.)
• A non è chiuso risp. alla somma e al prodotto esterno, come invece è D(A ), che è sottospazio di R3 !
• La dimensione dello spazio affine A è definita come dim(D(A))
La figura di questa pagina è tratta da Tom M. Apostol – Calculus – vol.I
- il vettore parallelo a B-A e passante per l’origine è B′-0 e in termini di equipollenza diciamo
B′-0 = B-A
( stessa direzione, verso e lunghezza ) Se B= (b1, b2 ), A= (a1, a2 ) si ha : B-A = (b1-a1, b2-a2 )
E allora ne segue : B′ = (b1-a1, b2-a2)
… Idem per C-A
C′
B′
O
C
B A
ESERCIZIO 4.
Rette affini in R5
Sia dato il sistema lineare
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= +
−
=
−
=
−
=
0 1 5
0 2
1
4 2
5 2
3 1 1
x x
x x
x x x
.
a) Provare che l’insieme delle soluzioni del sistema rappresenta una retta affine r di R5 ( spazio affine di dimensione 1).
b) Verificato che P(1,-1,1,-1,1) non è pto di r, determi- nare in forma cartesiana l’unica retta s parallela ad r e passante per P.
a) Senza usare la caratterizzazione degli spazi affini tramite i sistemi lineari, possiamo direttamente provare che risulta r:Q+ S,con Q pto di r e S sottospazio vettoriale Il vettore soluzione del sistema è (1, x2, 0, -x2 , 5x2+1) che può essere scritto così:
(1,0,0,0,1)+ x2 (0,1,0,-1,5)
E questa è la rappresentazione dello spazio affine (1,0,0,0,1) + <(0,1,0,-1,5)>
Pto ( di partenza ) di r Sottospazio di dim 1 : Giacitura della retta affine r
b) r:{(1, x2, 0, -x2 , 5x2+1) ∈R5 al variare di x2 in R } P(1,-1,1,-1,1)∉ r : non esiste nessun x2 che vada bene!
Proviamo che il fatto è ancora vero in R5 !
Prosegue la prossima esercitazione
P
r
s Nel piano euclideo il fatto è vero : è il V postulato di Euclide !
