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1) Calcolare il volume del solido V = {(x, y, z) ∈ R 3: x 2+ y 2≤ 2 , 0 ≤ z ≤ x , |y| ≤ x 2}.

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Academic year: 2021

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(1)

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA PROVA SCRITTA DEL 4 SETTEMBRE 2009

1) Calcolare il volume del solido V = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ x , |y| ≤ x 2 }.

2) Calcolare l’integrale di superficie Z Z

S

(x 2 + y 2 ) dS dove S = {(x, y, z) ∈ R 3 : z = x 3 − 3xy 2 , x 2 + y 2 1 3 }.

3) Sia α ∈ R; sia data la seguente successione {f n } n∈ Z

+

definita da:

f n (x) = r

x 2 + 1 n α ;

si studi la convergenza puntuale ed uniforme al variare di α ∈ R. Per quali valori di α ∈ R converge ad una funzione derivabile su tutto R?

4) Si consideri poi la funzione f periodica di periodo 2π, definita da f (x) = 1 − 2x x ∈ [−π, π) . Si mostri che la serie

(∗) 1 + X n=1

(−1) n 4 n sin nx

`e la sua serie di Fourier. Si discuta la convergenza puntuale ed uniforme di (∗) come serie trigonometrica; si ritrovino le conclusioni ottenute dai teoremi sulle caratteristiche di f , specificando, in particolare, il valore a cui converge nei multipli interi di π.

5) Calcolare la soluzione ˜ y del seguente problema di Cauchy:

 

y 0 = y

t + 1

1 + tan 2 ( y t ) , y(1) = π 4 .

(consiglio: porre y t = z)

6) Si consideri il seguente problema di Cauchy (

y 0 = |y|

t + 1 y(0) = y 0 .

a. Discutere l’applicabilit`a dei teoremi di esistenza ed unicit`a (locale e globale).

b. Studiare monotonia, concavit`a e asintoti delle soluzioni al variare di y 0 ∈ R.

Tempo a disposizione: 2 ore e 15 minuti.

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