Probabilità. Un percorso didattico

Probabilità. Un percorso didattico

probabilità di eventi non “elementari”

legge della moltiplicazione

L. Cappello, C. Bonmassar

a cura di L. Cappello

5 giugno 2014

Probabilità di eventi non elementari - Unione

Se alla roulette (europea) punto su un numero pari o nero, qual è la probabilità che io vinca?

Contiamo i casi favorevoli … la probabilità è

spazio agli interventi degli studenti

Probabilità di eventi non elementari - Unione

controlliamo …

Invece possiamo ricorrere all’uguaglianza seguente? E’ vera?

effettuiamo anche prove materiali (test di ipotesi)

Per quale motivo è falsa?

Vale # (P U N ) = # P + # N - # (P ∩ N )

P N

11 13 15 17 29 31 33 35 14 16 18

12 30 32

34 36

4 6 8 102 20 22 24 26

28

Probabilità di eventi non elementari – Unione …

Tali quesiti stimolano l’uso di più forme di rappresentazione:

- il linguaggio degli insiemi

simboli e termini, operazioni

- la schematizzazione grafica mediante diagrammi di Venn

- il linguaggio logico ^… i connettivi “o”, “e”, “non”

significato logico e uso nel linguaggio naturale

Addirittura diventano un’occasione per introdurre contenuti:

G. Prodi, libro di testo “Matematica come scoperta”

E sviluppano la capacità di passare da una all’altra

in particolare: “e” - intersezione, “o” - unione

Probabilità di eventi non elementari – Unione …

Ma è importante scegliere oculatamente quali - formule

- termini

proporre agli studenti

Proporreste l’enunciato del Teorema delle probabilità totali?

E le definizioni di eventi compatibili, incompatibili?

Probabilità di eventi non elementari – Unione …

In una scuola la probabilità che uno studente, scelto a caso, sappia pattinare è del 31%. Quella che uno studente sappia arrampicare è del 24%.

Tali informazioni sono sufficienti per determinare la probabilità che uno studente della scuola sappia pattinare e arrampicare ?

le informazioni fornite non sono sufficienti!

Fornisci un esempio di informazione aggiuntiva, mediante la quale si possa determinare la probabilità richiesta.

Piuttosto … una questione significativa

P A

?

Probabilità di eventi non elementari - Complementare

Lanciamo tre dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6.

Qual è la probabilità che il punteggio (somma dei tre numeri usciti) sia almeno “5”?

gli studenti esplorano il pb … si devono considerare molt casi il docente suggerisce una strategia

• consideriamo l’evento complementare (contrario) C = “il punteggio è minore di 5”

ossia

C = “il punteggio è 3 oppure è 4”

• numero casi favorevoli a C: 1+3 = 4

numero casi favorevoli ad “almeno 5”: 216 – 4 = 212

Probabilità di eventi non elementari - Complementare

Osservazione

E

Infat

In generale, per ogni evento E vale

Probabilità di eventi non elementari – Alcuni esercizi

Alcuni esempi

modellizzazione anche mediante circuiti elettrici

Esercizi dai testi in adozione

ma con attenzione

Legge della moltiplicazione – Problemi motivanti

sviluppiamo gli strumenti matematici per affrontarli

Il test “Elisa” relativo all’HIV ha una sensibilità del 99,9% e una specificità del 99,9%. Se la malattia ha una prevalenza dello 0,3%, qual è la probabilità che il test dia indicazioni errate su un individuo scelto a caso nella popolazione?

Test clinici

Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone.

Scommetteresti che vi sono almeno due tra esse che compiono gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)?

Compleanni

Legge della moltiplicazione ^– Una giustificazione

Giochiamo a battaglia navale.

Qual è la probabilità di colpire la portaerei in figura? Con un colpo.

prodotto cartesiano

La probabilità è

• numero casi favorevoli = 2∙3

numero casi possibili = 5∙7

• “colpire la portaerei” = A e B

Un approccio per componenti

Legge della moltiplicazione ^– Una giustificazione

• un colpo:

1)

si indica un numero

2)

si indica una lettera

Possiamo generalizzare il risultato?

B

A

Qual è il significato della formula?

Legge della moltiplicazione – Urna

In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e la si reinserisce nell’urna prima dell’estrazione successiva.

Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?

gli studenti esplorano il problema:

effettuano prove dell’esperimento …

poi magari elencano i casi possibili: R1R1, R1R2, … R1B1, …

Legge della moltiplicazione – Urna

seconda estrazione

B2 B1 R3 R2 R1

R1 R2 R3 B1 B2

prima estrazione

Un modello: la tabella

la probabilità dell’evento “R e B” è

Legge della moltiplicazione – Urna

Un altro modello: il grafo ad albero

3/5

3/5 3/5

2/5

2/5 2/5

estrazione 1

estrazione 2

• la probabilità di ogni estrazione …

• il cammino “favorevole” …

Cerchiamo relazioni tra p(R e B)=6/25 e le prob. sul grafo: lettura sul grafo:prodotto probabilità dei rami

estrazione 1

estrazione 2

Legge della moltiplicazione – Urna

I due modelli a confronto

Ad ogni cammino sull’albero corrisponde una cella della tabella contratta

Legge della moltiplicazione – Urna

Una giustificazione mediante un’analogia

R

3/5

3/5 2/5

• immaginiamo che il grafo rappresenti un condotto per l’acqua

• se il tubo verde in alto porta a litri, allora nel tubo verde sotto scorrono i 2/5 di a litri,

• se il tubo in alto porta 3/5 di litro, allora …

Analogamente nel pb in esame

si percorre il ramo in alto con probabilità 3/5,

allora si percorre quello verde in basso con probabilità globale 2/5 3/5 ∙

ma è solo un’analogia

ossia 2/5 ∙ a litri

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e non la si reinserisce nell’urna.

Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?

gli studenti esplorano il problema, effettuano prove

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

seconda estrazione

B2

x

B1

x

R3

x

R2

x

R1

x

R1 R2 R3 B1 B2

prima estrazione

La tabella

la probabilità dell’evento “R e B” è:

alcune celle non intervengono!

estrazione 1

estrazione 2

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

Il grafo ad albero

3/5

1/2 3/4

2/5

1/2 1/4

p(R e B) =

cambiano le probabilità della seconda estrazione!

Gli studenti notano che vale

ancora il prodotto delle probabilità “elementari”, ma con attenzione …

3/5

3/5 3/5

2/5

2/5 2/5

Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione

estrazione 1

estrazione 2 3/5

1/2 3/4

2/5

1/2 1/4

senza reimmissione

con reimmissione

Legge della moltiplicazione – Le scelte del docente

- la stessa definizione di eventi indipendenti?

- la stessa notazione per la probabilità che dipende da altre?

- lo stesso enunciato della legge della moltiplicazione?

Considerate quanto riporta il libro di testo

M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità Blu, Zanichelli

Seguireste l’ordine in cui sono presentati nel testo?

In un percorso per il primo biennio, proporreste

Quali sono le vostre definizioni, notazioni e i vostri enunciati?

Legge della moltiplicazione – Facciamo il punto

Modelli:

urna con reimmissione indipendenza urna senza reimmissione dipendenza

Legge della moltiplicazione

Dati due eventi A, B, la probabilità dell’evento A ∩ B è uguale al prodotto della probabilità dell’evento A per la probabilità di B valutata nell’ipotesi che A si sia verificato.

sia per eventi indipendenti che dipendenti

Due eventi si dicono indipendenti se la conoscenza del fatto che

uno di essi si è verificato non modifica la probabilità dell’altro .

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?

Più importante: disporre di modelli di riferimento … l’urna Una definizione equivalente di indipendenza:

ma non insistere

Indipendenza. Non sempre è intuitiva

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?

Esperimento del lancio di un dado a 6 facce A = “esce un numero pari”

B = “esce il numero 1 o il numero 2“

• Verifichiamo:

p(A) p(B) = 1/6 = p(A∩B) ∙

• Sono indipendenti!

… attenzione

• Intuitivamente i due eventi A, B vi sembrano indipendenti?

Inghilterra, dopo seconda guerra mondiale, analisi statistica su N case.

Per ogni casa si rileva se c’è un nuovo nato, un nuovo nido di cicogna:

A = “almeno un nuovo nido di cicogna sul tetto di una casa fissata”

B = “almeno un nuovo nato in una casa fissata”

Dai dati:

A influenza B?

No! A, B hanno una causa comune: la fine della guerra.

Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?

Dipendenza. Non sempre è influenza tra eventi

dove c’è un nido di cicogna è maggiore la probabilità di una nascita

Introdurne una quando serve univocità e coincisione

vantaggi della formalizzazione

Piuttosto oppure

All’inizio è meglio non utilizzare notazioni specifiche per la probabilità che dipende da altre

E’ più importante evitare ambiguità nel linguaggio

“probabile” = “possibile”

“non probabile” = “non possibile”

Legge della moltiplicazione – La notazione p(A|B)

- un’unica formulazione

per eventi indipendenti o dipendenti

Legge della moltiplicazione – Come applicarla?

- non serve chiedersi a priori se A, B sono dipendenti

a meno che la richiesta non sia di verificarlo

- attenzione a valutare la “nuova” probabilità di B

nell’ipotesi che A si sia verificato … ma essa potrebbe non cambiare

è responsabilità dell’insegnante

All’inizio è meglio non usarla

in una prima fase serve quasi solo per calcolare p(A∩B)

Però ha un ruolo fondamentale:

- è la definizione di probabilità condizionata

-

- da essa deriva

la definizione di dipendenza ed indipendenza di eventi la legge della moltiplicazione

il significato di probabilità condizionata nei tre approcci

Legge della moltiplicazione – Come applicarla?

La formula

Legge della moltiplicazione – Consolidamento

Alcuni esempi

Esercizi dai testi in adozione

Per quale motivo di fondo le 2 prob. sono uguali?

Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”.

Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete?

TTTTTTTTTT TCTCCTCTTC Regolarità

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

p(TTTTTTTTTT) = p(T) ∙ p(T) ∙ … ∙ p(T) =

I lanci sono indipendent . C’è una sequenza di 10 lanci sulla quale scommettete?

p(TCTCCTCTTC) = p(T) ∙ p(C) ∙ … ∙ p(C) =

Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”.

L’esito dei primi 9 lanci è TTTTTTTTT.

Al decimo lancio è più probabile ottenere C?

Compensazione

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

I lanci sono indipendenti

“la moneta non ha memoria”.

Quindi al decimo lancio, come al primo, vale p(T) = p(C) = 1/2.

- L’evento “i primi nove lanci hanno tut esito testa” è poco probabile:

p(TTTTTTTTT) < 1/500 Ma ormai è accaduto. E’ un evento certo

Solo gli esiti del decimo lancio sono eventi aleatori. 

- Fraintendimenti:

  interpretare in modo errato la Legge dei grandi numeri  Approfondiamo

Compensazione

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

… tutto questo in teoria, ma nella pratca cosa succede?

Proviamo!

Idea e traccia di lavoro

File predisposto per studenti

Il quesito “Marta e i bambini”

gli studenti possono rispondere in modo autonomo

servono alcune ipotesi, utile la lettura “Genetica e determinazione del sesso”

meglio però effettuare anche esperimenti materiali

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

Qual è la probabilità che il “53” non esca per 182 estrazioni consecutive?

Numeri ritardatari

Il “53” non è uscito per 182 estrazioni consecutive sulla ruota di Venezia.

Qual è la probabilità che esca su tale ruota alla 183-esima estrazione?

• La probabilità di uscita alla 183- esima estrazione è ancora p:

le estrazioni sono indipendenti (per il meccanismo fisico di estrazione)

• La probabilità che esca il “53” ad una data estrazione su tale ruota è

poco probabile ma ormai è passato Approfondiamo

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

… il “53” è uscito su Venezia il 9 febbraio 2005, alla 183 – esima estrazione

Attività.

Scommessa con gli studenti. Il docente punta un numero “a caso”.

Numeri ritardatari

Ecco i “numeri spia” dal sito della Lottomatica.

E’ uscito il “15” sulla ruota di Bari. E’ vero che allora aumenta la

probabilità di uscita dell’ “84”? Giustifica.

Test clinici

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

- Test di gravidanza: una situazione semplice

Una popolazione di 10.000 individui è stata sottoposta ad un test per diagnosticare una certa malattia.

Sono risultate positive al test 1.726 persone e si assume che il test sia risultato positivo per il 99,0% dei malati.

Inoltre si assume che il 2,0% della popolazione avesse la malattia.

Qual è la probabilità che il test abbia fornito indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione?

- Un problema significativo

il video del problema e della risoluzione realizzato dal Laboratorio:

http://youtu.be/N_sdkLtECps

Test clinici

Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali

Una popolazione è sottoposta al test “Elisa” per la diagnosi dell’HIV.

La probabilità che il test sia positivo sull’individuo che ha il virus è del 99,9%

Quella che il test sia negativo sull’individuo “sano” è del 99,9%

Inoltre si assume che lo 0,3% della popolazione abbia la malattia (

).

Qual è la probabilità che il test fornisca indicazioni errate su un individuo scelto a caso in tale popolazione?

si risolve analogamente ai due pb precedenti, con un grafo ad albero p(“esito errato”) = 0,997 0,001 + 0,003 0,001 = ∙ ∙ 0,001

- Uno dei problemi motivanti, ora precisato.

esploriamo: come cambia la risposta al variare dei valori numerici in ipotesi?

… cerchiamo anche una giustificazione algebrica

- Proporreste agli studenti l’esercizio n. 60? Quando nel percorso?

Cosa indica la normativa? – Secondaria Superiore Legge della moltiplicazione – Esercizi dai libri di testo

Considerate il testo per il primo biennio

M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità.Blu, Zanichelli

Esaminate le sezioni dedicate agli esercizi sulla legge della moltiplicazione

- Quali esercizi dal n. 69 all’84 proporreste agli studenti?

- Risolvereste il n. 61 nel modo in cui è svolto sul testo?

- Considerate l’esercizio svolto n. 77 (legge della moltiplicazione).

Vorreste che gli studenti producano una risoluzione analoga?

esaminate notazioni, formalizzazione, giustificazioni, approccio