CONSEGUENZE
FONDAMENTALI DELLA CONTINUITÀ E DELLA
DIFFERENZIABILITÀ
DELLE FUNZIONI DI PIÙ
VARIABILI.
Argomenti della lezione Argomenti della lezione
Conseguenze della Conseguenze della continuità delle funzioni.
continuità delle funzioni.
Conseguenze della Conseguenze della
differenziabiltà delle funzioni di differenziabiltà delle funzioni di
più variabili: continuità, più variabili: continuità,
derivabilità, gradiente.
derivabilità, gradiente.
CONSEGUENZE CONSEGUENZE
DELLA CONTINUITÀ
DELLA CONTINUITÀ
Un sottoinsieme A RRnn si dice limitato se esiste un numero
reale r > 0, tale che
A {x RRnn : |x|<r } = SOr. Un sottoinsieme K RRnn
limitato e chiuso si dice anche un insieme compatto.
Teorema
Ogni funzione continua f : K Rn R, con K chiuso e limitato, ha un valore massimo e uno minimo.
(di Weierstrass)
Un sottoinsieme A RRnn si dice
connesso (per archi) se comunque si prendano due punti x,y A esiste un arco di curva continua a valori in A che congiunge x con y.
Un arco di curva continua è una funzione f : I RRnn , f = (f1 , .., fn)T, nella quale le singole componenti
f1(t) , .., fn(t) sono funzioni continue.
I = [a,b] è un intervallo della retta reale, per esempio I = [0,1].
y x
f(0)=
(
f1(0),…, fn(0))
T = xf(1)=
(
f1(1),…, fn(1))
T = yTeorema
(degli zeri)
Sia A un insieme connesso in Rn e
f : A Rn R, una funzione continua.
Se x e y sono punti di A tali che f(x) > 0 e f(y) < 0,
allora esiste z A tale che f(z) = 0.
CONSEGUENZE CONSEGUENZE
DELLA DELLA
DIFFERENZIABILITÀ
DIFFERENZIABILITÀ
Teorema Teorema
Ogni funzione differenziabile in un punto x
0è continua
nello stesso punto.
f f : A R : A R
n nR R
si dice differenziabile in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T
si dice differenziabile in x0 = (x01, x02 ,… x0n)T
se esiste un’ applicazionese esiste un’ applicazione
linearelineare L L : :
R R
n n R R
tale che tale chef
(x) =f
(x0)+ L(x-x0)+
(x)|x-x0| con
(x) 0 se x x0.Un’applicazione lineare L L : :
R R
n n R R
si scrive esplicitamente
LL(x - x(x - x00)) = L = L11(x(x11- x- x1100)+…+ )+…+ LLnn(x(xnn- x- xnn00))
con L1, …, Ln numeri reali.
lim lim
x x x x
00f f ( ( x x ) ) f f ( ( x x 0 0 ) )
Teorema Teorema
Se una funzione è differenziabile in un punto x
0, essa
ha derivate in ogni direzione in x
0. In particolare, ha tutte
le derivate parziali.
Sia x = x0 + vt l’equazione della retta per x0 di direzione v.
|x - x0| = |t| |v| = |t|, poiché |v| = |t|,
|v| = 1 (v è un versore).
f(x0+vt)-f(x0)
_____________________
t = L= (v)+
(x0+vt) |t||t|tDunque
∂f
∂v (x0) = L(v) = L1v1+…+ Lnvn
In particolare
∂f
∂ek (x0) = L(ek) = L10+…+ Lk1 + …+ Ln0= Lk = ∂f
∂x (x
0)
Si dice differenziale di f in x0
dfx0 (x-x0) = L(x-x0) = (x0)(x1- x10)+…+ ∂f
∂xn
∂f
∂x1 (x0)(xn- xn0) La derivata direzionale si scrive
∂f
∂v (x
0) = ∂f
∂x1(x0)v1 +…+
∂f
∂xn(x0)vn
Se f, in particolare, è la proiezione sull’asse k-esimo, f(x1,…, xn) = xk, le derivate parziali di f rispetto a xi sono Di f(x0) = ik (0 se i≠k, 1 se i=k),
e perciò il suo differenziale in x0 è dfx0(x-x0) = xk - xk0.
Dunque: dxk (x-x0) = xk - xk0.
Da ciò nasce la notazione spesso usata
dfx0 = (x0)ddx1+…+ ∂f
∂xn
∂f
∂x1 (x0)ddxn
Il vettore che ha come componenti le derivate parziali di f in x0 si dice il gradiente della funzione in gradiente x0.
(grad f)(x0) = (f )(x0) =
=
(
(∂f/∂x1)(x0), …, (∂f/∂xn)(x0))
T==
(
(D1f)(x0) , …, (Dnf)(x0))
TCONCLUSIONE
Se f è differenziabile in x0
f ha derivate in x0 in ogni direzione e (Dvf)(x0) = (grad f)(x0)v =
= (f)(x0)v =
(f)(x0), v
Nota: il simbolo si legge “nabla”.
Supponiamo |(f)(x0)| ≠ 0. Poiché (Dvf)(x0) =
(f)(x0), v =
|
(f)(x0)|||v| cos cos Il massimo di (Dvf)(x0) si ha per =0, =0, il minimo per
il minimo per = =
. Cioè la derivata . Cioè la derivatadirezionale è massima nella direzione direzionale è massima nella direzione di (di f)(x0); minima nella direzione
opposta -(f)(x0).
ULTERIORI CONSEGUENZE DELLA DIFFERENZIABILITÀ
Se f è differenziabile in x0 vale
f
(x) =f
(x0)+ L(x-x0)+
(x)|x-x0| con
(x) 0 se x x0.Il valore di f(x) è dato dalla somma di un termine lineare f(x0)+ L(x-x0) e di
un contributo infinitesimo
(x)|x-x 0| d’ordine maggiore di uno (rispettoa |x-x0| ).
Il termine lineare f(x0)+ L(x-x0) è in Rn l’equazione di un “iperpiano”, che si dice l’iperpiano tangente al grafico
di f in x0.
z-z0 = (x0)((x1- x10) +…+ ∂f
∂xn
∂f
∂x1 (x0)((xn- xn0) Equazione dell’iperpiano tangente
al grafico di f in x0.
Equazione del piano tangente al grafico di f(x,y) in (x0,y0).
z-z0 = (x0)((x- x0) + ∂f
∂f ∂y
∂x (x0)((y - y0)
0 4
2
0
-2
-4
-6
y 0
2 1
0 -1
-2 x
0
2 1
0 -1
-2
