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CD03 - Sistemi a dati campionati

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Academic year: 2021

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(1)

Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

CONTROLLI DIGITALI

Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica

SISTEMI A DATI CAMPIONATI

Analogamente a quanto fatto nel corso di Controlli Automatici per i sistemi continui, sarebbe possibile approfondire ulteriormente l’analisi dei sistemi discreti usando la Z trasformata

Nell’ambito dell’automazione, è necessario considerare sistemi “misti” dove l’algoritmo di controllo è un sistema a tempo discreto che opera su segnali discreti mentre il plant è un sistema a tempo continuo

Sistemi a dati campionati

Impianto Trasduttore Attuatore Calcolatore digitale D/A A/D e

(2)

CD -- 3

Sono necessari campionatori e ricostruttori, dispositivi che trasformino

segnali tempo continuo in segnali a tempo discreto e viceversa.

Il ruolo dei campionatori e dei ricostruttori è fondamentale per capire la risposta di un sistema di controllo digitale

Sistemi a dati campionati

Cristian Secchi Controlli Digitali

I sistemi dove compaiono sia segnali a tempo discreto che segnali a tempo continuo sono detti sistemi a dati campionati

Viene detto anche convertitore A/D

Converte un segnale tempo continuo in una sequenza di campioni prelevati agli istant 0, T, 2T, 3T …, dove T è un parametro del campionatore ed è detto periodo di campionamento

Nell’ambito dei controlli digitali, si suppone che il campione sia preso esattamente all’istante di campionamento e che il campionamento sia esattamente sempre uguale e di periodo T. In pratica questo non è sempre verificato, ma le deviazioni dal comportamento ideale non introducono effetti significativi al fine del progetto del controllore.

Campionatore impulsivo

(3)

CD -- 5

Campionatore impulsivo

Cristian Secchi Controlli Digitali

Un modello matematico del campionatore può si ottiene facendo ricorso all’impulso di Dirac. Per questo si parla anche di campionatore impulsivo. Si consideri un treno di impulsi di Dirac (Dirac comb).

∞ = − = 0 ) ( ) ( k T t δ t kT δ

E’ possibile rappresentare la sequenza campionata mediante il segnale un treno di impulsi modulato dal segnale da campionare:

)

(

)

(

)

(

*

t

x

t

t

x

=

δ

T

•  Il segnale x∗(t) rappresenta quindi una sequenza di impulsi di Dirac

modulati in ampiezza dai campioni x(kT).

•  L’operazione di moltiplicazione di un segnale x(t) per una sequenza di impulsi δT (t) prende il nome di campionamento impulsivo del segnale x(t).

Campionatore impulsivo

Il campionatore impulsivo verrà indicato mediante i seguenti simboli: δT(t) x(t) X(s) x*(t) X*(s) δT(t) x(t) X(s) x*(t) X*(s) Quando il periodo di campionamento è chiaro dal contesto, si ometterà di indicare δT(t).

Il campionatore impulsivo è un modello ideale del campionatore reale (convertitore A/D) considerato adeguato alle esigenze di analisi e progetto dei controlli digitali.

Grazie al treno di impulsi di Dirac è possibile dare una rappresentazione tempo continua di una sequenza di campioni!

(4)

CD -- 7

Campionatore impulsivo

Cristian Secchi Controlli Digitali

δT(t) x(t)

t

x*(t)

t

Il ricostruttore di ordine zero (Zero Order Hold – ZOH) è il convertitore D/A più usato nell’ambito dei controlli digitali.

Produce un segnale tempo continuo mantenendo in uscita per kT≤t< (k+1)T il campione ricevuto in ingresso all’istante t=kT.

Ricostruttore di Ordine Zero (ZOH)

ZOH xr(t) t ) ) 1 ( ( ) ( ( ) ( ) ( 0 T k t h kT t h kT x t x k r =

− − − + ∞ = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = − 0 0 0 1 0 ) ( t t t t t t h all’istante tgradino 0

(5)

CD -- 9

Ricostruttore di Ordine Zero (ZOH)

Cristian Secchi Controlli Digitali

Il ricostruttore lega una serie di campioni, che può essere descritto come un treno di impulsi di Dirac modulati, a un segnale tempo

continuo xr(t). E’ pertanto un sistema dinamico. Qual è la funzione di trasferimento del ricostruttore?

∞ = − − ∞ = + − − ∞ = − = − = + − − − = = 0 0 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( )) ) 1 ( ( ) ( )( ( [ ) ( )] ( [ k kTs Ts k Ts k kTs k r r xkT e s e s e e kT x T k t h KT t h kT x L s X t x L ) ( * 1 ) ( X s s e s X Ts r − − =

∞ = − ∞ = = − = = 0 0 ) ( )] ( ) ( [ ) ( * )] ( * [ k kTs k e kT x kT t kT x L s X t x L δ s e s X s X s H = r =1− −Ts ) ( * ) ( ) ( 0

Il ricostruttore è un sistema dinamico e la sua funzione di trasferimento è data da H0(s)

Campionamento e ricostruzione

(6)

CD -- 11

Dalla sequenza di campioni non siamo riusciti a riottenere il segnale

tempo continuo originale tramite il ricostruttore. Se aumentiamo il periodo di campionamento, la situazione peggiora ulteriormente.

Questa perdita di informazioni è dovuta al campionamento? Oppure non abbiamo scelto un ricostruttore sufficientemente sofisticato?

Quale periodo di campionamento bisogna usare per riuscire a ricostruire il segnale originale dai campioni? Quale ricostruttore bisogna usare per effettuare la ricostruzione?

Spettro del segnale campionato

Cristian Secchi Controlli Digitali

T=1 T=2 T=3 T=6.28

Spettro del segnale campionato

Un segnale x(t), nullo per t≤0, può essere rappresentato dal suo spettro X (ω) che può essere ottenuto dalla sua trasformata di Laplace.

ω

ω

X

s

s j

S

(

)

=

(

)

| =

S(ω) è una funzione di variabile reale a immagine complessa e si può visualizzare usando i diagrammi di Bode. Nel caso x(t) sia la risposta impulsiva di un sistema lineare e tempo invariante, il suo spettro è noto anche come funzione di risposta armonica del sistema.

x(t) t |S(ω)| log ω

)

(t

x

L

X

(s

)

S

(

ω

)

L

-1

s=jω

ω=s/j=-js

(7)

CD -- 13

Spettro del segnale campionato

Cristian Secchi Controlli Digitali

Per capire qual è il legame tra il segnale tempo continuo x(t) e il segnale x*(t) ottenuto campionando x(t) mediante un campionatore impulsivo, è possibile analizzare la relazione tra lo spettro del segnale x(t) e quello del segnale x*(t).

Supponendo che il segnale x(t) sia nullo per t<0, il segnale campionato x* (t) può essere espresso come il prodotto di x(t) per la sequenza δT(t) di

impulsi di Dirac estesa a tutto l’asse del tempo, ossia considerando come estremo inferiore della sommatoria n =−∞

∞ −∞ =

=

=

n T

t

x

t

t

kT

t

x

t

x

*

(

)

(

)

δ

(

)

(

)

δ

(

)

Spettro del segnale campionato

δT(t) E’ un segnale periodico (di periodo T) e, pertanto espandibile in serie di Fourier

∞ −∞ = = n st jn n T t ce ω δ () T dt e nT t T c T T n t jn n s 1 ) ( 1 /2 2 / = − =

∫ ∑

− ∞ −∞ = ω δ T s π ω =2 Pulsazione di campionamento

∞ −∞ = ∞ −∞ = = = n t jn n t jn s xt e s T e T t x t x*() ()1 ω 1 () ω

(8)

CD -- 15

Spettro del segnale campionato

Cristian Secchi Controlli Digitali

Trasformando secondo Laplace il segnale campionato si ottiene:

∞ −∞ = = = n t jn s e t x L T t x L s X*( ) [ *()] 1 [ () ω ]

Teorema della traslazione in s

) ( ] ) ( [f t e F s a L at − =

∞ −∞ = − = n s jn s X T s X*( ) 1 ( ω )

Lo spettro del segnale campionato è quindi dato da:

∞ −∞ = − = n s jn j X T j X*( ω) 1 ( ω ω )

A meno della costante

moltiplicativa 1/T , lo spettro del segnale campionato si ottiene dalla somma degli infiniti termini X (jω−jnωs), ciascuno dei quali è ottenuto da X(jω) mediante traslazione di jnωs nel campo complesso.

Spettro del segnale campionato

Per comprendere bene il processo di campionamento da un punto di vista frequenziale, prendiamo ora in considerazione un segnale x(t) avente uno spettro limitato in frequenza, o come spesso si dice “a banda limitata”.

|X(jω)|

ωc

-ωc ω

Il segnale x(t) non contiene nessuna componente frequenziale al di sopra della pulsazione ωc.

1

(9)

CD -- 17

Spettro del segnale campionato

Cristian Secchi Controlli Digitali

∞ −∞ = − = n s jn j X T j X*( ω) 1 ( ω ω ) Se ωs> 2ωc |X*(jω)| ω 2 s ω s ω 2 3ωs s ω 2 c ω 2 s ω − s ω − 2 3ωss ω 2 − 0 T 1

Nello spettro di |X*(jω)|, la componente |X(j ω)|/T è detta componente primaria, mentre tutte le componenti |X(j ω±jn ωs|/T sono dette componenti

complementari. La condizione ωs>2ωc mantiene distinta la componente

primaria da quelle complementari per cui, mediante filtraggio, è possibile ricostruire completamente il segnale x(t) a partire da quello campionato x*(t).

Spettro del segnale campionato

Se ωs< 2ωc |X*(jω)| ω s ω 2ωs s ω − s ω 2 − 0 T 1

La componente primaria è parzialmente sovrapposta alle componenti complementari contigue per cui mediante filtraggio NON è più possibile

ricavare il segnale originario a partire dal segnale campionato.

Teorema di Shannon

Sia ωs=2π/T la pulsazione di campionamento (o pulsazione di Nyquist), dove T è il periodo di campionamento, e sia ωc la più alta componente spettrale del segnale tempo-continuo x(t). Il segnale x(t) è completamente ricostruibile a partire dal segnale campionato x∗(t) se la pulsazione di campionamento è maggiore del doppio della pulsazione ωc: ωs >2ωc

(10)

CD -- 19

Il teorema di Shannon dà un’indicazione su quale valore scegliere per

la frequenza di campionamento al fine di riuscire a ricostruire il segnale tempo continuo a partire dai campioni

Se la condizione del teorema viene rispettata, non è possibile che il segnale tempo continuo abbia un comportamento dinamico tra due punti (intersample dynamics), che non sarebbe possibile ricostruire utilizzando solamente i campioni

Il teorema di Shannon garantisce che non si perdano informazioni a causa del campionamento. In altre parole, i campioni e il segnale tempo continuo hanno lo stesso contenuto informativo.

Il fenomeno per cui alcune componenti secondarie si sovrappongono alla componente primaria si chiama aliasing. Questo fenomeno comporta la generazione di nuove componenti spettrali alla stessa frequenza della componente primaria e impediscono di ricostruire il segnale originale

Teorema di Shannon

Cristian Secchi Controlli Digitali

Aliasing

In realtà, un segnale reale ha componenti spettrali su tutte le pulsazioni. Il segnale considerato nella dimostrazione del teorema di Shannon è ideale.

Tuttavia, tutti i segnali possiedono una pulsazione al di sopra della quale il contributo frequenziale cala fino a diventare irrilevante.

Tuttavia, tutti i segnali possiedono una pulsazione al di sopra della quale il contributo frequenziale cala fino a diventare irrilevante. Tale pulsazione può essere considerata come ωc e per i segnali passa basso è la

pulsazione di taglio.

Tuttavia per minimizzare l’effetto di aliasing che può essere introdotto dalle componenti ad alta frequenza di un segnale, è consigliabile scegliere pulsazioni di campionamento maggiori di quelle strettamente richieste dal teorema di Shannon. Nei casi pratici, è consigliabile scegliere ωs≥ 8÷10 ωc

(11)

CD -- 21

Esempio

Cristian Secchi Controlli Digitali

Si consideri il problema di campionare la risposta impulsiva g(t) di un sistema tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento

25 6 25 ) ( 2 + + = s s s G

Lo spettro della risposta impulsiva è dato da G(jω)

j p1,2=3±4

Lo spettro è diverso da 0 per ogni pulsazione

5

=

n

ω

Esempio

n s ω ω 10 2 = T =50π n s ω ω 5 2 = T =25π

Avvicinando la pulsazione di campionamento ωs a ωn le componenti spettrali complementari tendono ad avvicinarsi e a sovrapporsi sempre più. In questo caso, mediante filtraggio, non è più possibile ricostruire il segnale x(t) a partire da x∗(t).

(12)

CD -- 23

Se sono soddisfatte le condizioni del teorema di Shannon, è possibile

ricavare lo spettro del segnale originale da quello del segnale campionato

Filtraggio Ideale

Cristian Secchi Controlli Digitali

|X*(jω)| ω 2 s ω s ω 2 3ωs s ω 2 c ω 2 s ω − s ω − 2 3ωss ω 2 − 0

)

(

)

(

)

(

*

ω

ω

ω

G

j

X

j

j

X

=

I

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

altrove

T

j

G

I s s

0

2

2

)

(

ω

ω

ω

ω

Filtraggio Ideale

Il filtro ideale GI(jω) non è fisicamente realizzabile in quanto non rappresenta un sistema causale. Questo si può vedere calcolando la risposta all’impulso gI(t) del filtro. Avendo a disposizione l’andamento spettrale GI(jω), per calcolare gI(t) utilizziamo la trasformata inversa di Fourier: ) 2 sinc( 2 2 sin 2 sin ] [ 2 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 /2 /2 2 t t t t t T e e jt T d e T d e j G t g s s s s t j t j t j t j I I s s s s ω ω ω ω π π ω π ω ω π ω ω ω ω ω ω = = = = − = = = − − ∞ ∞ −

(13)

CD -- 25

Filtraggio Ideale

Cristian Secchi Controlli Digitali

gI(t) con T=2

La risposta all’impulso gI(t) è diversa da zero anche per t<0. Ad un impulso

di Dirac applicato all’istante t=0, il filtro GI(jω) risponde con un segnale che

è non nullo anche per t<0. Il sistema GI(jω) risulta dunque anticipativo e

quindi non fisicamente realizzabile.

Filtraggio Ideale

In che cosa si traduce la non causalità del filtro ideale nell’ambito della ricostruzione del segnale?

)

(

)

(

)

(

*

ω

ω

ω

G

j

X

j

j

X

=

I

∞ −∞ = ∞ ∞ − ∞ ∞ − − − − = = − = k s s I d t t kT kT x d t g x t x τ τ ω τ ω τ δ τ τ τ 2 / ) ( ) 2 / ) ( sin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * = − − − =

∞ −∞ = ∞ ∞ − k s s d kT t kT t kT kT x t x τ ω ω τ δ 2 / ) ( ) 2 / ) ( sin( ) ( ) ( ) (

Per ricostruire il segnale originario al tempo t occorrono tutti i campioni x (kT) passati e futuri. Nei problemi riguardanti controlli in retroazione tale soluzione non può essere assolutamente adottata.

(14)

CD -- 27

Siccome non è possibile realizzare fisicamente il filtro ideale, e siccome

i segnali di controllo reali hanno sempre contenuti armonici ad elevata frequenza dovuti a rumori di varia natura, ne consegue che,

indipendentemente dal periodo di campionamento scelto, non è mai possibile ricostruire esattamente un segnale a tempo continuo a partire dal corrispondente segnale campionato.

Nel campo dei controlli, i ricostruttori che vengono utilizzati in pratica sono i ricostruttori di ordine zero, di ordine uno, ecc. Essi hanno una risposta frequenziale che è solo una grossolana “approssimazione” di quella del filtro ideale. Essi hanno tuttavia il pregio di essere causali e facilmente realizzabili.

Filtraggio Ideale

Cristian Secchi Controlli Digitali

I ricostruttori di segnale sono dispositivi che ricevono in ingresso una sequenza x(kT) di valori campionati e forniscono in uscita un segnale continuo xr(t) che in qualche modo approssima il segnale x(t) da cui è stata ricavata la sequenza x(kT).

Quelli di uso più comune si ottengono dall’espansione in serie di Taylor del segnale x(t) nell’intorno del punto t = kT:

Essendo dispositivi di interfaccia tra sistemi discreti e tempo-continui, possono essere rappresentati da una funzione di

trasferimento continua Hr(s) se la sequenza x(kT) viene interpretata come una sequenza di impulsi di Dirac aventi “area” pari ai valori x (kT)

Ricostruttori di Segnale

Ricostruttore x(kT) x(t)  + − + − + = = = ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t kT dt x d kT t dt dx kT x t xr t kT t kT

(15)

CD -- 29

Ricostruttori di Segnale

Cristian Secchi Controlli Digitali

Avendo a disposizione solamente i valori campionati x(kT), le derivate del segnale x(t) nel punto t = kT vengono calcolate secondo le seguenti espressioni:

T

T

k

x

kT

x

dt

dx

kT t

)

)

1

((

)

(

= 2 ) 1 ( 2 2

(

)

2

((

1

)

)

((

2

)

)

T

T

k

x

T

k

x

kT

x

T

dt

dx

dt

dx

dt

x

d

t kT t k T kT t

+

=

− = = =

Il numero di termini derivativi che vengono presi in considerazione nell’espansione di Taylor è detto ordine del ricostruttore. Al crescere dell’ordine migliora la capacità di ricostruzione del dispositivo, ma aumentano anche la complessità realizzativa del dispositivo stesso e gli effetti negativi dovuti all’introduzione di ritardi più elevati nell’anello di controllo.

Il legame ingresso-uscita è

La risposta all’impulso del sistema g0(t) è:

Indicando con h(t-t*) la funzione gradino unitario applicata all’istante t=t*, la funzione di trasferimento H0(s) del ricostruttore di ordine zero

si ottiene trasformando secondo Laplace la risposta all’impulso g0(t):

Ricostruttore di Ordine Zero (ZOH)

)

(

)

(

0

t

x

kT

x

=

kT

t

<

( +

k

1

)

T

0 T 2T 3T -T 1 g0(t)

s

e

s

e

s

T

t

h

t

h

L

t

g

L

s

H

sT sT − −

=

=

=

=

[

(

)]

[

(

)

(

)]

1

1

)

(

0 0

(16)

CD -- 31

Fornisce in uscita un segnale x(t) che è funzione non solo del

campione x(kT) all’istante t = kT, ma anche del campione x((k − 1)T) all’istante precedente. L’uscita é data da:

La risposta all’impulso g1(t) è:

Ricostruttore di ordine uno

Cristian Secchi Controlli Digitali

) ( ) ) 1 (( ) ( ) ( ) ( 1 t kT T T k x kT x kT x t x = + − − − 0 T 2T 3T -T 1 g1(t)

Indicando con h(t−kT) e r(t−kT) rispettivamente il gradino e la rampa unitaria applicati all’istante t=kT, la risposta all’impulso g1(t) è la seguente:

La funzione di trasferimento è:

Ricostruttori di ordine più elevato (due, tre, ecc.) in genere non vengono utilizzati per l’eccessiva complessità realizzativa e per gli eccessivi ritardi introdotti nell’anello di controllo.

Ricostruttore di ordine uno

T T t r T t h T T t r T t h T t r t h t g1()= ()+ ()−2 ( − )−2 ( − )+ ( −2 )+ ( −2 ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ) ( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = + + − − + = − − − − − s e T Ts Ts e s e Ts e s e Ts s s H sT sT sT sT sT

(17)

CD -- 33

É una variante del ricostruttore di ordine uno. La relazione

ingresso-uscita è:

La risposta all’impulso è:

La funzione di trasferimento è:

Ricostruttore di ordine frazionario

Cristian Secchi Controlli Digitali

) ( ) ) 1 (( ) ( ) ( ) ( 1 t kT T T k x kT x K kT x t x = + − − − 0≤ K≤1 0 T 2T 3T -T 1 gf(t) 3 2 = K sT sT sT f e s e K s e T Ts K s H − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 (1 )(1 ) ) ( 2

Questo ricostruttore viene utilizzato nei casi in cui si desideri avere un segnale continuo all’uscita del ricostruttore in modo da non sollecitare eccessivamente l’attuatore. L’uscita é data da:

La risposta all’impulso gc(t) ha il seguente andamento:

La funzione di trasferimento del ricostruttore ad uscita continua corrisponde a:

Ricostruttore ad uscita continua

) ( ) ) 1 (( ) ( ) ) 1 (( ) ( t kT T T k x kT x T k x t xc − − − + − =

x

(

kT

)

t

<

x

((

k

+

1

)

T

)

0 T 2T 3T -T 1 gc(t) T T t r T T t r T t r t gc ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( = − − + − 2 1 1 ) ( ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − s e T s H sT c

(18)

CD -- 35

Panoramica dei Ricostruttori di Segnale

Cristian Secchi Controlli Digitali

Per la sua semplicità realizzativa e il limitato ritardo introdotto, il ricostruttore di ordine zero è quello di gran lunga più usato nelle applicazioni pratiche.

Corrispondenza tra il piano s e il piano z

∞ = − = 0 ) ( ) ( * k kTs e kT x s X δT(t) x(t) t x*(t) t

Il segnale campionato può essere interpretato come un treno di impulsi di Dirac modulati. E’ quindi possibile rappresentare il segnale campionato tramite la sua trasformata di Laplace:

Il segnale campionato può essere interpretato come una sequenze. E’ quindi possibile rappresentare il segnale campionato tramite la sua Z trasformata

∞ = − = 0 ) ( ) ( k k z kT x z X

(19)

CD -- 37

Corrispondenza tra il piano s e il piano z

Cristian Secchi Controlli Digitali

Qual è la relazione tra X(z) e X*(s)? Qual è la relazione tra il piano s e il piano z?

La X(z) e la X*(s) sono due rappresentazioni nel piano complesso del segnale campionato. sT e z

z

X

s

X

=

=

(

)

)

(

*

Le variabili complesse s e z sono legate fra di loro dalla relazione:

sT

e

z =

Posto s=σ+jω si ha che: ) 2 ( ) ( T k jT T T j T T j e e e e e z π ω σ ω σ ω σ+ + = = =

Punti del piano s la cui pulsazione differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento 2π/T vengono trasformati nello stesso punto del piano z. Quindi la relazione non è biunivoca

Corrispondenza tra il piano s e il piano z

Se è possibile rappresentare la sequenza di segnali campionati tramite la trasformata di Laplace, perché si è dovuta introdurre la trasformata Z?

La trasformata di Laplace di segnali campionati ha un’espressione trascendente (e quindi poco maneggevole) mentre la trasformata Z ha un’espressione razionale fratta per la maggior parte dei segnali campionati di interesse

Grazie al legame tra la trasformata Z e la trasformata di Laplace, è possibile mappare sul piano z alcuni luoghi caratteristici del piano s

Tali luoghi caratteristici potranno poi essere utilizzati per il progetto di controllori discreti direttamente sul piano z, in maniera del tutto analoga a quanto si fa per il progetto di controllori analogici sul piano s

(20)

CD -- 39

I punti del piano s a parte reale negativa (σ<0) sono in

corrispondenza con i punti del piano z all’interno del cerchio unitario

I punti sull’asse immaginario (σ=0) vengono mappati sul cerchio unitario (|z| = 1), mentre quelli a parte reale positiva (σ > 0) vengono mappati all’esterno del cerchio unitario (|z| > 1).

È possibile suddividere il piano s in strisce orizzontali di ampiezza ωs

tali che ogni striscia sia in corrispondenza biunivoca con tutto il piano z.

La striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali s = jωs/2 e s= −jωs/2 prende il nome di striscia primaria

Corrispondenza tra il piano s e il piano z

Cristian Secchi Controlli Digitali

1

<

=

=

=

e

T+j T

e

T

e

j T

e

T

z

σ ω σ ω σ

(21)

CD -- 41

Corrispondenza tra il piano s e il piano z

Cristian Secchi Controlli Digitali

Luoghi a decadimento esponenziale costante

ω

σ

j

s

=

+

z

e

σ jωT

e

σT

=

=

( + )

|

|

(22)

CD -- 43

Luoghi a pulsazione costante

Cristian Secchi Controlli Digitali

Nel piano s, il luogo dei punti a cui corrisponde un coefficiente di smorzamento costante δ=δ1 è una retta uscente dall’origine s=0, che

forma con il semiasse immaginario positivo un angolo β pari a arcsinδ1

Luoghi dei punti a smorzamento costante

ω

δ

δ

ω

ω

β

ω

j

j

s

+

=

+

=

1 1

1

tan

ω

0

ϕ β ϕ ω β ω j T j sT

e

e

e

e

z

(− tan + ) − tan

=

=

=

ϕ =

ω

T

(23)

CD -- 45

Luoghi dei punti a smorzamento costante

Cristian Secchi Controlli Digitali

I punti del piano s e del piano z, posti in corrispondenza, possono essere interpretati anche come poli corrispondenti di trasformate F(s) ed F(z), dove F(z) è calcolata campionando F(s).

Usando i luoghi caratteristici individuati si possono assegnare

caratteristiche di risposta nel tempo alle posizioni dei poli nel piano z.

Bisogna notare che, supposte soddisfatte le condizioni di Shannon sul campionamento, le caratteristiche di una funzione f(t) campionata sono le stesse della funzione prima del campionamento. Per esempio, ad una funzione esponenziale corrisponde un andamento esponenziale della sequenza dei suoi valori campionati

(24)

CD -- 47

Posizione dei poli in z e risposte campionate

Cristian Secchi Controlli Digitali

Sistemi a dati campionati

Per analizzare il comportamento di un sistema di controllo digitale, è necessario riuscire a calcolare la trasformata di un segnale di uscita per sistemi che contengono sia elaborazioni discrete che continue

H(z) A/D G(s) U(s) Y(s) T(z) W(z)

)

(

)

(

)

(

z

H

z

T

z

W

=

G(s) U(s) Y(s)

)

(

)

(

)

(

s

G

s

U

s

Y

=

H(z) W(z)

)

(z

W

)

(s

U

???

(25)

CD -- 49

Sistema continuo con ingressi impulsivi

Cristian Secchi Controlli Digitali

G(s)

u(t) u*(t) y(t)

y*(t) Ricorda: Se il campionamento soddisfa Shannon le caratteristiche di y* (t) sono le stesse di y(t)

Poiché il sistema descritto dalla G(s) è un sistema lineare continuo, e poiché al suo ingresso è presente una sequenza di impulsi la risposta y(t) è data dalla somma delle risposte ai singoli impulsi. In altri termini si ha che

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + < ≤ − + + − + < ≤ − + < ≤ = T k t kT kT u kT t g T u T t g u t g T t T T u T t g u t g T t u t g t y ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 ) 0 ( ) ( ) (   

Poiché g(t)=0 per t<0 (fisica realizzabilità) e, pertanto, g(t-kT)=0 per t<kT, si ha che:

Campionando y(t) si ottiene

Sistema continuo con ingressi impulsivi

= − = − + + − + = k h hT u hT t g kT u kT t g T u T t g u t g t y 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( 

= − = k h hT u hT kT g kT y 0 ) ( ) ( ) ( sommatoria di convoluzione ) ( ) ( ) (z G zU z Y =

∞ = − = 0 ) ( ) ( k k z kT g z G

(26)

CD -- 51

Se un sistema è continuo è modellato da una funzione di

trasferimento G(s), la funzione di trasferimento discreta G(z) che lega una sequenza derivante da un campionamento impulsivo a una sequenza di uscita campionata impulsivamente è data dalla

Z-trasformata della sequenza ottenuta dal campionamento della risposta impulsiva g(t) = L−1(G(s)) del sistema.

Con la notazione Z[G(s)] indicheremo la Z-trasformata associata alla funzione di trasferimento G(s).

Sistema continuo con ingressi impulsivi

Cristian Secchi Controlli Digitali

Esempio

Si consideri il sistema descritto dalla funzione

1 1 ) ( + = s s G

Si vuole analizzare la sequenza che si ottiene campionando la risposta del sistema nei seguenti casi:

G(s)

u(t) y(t)

G(s)

u(t) u*(t) y(t)

H0(s)

u(t) u*(t) y(t)

G(s)

(a) (b)

(c)

(27)

CD -- 53

Esempio – caso a

Cristian Secchi Controlli Digitali

(

)

2 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( + = + + = = s s s s U s G s Ya antitrasformando si ottiene: t a t te y − = ) (

campionando la risposta con periodo T si ottiene:

kT a kT kTe y − = ) (

La risposta del sistema descritto da G(s) al segnale impulsivo x*(t) può essere espressa mediante l’integrale di convoluzione

dove u*(t) ha la seguente espressione

La risposta yb(t) è somma delle risposte ai singoli impulsi (proprietà di linearità)

Esempio – caso b

− = t b t g t u d y 0 ) ( * ) ( ) (

τ

τ

τ

∞ = ∞ =

=

=

0 0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

*

k k

kT

t

kT

u

kT

t

t

u

t

u

δ

δ

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + < ≤ − + + − + < ≤ − + < ≤ = T k t kT kT u kT t g T u T t g u t g T t T T u T t g u t g T t u t g t yb ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( 0 ) 0 ( ) ( ) (   

(28)

CD -- 55

Essendo g(t) = e−t (anti-trasformata di G(s)) si ha

Negli istanti di campionamento t=kT si ha che:

Esempio – caso b

Cristian Secchi Controlli Digitali

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + < ≤ + = + + + < ≤ = + < ≤ = − − − − − − − − − − − − − − T k t kT e k e e e e e T t T e e e e T t e t y t kT kT t T T t t t T T t t t b ) 1 ( ) 1 ( 2 2 0 ) ( ) ( ) ( ) (    kT b

kT

k

e

y

+

=

(

1

)

)

(

Esempio – caso c

2 1 1

)

1

(

1

]

1

1

[

]

1

1

1

[

)

(

)

(

)

(

− − − − − − −

=

+

+

=

=

z

e

z

e

e

e

s

Z

s

s

e

Z

z

U

z

M

z

Y

T T T T sT c Antitrasformando si ha che: kT T T c

ke

e

e

kT

y

− − −

=

1

)

(

(29)

CD -- 57

Esempio

Cristian Secchi Controlli Digitali

La presenza del campionatore e del ricostruttore altera significativamente

la risposta del sistema! Questi effetti dovranno essere presi nella dovuta considerazione quando si dovrà implementare un algoritmo di controllo su un microprocessore digitale.

Si considerino i due seguenti schemi a blocchi

Composizione di schemi a blocchi

G(s)

u(t) u*(t) y*(t)

(a) y(t) G(s) u(t) y(t) (b) L’ingresso è un segnale campionato L’ingresso è un

(30)

CD -- 59

Composizione di schemi a blocchi: Schema (a)

Cristian Secchi Controlli Digitali

G(s)

u(t) u*(t) y(t) y*(t)

)

(

*

)

(

)

(

s

G

s

U

s

Y

=

(

(

)

*

(

)

)

*

*

(

)

*

(

)

)

(

*

s

G

s

U

s

G

s

U

s

Y

=

=

campionamento Z-trasformata

)

(

)

(

)

(

z

G

z

U

z

Y

=

Composizione di schemi a blocchi: Schema (b)

G(s) u(t) y(t)

)

(

)

(

)

(

s

G

s

U

s

Y

=

(

(

)

(

)

)

*

)

(

*

s

G

s

U

s

Y

=

campionamento Z-trasformata

)

(

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

)

(

z

Z

G

s

U

s

GU

z

G

z

U

z

Y

=

=

(31)

CD -- 61

Nel caso (a) si può definire la funzione di trasferimento discreta G(z)

l’ingresso e l’uscita, in quanto ingresso e uscita sono sequenze discrete

Nel caso (b) si può solo definire la zeta trasformata del segnale di uscita Y (z). La quantità GU(z) dipende in modo non separabile dal segnale continuo di ingresso e dalla dinamica G(s)

Tale sostanziale differenza deve essere tenuta attentamente in conto nell’analisi di schemi misti composti da blocchi a dinamica continua e discreta.

Composizione di schemi a blocchi

Cristian Secchi Controlli Digitali

Blocchi in cascata

H(s)

u(t) u*(t) y(t) y*(t)

G(s)

x(t) x*(t)

All’ingresso dei due sistemi dinamici G(s) e H(s) sono presenti sequenze discrete. É facile verificare che:

)

(

*

)

(

*

)

(

*

)

(

*

s

G

s

H

s

X

s

Y

=

o, equivalentemente

)

(

)

(

)

(

)

(

z

G

z

H

z

X

z

Y

=

e dunque la funzione di trasferimento discreta della cascata è:

)

(

)

(

)

(

)

(

z

H

z

G

z

X

z

Y

=

(32)

CD -- 63

Blocchi in cascata

Cristian Secchi Controlli Digitali

H(s)

u(t) y(t) y*(t)

G(s)

x(t) x*(t)

Tra i due sistemi dinamici G(s) e H(s) non c’è il campionatore, per cui va considerata la dinamica complessiva G(s)H(s) prima di procedere al calcolo delle Z-trasformate. Precisamente:

)

(

*

)

(

)

(

)

(

s

G

s

H

s

X

s

Y

=

Quindi:

[

(

)

(

)

]

*

*

(

)

)

(

*

s

G

s

H

s

X

s

Y

=

da cui:

)

(

)

(

)

(

z

GH

z

X

z

Y

=

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

)

(

z

Z

G

s

H

s

G

z

H

z

GH

=

Esempio

G(s)

u(t) u*(t) y(t) y*(t) x(t) x*(t)

s

e

sT

1

H0(s)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

z

G

z

H

z

X

z

U

z

U

z

Y

z

X

z

Y

=

=

1

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

1

)

(

1 1 1 0

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ −

=

− −

z

z

s

Z

z

s

e

Z

z

H

sT

[

(

)

]

(

)

)

(

)

(

z

G

s

G

Z

z

X

z

Y

=

=

(33)

CD -- 65

Da un punto di vista discreto, il ricostruttore di ordine zero si

comporta come una costante unitaria.

Considerando la relazione ingresso uscita, i due sistemi seguenti sono equivalenti

Esempio

Cristian Secchi Controlli Digitali

u(t) x(t) x*(t)

s

e

sT

1

u*(t) x(t) x*(t)=u*(t)

Esempio

G(s)

u(t) y(t) y*(t) x(t) x*(t)

s

e

sT

1

[

]

=

=

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

=

− −

s

s

G

Z

z

s

G

s

e

Z

s

G

s

H

Z

z

X

z

Y

sT

(

)

)

1

(

)]

(

1

[

)

(

)

(

)

(

)

(

1 0

(34)

CD -- 67

Esempio

Cristian Secchi Controlli Digitali

H(s)

u(t) u*(t) y(t) y*(t)

G(s) x(t) x*(t)

a

s

s

G

+

=

1

)

(

b

s

s

H

+

=

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

z

H

z

G

z

X

z

U

z

U

z

Y

z

X

z

Y

=

=

)

1

(

1

)

1

(

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 − − − −

=

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

=

=

z

e

z

e

b

s

Z

a

s

Z

z

H

z

G

z

X

z

Y

bT aT

Esempio

H(s) y(t) y*(t) G(s) x(t) x*(t)

a

s

s

G

+

=

1

)

(

b

s

s

H

+

=

1

)

(

[

(

)

(

)

]

1

1

(

)

)

(

)

(

z

GH

b

s

a

s

Z

s

H

s

G

Z

z

X

z

Y

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

− − − − − − − − − − −

)

1

)(

1

(

)

(

1

)

1

(

1

)

1

(

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1

z

e

z

e

z

e

e

a

b

z

e

z

e

a

b

b

s

a

s

a

b

Z

bT aT bT aT bT aT

(35)

CD -- 69

Schema in retroazione

Cristian Secchi Controlli Digitali

G(s) E(s) H(s) E*(s) C(s) R(s) - si ha che:

)

(

*

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

E

s

G

s

C

s

C

s

H

s

R

s

E

=

=

da cui:

)

(

*

)

(

)

(

)

(

)

(

s

R

s

H

s

G

s

E

s

E

=

Schema in retroazione

Campionando

)

(

*

)

(

*

)

(*

)

(

*

s

R

s

GH

s

E

s

E

=

)

(

*

)

(

*

)

(

*

s

G

s

E

s

C

=

Si ottiene

)

(

*

1

)

(

*

)

(

*

)

(

*

s

GH

s

R

s

G

s

C

+

=

In termini di Z trasformata si ha:

)

(

1

)

(

)

(

)

(

z

GH

z

R

z

G

z

C

+

=

C

R

(

(

z

z

)

)

1

G

GH

(

z

)

(

z

)

+

=

(36)

CD -- 71

Possibili configurazioni di sistemi in retroazione

Cristian Secchi Controlli Digitali

G(s) E(s) H(s) C(s) R(s) - C(z)

)

(

1

)

(

)

(

)

(

z

GH

z

G

z

R

z

C

+

=

G(s) E(s) H(s) C(s) R(s) - C(z)

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

z

H

z

G

z

G

z

R

z

C

+

=

Possibili configurazioni di sistemi in retroazione

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1

z

H

G

z

G

z

G

z

G

z

R

z

C

+

=

E(s) H(s) C(s) R(s) - C(z) G2(s) G1(s) E(s) H(s) C(s) R(s) - C(z) G2(s) G1(s)

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

2 1 1 2

z

H

G

z

G

z

R

G

z

G

z

C

+

=

(37)

Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

CONTROLLI DIGITALI

Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica

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