Equazioni differenziali alle derivate parziali

Lezione 7 - Nozioni di base sulle equazioni

differenziali

Unit`

a 7.3 Equazioni differenziali alle derivate

parziali

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

Le EDP in generale

Una equazione differenziale alle derivate parziali, anche detta equazione alle derivate parziali (termine abbreviato in EDP o anche in PDE, dall’acronimo inglese Partial Differential Equation), `e una equazione differenziale che coinvolge le derivate parziali di una funzione incognita di pi`u variabili indipendenti.

Ad esempio, l’equazione differenziale ∂f (x , y )

∂x +

∂f (x , y )

∂y = 2x

2_y

`e alle derivate parziali perch`e appaiono le derivate parziali della funzione incognita f (x , y ), che dipende dalle due variabili x ed y . Questa EDP `e del primo ordine perch`e appaiono solo le derivate parziali prime.

In generale, una EDP `e di ordine n se nella equazione appare la derivata parziale n-esima di una della variabili della funzione incognita.

Le EDP in Fisica

Solitamente nelle EDP della Fisica la funzione incognita dipende dalle tre coordinate spaziali x , y , z e dal tempo t.

La funzione incognita pu`o essere una grandezza scalare, cio`e del tipo f (x , y , z, t) ,

oppure una grandezza vettoriale, cio`e del tipo v(x , y , z, t) .

In modo compatto possiamo riscrivere le due funzioni come f (r, t) ,

e

v(r, t) .

In Fisica, una grandezza che dipende dalle tre coordinate spaziali viene detta campo. Si possono quindi avere campi scalari e campi vettoriali.

L’equazione delle onde (I)

Un tipico esempo di EDP della Fisica `e l’equazione delle onde, detta anche equazione di d’Alambert, data da

 1 c2 ∂2 ∂t2− ∇ 2  f (r, t) = 0 , (1) dove ∇2₌ ∂2 ∂x2+ ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 (2)

`e noto come operatore differenziale di Laplace, o laplaciano, a volte anche detto ”nabla quadro”. La costante c `e la velocit`a di propagazione dell’onda. Nel caso delle onde elettromagnetiche c `e la velocit`a della luce. Nel caso delle onde sonore, c `e la velocit`a del suono.

Questa equazione si pu`o scrivere in modo ancora pi`u compatto

f (r, t) = 0, (3) dove  = _c12 ∂2 ∂t2− ∇ 2 ₍₄₎

`e noto come operatore differenziale di d’Alambert, o d’alambertiano, a volte anche detto ”quadratello”.

L’equazione delle onde (II)

L’equazione delle onde

f (r, t) = 0 (5)

ammette la seguente soluzione complessa, detta onda piana monocromatica

f (r, t) = f0ei (k·r−ω t), (6) dove f0`e una costante arbitraria, detta ampiezza dell’onda, k `e detto vettore d’onda, e ω `e detta frequenza angolare dell’onda. Il vettore d’onda e la frequenza angolare non sono indipendenti. Infatti tra di essi sussiste la seguente relazione

ω = c k (7)

detta relazione di dispersione, con k = |k|. La relazione di dispersione si ottiene subito inserendo la funzione (6) nella Eq. (5). Come abbiamo gi`a visto, ponendo ω = 2πν e k = 2π/λ la relazione si pu`o riscrivere come

L’equazione delle onde (III)

Dato che l’operatore d’alambertiano `e lineare e vale la formula di Eulero, `e immediato verificare che anche le funzioni

f (r, t) = A cos (k · r − ω t) (9) e

f (r, t) = B sin (k · r − ω t) (10) sono soluzione dell’equazione delle onde. Ovviamente sempre con la relazione di dispersione ω = ck, e con A e B constanti arbitrarie. Pi`u in generale, ne segue subito che anche

f (r, t) = A cos (k · r − ω t) + B sin (k · r − ω t) (11) `e soluzione, cos`ı come

f (r, t) = f0ei (k·r−ω t)+ f1e−i (k·r−ω t), (12) con f0e f1 costanti arbitrarie.

L’equazione di diffusione (I)

Un altro tipico esempo di EDP della Fisica `e l’equazione di diffusione, detta anche equazione del calore, data da

∂

∂tf (r, t) = D∇

2_{f (r, t) , (13)}

dove D `e una costante, solitamente reale, detta coefficiente di diffusione. Come vedremo, questa equazione assomiglia alla equazione di

Schr¨odinger di una particella quantistica in assenza di potenziale esterno. Nel caso della equazione di Schr¨odinger il coefficiente D `e un numero complesso dato da

D = i ~

2m , (14)

dove i `e l’unit`_{a immaginaria, ~ `e la costante di Plank ridotta, ed m `e la} massa della particella quantistica.

L’equazione di diffusione (II)

Considerando il caso di una sola coordinata spaziale, l’equazione di diffusione diventa

∂

∂tf (x , t) = D ∂2

∂x2f (x , t) .

Assumendo che al tempo t = 0 la condizione iniziale sia gaussiana f (x , t = 0) = e−x2,

si puo verificare che la soluzione al tempo t risulta essere f (x , t) = 1 pζ(t)e −x 2 ζ(t) _, dove ζ(t) = 1 + 2Dt .

Dunque se D > 0 la soluzione si allarga e si abbassa al crescere del tempo, ovverosia diffonde.