POLITECNICO DI MILANO
Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale
Corso di Laurea in Ingegneria Civile Idraulica
CALIBRAZIONE DI MODELLI DI FILTRAZIONE
A DOPPIA PERMEABILITÀ
Relatore: Prof. Monica RIVA
Correlatore: Dott. Ing. Paola GATTINONI
Tesi di Laurea di: Francesco LANDRO Matr. 823430
Ringraziamenti
1
Ringraziamenti
Alla Professoressa Monica Riva e al Professor Alberto Guadagnini per l’opportunità offerta e il so-stegno indispensabile nel realizzarla.
Al Dottor Ingegner Paola Gattinoni e alla Professoressa Laura Teresa Scesi per i consigli e l’indi-spensabile supporto.
Indice 3
Indice
Indice figure ... 5 Indice tabelle ... 7 Abstract ... 9 Introduzione ... 10 1 Modelli di filtrazione ... 131.1 Modello a doppia permeabilità ... 13
1.2 Modelli semplificati ... 14
1.2.1 Modello a doppia porosità ... 14
1.2.2 Modello singolo continuo equivalente ... 15
2 Inquadramento al caso di studio ... 17
2.1 Caratteristiche geologiche ... 19
2.2 Caratteristiche idrauliche ... 20
2.3 Misure a disposizione ... 21
2.4 Filtraggio delle osservazioni ... 22
2.5 Dimensioni geometriche utilizzate nei modelli ... 23
3 Modelli inversi ... 25
3.1 Calibrazione del parametri di un modello mediante ML ... 25
3.2 Funzione obiettivo somma dei quadrati per problemi non lineari ... 26
3.3 Scaling dei parametri ... 27
3.4 Criteri di convergenza ... 27
3.5 Stima dell’errore ... 29
3.6 Analisi dei risultati: criteri di comparazione tra modelli ... 30
4 Casi sintetici ... 33
4.1 Analisi del problema inverso applicato al modello a doppia permeabilità ... 33
4.1.1 Generazione di campioni sintetici ... 33
4.1.2 Stima dei parametri con sole misure di portata ... 34
4.1.3 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella frattura ... 36
4.1.4 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella matrice ... 37
4.1.5 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella matrice e nella frattura ... 37
4.1.6 Effetto dell’accuratezza delle misure sulla stima dei parametri ... 39
4.2 Applicazione del problema inverso ai modelli di filtrazione in vista dell’applicazione al caso reale 42 4.2.1 Stima dei parametri del modello a doppia permeabilità ... 42
4.2.2 Stima dei parametri del modello a doppia porosità ... 43
4.2.3 Stima dei parametri del modello a singolo continuo... 45
5 Caso reale... 47
Indice
5.2 Stima dei parametri del modello doppia porosità ... 49
5.3 Stima dei parametri del modello a singolo continuo ... 50
5.4 Confronto tra i tre modelli ... 51
5.5 Risultati del problema diretto per il modello a doppia permeabilità ... 52
5.6 Risultati del problema diretto per il modello a doppia porosità e a singolo continuo ... 52
5.7 Confronto dei risultati del problema diretto per le diverse modellizzazioni ... 53
6 Conclusioni ... 55
I. Appendice I ... 57
II. Appendice II ... 67
II.1 Trasformazione del Modello a doppia permeabilità nel dominio di Laplace ... 67
II.2 Soluzione del sistema di EDO ... 68
II.3 Antitrasformata ... 70
II.4 Trasformazione dei Modelli semplificati nello spazio di Laplace ... 71
II.4.1 Modello a doppia porosità ... 71
II.4.2 Modello a singolo continuo equivalente ... 72
III Appendice III ... 75
III.1 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella frattura ... 75
III.2 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella matrice ... 75
III.3 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella matrice e nella frattura ... 77
IV Appendice IV ... 79
IV.1 Schematizzazione del codice della modellizzazione diretta ... 79
IV.2 Schematizzazione del codice della modellizzazione inversa ... 79
IV.2.1 Schematizzazione del codice per la stima dei parametri ... 79
IV.2.2 Schematizzazione del codice per l’estrazione dei grafici della funzione obiettivo 1D e 2D 80 IV.2.3 Schematizzazione del codice per la generazione di campioni sintetici ... 80
IV.3 Schematizzazione sintetica delle funzioni ... 81
Indice figure
5
Indice figure
Figura 1-1 – Schema del modello a doppia permeabilità ... 13
Figura 1-2 - Schema del modello a doppia porosità ... 15
Figura 1-3 – Schema del modello a singolo continuo ... 16
Figura 2-1 - Visione satellitare del Massiccio della Vigolana (Trento, Nord-Italia) [9] ... 17
Figura 2-2 - Posizione del tunnel esplorativo su una foto satellitare del versante [9] ... 18
Figura 2-3 - Posizione del tunnel esplorativo in planimetria [10] ... 18
Figura 2-4 - Profilo geologico Est-Ovest con tracciato della galleria [11] ... 19
Figura 2-5 - Schema concettuale del problema che evidenzia i due flussi ... 20
Figura 2-6 - Misure di portata e di pioggia disponibili nel sistema nel massiccio della Vigolana .... 21
Figura 2-7 - Andamento temporale della portata osservata, del trend stagionale e della portata filtrata ... 22
Figura 2-8 - Andamento temporale della portata filtrata e delle misure di pioggia ... 23
Figura 3-1 - Funzione obiettivo per un modello ad un singolo parametro ... 28
Figura 3-2 - Esempio di verifica di minimo locale ... 29
Figura 4-1 – Contourline della funzione obiettivo utilizzando solo misure di portata Qsint nello spazio (Ss2, k2) ... 35
Figura 4-2 – Contourline della funzione obiettivo utilizzando solo misure di portata Qsint nello spazio (k2,) ... 35
Figura 4-3 - Contourline della funzione obiettivo utilizzando solo misure di portata Qsint nello spazio (Ss2,, fissati Ss1, k1 e k2 ... 35
Figura 4-4 - Contourline della funzione obiettivo con sole misure di sint 2 (x) h nello spazio (Ss1, k1) per tre coordinate x... 37
Figura 4-5 - Contourline della funzione obiettivo con misure di Qsint+ sint
1 h x - sint
2 h x per 2 coordinate x diverse, nello spazio (k1,) ... 39Figura 4-6 - Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia permeabilità, rispettivamente negli spazi (Ss2, k2) e (Ss1, ) ... 43
Figura 4-7 – Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia permeabilità, nello spazio (Ss1, k1) a destra, funzione obiettivo, per il modello a doppia permeabilità, al variare del parametro k1 e fissando gli altri, a sinistra ... 43
Figura 4-8 - Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia porosità, rispettivamente nello spazio dei parametri (Ss2, Ss1) e (Ss2,) ... 44
Figura 4-9 - Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia porosità, nello spazio (k2, Ss2) ... 45
Figura 4-10 - Contourline della funzione obiettivo per il modello a singolo continuo ... 45
Figura 5-1 - Contourline della funzione obiettivo per il modello a doppia permeabilità rispettivamente negli spazi (Ss2, k2) e (Ss1, ). ... 48
Figura 5-2 - Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia permeabilità, nello spazio (Ss1, k1) a destra, funzione obiettivo, per il modello a doppia permeabilità, al variare del parametro k1 e fissando gli altri, a sinistra ... 48
Indice figure
6
Figura 5-3 - Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia porosità, rispettivamente nello spazio (Ss2, Ss1) e (Ss2,) ... 49
Figura 5-4 - Contourline della funzione obiettivo, per il modello a doppia porosità, nello spazio (k2,
Ss2) ... 50
Figura 5-5 - Contourline della funzione obiettivo per il modello a singolo continuo ... 50
Figura 5-6 - Andamento temporale della portata osservata (filtrata) e modellata con il modello a doppia permeabilità ... 52
Figura 5-7 - Andamento temporale della portata osservata (filtrata) e modellata con il modello a doppia porosità (a sinistra) e con il modello a singolo continuo (a desta) ... 52
Figura 5-8 - Confronto della portata in uscita dalla frattura dei diversi modelli con la portata osservata (filtrata) ... 53
Figura III-1 - Contourline della funzione obiettivo con sole misure di sint 1 ( )
h x nello spazio (Ss1, k1)
Indice tabelle
7
Indice tabelle
Tabella 2-1 - Coefficienti dei modelli interpolanti per il flusso base ... 23
Tabella 2-2 - Dimensioni geometriche del modello a doppia permeabilità e del modello a doppia porosità ... 24
Tabella 2-3 - Dimensioni geometriche per il modello a singolo continuo equivalente ... 24
Tabella 4-1 – Parametri dei casi test di riferimento ... 33
Tabella 4-2 - Stima dei parametri ottenuti utilizzando solo misure di portata Qsint ... 34
Tabella 4-3 - Stima dei parametri Ss2 e e relativo intervallo di confidenza al 95%, utilizzando solo misure di portata Qsint , fissati Ss1, k1 e k2 ... 35
Tabella 4-4 - Intervalli di confidenza nel caso di misure di sint 2 ( 330 m) h x e di sint 2 ( 330 ) h x m + sint Q ... 36
Tabella 4-5 - Capacità di stima dei parametri ... 38
Tabella 4-6 - Stima dei parametri e relativi intervalli di confidenza con misure di Qsint+ sint
1 h x -
sint 2 h x per x=330m e x=20m ... 39Tabella 4-7 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza con sole misure di Qsint ... 40
Tabella 4-8 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza con misure di Q + sint sint
1 h x -
sint 2 h x ... 40Tabella 4-9 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza con misure di Q + sint sint
1 h x -
sint 2 h x ... 41Tabella 4-10 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza per il modello a doppia permeabilità ... 42
Tabella 4-11 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza per il modello a doppia porosità ... 44
Tabella 4-12 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza per il modello singolo continuo ... 46
Tabella 5-1 - Stima dei parametri e relativi intervalli di confidenza al 95% per il modello a doppia permeabilità ... 47
Tabella 5-2 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza per il modello a doppia porosità ... 49
Tabella 5-3 - Stima dei parametri e relativo intervallo di confidenza per il modello a singolo continuo ... 51
Tabella 5-4 - Criteri di identificazione del modello ... 51
Tabella III-1 - Intervalli di confidenza nel caso di sole misure di sint 2 (x) h per x=170m e x=20m .... 75
Tabella III-2 - Intervalli di confidenza nel caso di misure di sint 1 ( 330 m) h x e di sint 1 ( 330 ) h x m + sint Q ... 75
Tabella III-3 - Intervalli di confidenza nel caso di sole misure di sint 1 ( ) h x per x=170m e x=20m .... 77
Indice tabelle
8
Tabella III-4 - Stima dei parametri e relativi intervalli di confidenza con misure di sint
1 h x -
sint 2 h x per x=330m ... 77Abstract
9
Abstract
PAROLE CHIAVE: Modellazione inversa; Modelli di filtrazione a doppia permeabilità, a doppia porosità, e a singolo continuo; Massima verosimiglianza; Metriche di confronto tra modelli.
Nel presente lavoro di tesi si è affrontato il problema di modellazione inversa basato sul criterio della massima verosimiglianza (ML), applicato alla scelta e calibrazione di modelli di filtrazione. In parti-colare, lo studio ha riguardato la calibrazione di modelli di filtrazione a doppia permeabilità e/o po-rosità e a singolo continuo, con l’obiettivo di valutare la capacità di stima dei parametri in relazione alla tipologia di misure disponibili. A questo scopo, nell'ambito della tesi:
- sono state ricavate soluzioni analitiche nello spazio di Laplace per i modelli utilizzati; - è stato implementato in MATLAB il codice per la risoluzione del problema diretto e per la
calibrazione dei modelli considerati;
- è stato valutato, attraverso la generazione di casi sintetici, l’effetto della disponibilità di dati di diversa natura, della loro accuratezza e della loro ubicazione sulla qualità della stima dei parametri dei modelli. In tal modo è stato possibile fornire indicazioni riguardo la tipologia, posizione e precisione delle misure da effettuare nello studio di casi reali al fine di poter cali-brare correttamente tutti i parametri.
La metodologia e gli algoritmi sviluppati sono infine stati applicati ad un caso reale, Massiccio della Vigolana, Provincia di Trento. I risultati ottenuti hanno evidenziato che, con le misure a disposizione nel caso reale, è possibile calibrare solo alcuni parametri dei modelli di filtrazione. Quindi sono state fornite indicazioni e linee guida sulle future campagne sperimentali finalizzate alla completa caratte-rizzazione del caso reale di riferimento.
Introduzione
10
Introduzione
La caratterizzazione di acquiferi non è mai una cosa semplice [1], inoltre risulta impossibile caratte-rizzare con un unico modello un acquifero in tutti i suoi aspetti [2]. Generalmente ci si concentra nel caratterizzare, attraverso modelli matematici, solo alcuni aspetti che sono più importanti per le previ-sioni di interesse (eg. la riposta dell’acquifero in termini di flusso). Nel presente elaborato di tesi il problema viene affrontato individuando e stimando i parametri di un modello predittivo per la deter-minazione della portata in uscita da un sistema fratturato in risposta alle sollecitazione meteoriche. L'identificazione del modello e la stima dei rispettivi parametri avviene attraverso il processo di mo-dellizzazione inversa. In particolare nel lavoro di tesi per il problema di modellazione inversa è stato adottato il criterio della massima verosimiglianza, ML.
Nel presente elaborato l’attenzione è posta sulla modellizzazione di acquiferi carsici. Tale modelliz-zazione non è semplice, Anderson e Woessner nel loro trattato sulla modellistica di acque sotterranee [3] considerano il carsismo come un argomento avanzato in quanto si ha a che fare con acquiferi non omogenei, poiché le formazioni di roccia carbonatica, quali sono composti, hanno strutture sotterra-nee di pori, fessure, fratture e condotti di varie dimensioni e forme, le quali creano condizioni idro-geologiche complesse per il flusso delle acque sotterranee. Gli acquiferi carsici sono formazioni frat-turate, composte da sistemi interconnessi di fratture e formazioni relativamente meno permeabili. Detti acquiferi possono essere rappresentati attraverso un modello di filtrazione a doppia permeabi-lità. I primi studi teorici sui modelli a doppia permeabilità si devono a Barenblatt [4], grazie all’in-troduzione della teoria delle miscele. In questo modello il mezzo poroso è rappresentato da una so-vrapposizione di due mezzi saturi, dei quali uno rappresenta la matrice porosa a bassa permeabilità e l’altro il sistema di fratture ad alta permeabilità [5]. Il modello proposto da Barenblatt è stato succes-sivamente modificato da Warren e Root [6], assumendo un modello lineare e quasi stazionario per lo scambio di flusso tra i due mezzi. Nell’ambito della tesi, oltre al modello a doppia permeabilità pro-posto da Warren e Root, sono stati presi in considerazione i modelli di filtrazione a doppia porosità e a singolo continuo. Per questi tre modelli di filtrazione sono state ricavate soluzioni analitiche nello spazio di Laplace.
La tesi di articola nei seguenti cinque capitoli.
Nel Capitolo 1 vengono riportate le equazioni alla base del modello a doppia permeabilità, a doppia porosità e a singolo continuo. In Appendice II viene presentala la soluzione di tali modelli attraverso l’utilizzo della trasformata di Laplace.
Nel Capitolo 2 si riporta un inquadramento dal punto di vista geologico, idrogeologico e idraulico del caso di studio reale, relativo al Massiccio della Vigolana (Provincia di Trento). Inoltre si riportano le misure a disposizione e il modello fisico adottato nella risoluzione dei tre modelli matematici. Nel Capitolo 3 viene introdotto il metodo di calibrazione dei parametri ed i criteri di comparazione tra modelli utilizzati. Viene inoltre descritta la procedura di modellizzazione e calibrazione adottata ed implementata in MATLAB.
Nel Capitolo 4 sono analizzate, attraverso la generazione di campioni sintetici con parametri caratte-ristici di acquiferi carsici, le capacità di stima dei parametri carattecaratte-ristici del modello a doppia per-meabilità. In particolare, è stato valutato l’effetto della disponibilità di dati di diversa natura, della loro accuratezza e della loro ubicazione sulla qualità della stima dei parametri del modello. Succes-sivamente, attraverso la generazione di campioni sintetici con parametri simili al caso reale, sono
Introduzione
11
state analizzate le capacità di stima dei parametri dei modelli a doppia permeabilità, a doppia porosità e a singolo continuo. In particolare in questo secondo set di campioni sintetici sono state utilizzate le stesse tipologie di misure disponibili per il caso reale.
Nel Capitolo 5 si riportano i risultati di stima dei parametri e il confronto dei tre modelli considerati per il caso reale del Massiccio della Vigolana.
Modelli di filtrazione
13
1 Modelli di filtrazione
In questo capitolo vengono presentati tre modelli di filtrazione monodimensionali.
1.1 Modello a doppia permeabilità
Gli acquiferi carsici sono formazioni fratturate composte da sistemi interconnessi di fratture e di for-mazioni poco permeabili (matrice). Detti acquiferi possono essere rappresentati attraverso il modello a doppia permeabilità. Secondo questo modello, il mezzo poroso è rappresentato dalla sovrapposi-zione di due mezzi saturi entrambi presenti in ogni volume elementare. Uno, la matrice, fornisce un accumulo provvisorio per l’acqua; mentre l’altro, la frattura, rappresenta una via preferenziale per lo scorrimento dell’acqua. La permeabilità della matrice è bassa rispetto a quella della frattura e il flusso tra matrice e frattura è proporzionale alla differenza di carico, carico inteso come la somma tra la quota geodetica e piezometrica. Tale modello, sviluppato nell’ambito di ingegneria del petrolio [4] [6] [7] e solo successivamente adottato per acquiferi carsici [8], è caratterizzato da 5 parametriSs e 1
2
Ss [1/m], k e 1 k [m/d], 2
[1/d], che rappresentano rispettivamente l’immagazzinamento specifico della matrice e della frattura, la permeabilità della matrice e della frattura ed il coefficiente di scambio. Nella Figura 1-1 si riporta una schematizzazione della presente modellazione:Figura 1-1 – Schema del modello a doppia permeabilità
A seguire si riportano le equazioni (1.1) e (1.2) caratterizzanti il modello e le condizioni al contorno
2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) Ss h Ss h h h k h t x B h h k h t x B (1.1)
Modelli di filtrazione 14 2 2 1 1 1 1 , 2 2 , ( 0, ) 0 ( 0, ) 0 x L t x L t h x t h q x h x t q h k k x (1.2)
dove x [m] è la coordinata spaziale, t [d] la coordinata temporale, B [m] la larghezza dell’acquifero, i con i=1 se riferiti alla matrice, 2 alla frattura, L[m] lo spessore dell’acquifero, q1 q2 [mm/d] è p il termine di ricarica, intensità di pioggia in ingresso.
Per la risoluzione del problema è necessario inoltre specificare le condizioni iniziali di carico per la matrice e la frattura in tutto il dominio.
La soluzione di questo problema avviene trasformando le equazioni differenziali e le condizioni al contorno nello spazio di Laplace e successivamente antitrasformando numericamente le variabili di interesse della soluzione. In particolare per la risoluzione del problema inverso si è interessati alla portata, Q2, uscente dalla frattura, in quanto per il problema analizzato in seguito, la portata Q1,
uscente dalla matrice è trascurabile.
2 2 2 0 2 , x t Q B P h x k [m3/d] (1.3)dove il prodotto
B P2
[m2] è l’area della frattura e P [m] è la profondità dell’acquifero (spessore).Ulteriori dettagli della soluzione sono riportati nell’Appendice II.
1.2 Modelli semplificati
Nei paragrafi seguenti si presentano delle semplificazioni del modello a doppia permeabilità descritto nel paragrafo 1.1. Anche per questi modelli la soluzione del problema differenziale avviene nello spazio di Laplace, tali soluzioni sono riportate nell’Appendice II.
1.2.1 Modello a doppia porosità
Il modello a doppia porosità (vd. Figura 1-2) si ottiene ponendo la permeabilità della matrice k1 pari
Modelli di filtrazione
15
Figura 1-2 - Schema del modello a doppia porosità
Tale semplificazione impone una grossa differenza per quanto riguarda le condizioni al contorno, infatti, non avendo flusso nella matrice, tutta la pioggia deve essere convogliata dall’ingresso della frattura. Inoltre questa semplificazione implica che la matrice si comporti da accumulo temporaneo. A seguire si riportano le equazioni (1.4) e (1.5) caratterizzanti il modello e le condizioni al contorno
2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) Ss h Ss h h t B h h k h B h t x (1.4) 2 2 , 2 ( 0, ) 0 x L t h t q h x k x (1.5) In (2.5)
1 2
2 B P B P q p B [mm/d] rappresenta termine di ricarica convogliato da tutto il sistema e localizzato nella sola frattura.
Per la risoluzione del problema è necessario inoltre specificare le condizioni iniziali di carico per la matrice e la frattura in tutto il dominio. Si osserva che non sono necessarie condizioni al contorno per la matrice.
1.2.2 Modello singolo continuo equivalente
Nel modello singolo continuo la matrice e la frattura sono rappresentati da un singolo continuo equi-valente, così facendo questo modello è caratterizzato da due soli parametri Ss e k, rispettivamente l’immagazzinamento specifico e la permeabilità di un mezzo omogeneo equivalente. Tale semplifi-cazione comporta anche una lieve variazione di geometria rispetto ai due modelli precedenti.
Modelli di filtrazione
16
Nella Figura 1-3 si riporta una schematizzazione della presente modellazione:
Figura 1-3 – Schema del modello a singolo continuo
A seguire si riportano le equazioni (1.6) e (1.7) caratterizzanti il modello e le condizioni al contorno
2 2 h h k t x Ss (1.6) , ( 0, ) 0 x L t h x t k h p x (1.7)
Inquadramento al caso di sudio
17
2 Inquadramento al caso di studio
In questo capitolo viene presentato il caso di studio analizzato in questa tesi dal punto di vista geolo-gico e idraulico. Inoltre si riportano le misure di portata disponibili e il loro filtraggio dal flusso base. L’acquifero in esame è situato nel Massiccio della Vigolana, un area montuosa di altitudine moderata, situata a sud-est di Trento (nord Italia). In Figura 2-1 si riporta una vista satellitare dell’area oggetto di studio.
Figura 2-1 - Visione satellitare del Massiccio della Vigolana (Trento, Nord-Italia) [9]
L’area montuosa è caratterizzata dalla presenza di rocce carbonatiche carsiche, da dolomia fratturata e da un sistema di faglie, che offre vie preferenziali per l’acqua. Pertanto l’acquifero presenta carat-teristiche e risposte tipiche di un sistema a doppia permeabilità (vd Capitolo 1).
Il massiccio si estende su un area di circa 2000 ettari (2e7m2). La zona oggetto di questo studio è il
versante sud-ovest nella fascia di quote compresa tra i 180.5 mslm e i 1100 m slm. Su tale versante è stato scavato nella direzione ovest-est un tunnel esplorativo alla quota di 180.5 m slm e lungo 373 m vicino alla località di Aquaviva. In Figura 2-2 e Figura 2-3 si riporta la posizione del tunnel esplora-tivo in una foto satellitare del versante e in planimetria.
Inquadramento al caso di studio
18
Figura 2-2 - Posizione del tunnel esplorativo su una foto satellitare del versante [9]
Inquadramento al caso di sudio
19
Le sorgenti che interessano l’area di studio sono tipiche sorgenti carsiche, le quali in passato venivano utilizzate per approvvigionamento della città di Trento. La presenza di sorgenti e doline è sintomo di morfologia carsica dovuta alla solubilità della rocca in contatto con acqua acidulata. Questo fenomeno produce dei condotti carsici che caratterizzano il massiccio per l’intera estensione. Sono inoltre pre-senti fenomeni di carsismo superficiale i quali creano delle vie preferenziali di infiltrazione.
2.1 Caratteristiche geologiche
Il versante ovest del massiccio della Vigolana, nelle quote di interesse per il presente elaborato, è caratterizzato dalla presenza di Calcari Grigi (basso Triassico), Dolomia Principale (alto Triassico) e Formazione di Raibl (alto Triassico). In Figura 2-4 si riporta la sezione Est-Ovest del profilo geolo-gico che taglia la galleria longitudinalmente. In tale figura sono inoltre riportate le faglie e la strati-grafia.
Figura 2-4 - Profilo geologico Est-Ovest con tracciato della galleria [11]
La parte superiore del versante è caratterizzata dalla presenza di uno strato di Calcari Grigi caratte-rizzati dalla presenza di vuoti dovuti alla dissoluzione carsica.
La formazione di Dolomia Principale risulta ben stratificata e avente spessore di circa 800 m. La Dolomia Principale è inoltre caratterizzata dalla presenza di:
- un sistema di fratture di piccola dimensione (dell’ordine di mm) chiuse o con apertura mo-derata, interessate da scorrimenti minimi;
- un sistema di fratture principali di apertura fino a qualche centimetro;
- un sistema di faglie sub-verticali (evidenziate in rosso in Figura 2-4). Il sistema di faglie più importante ha apertura media di circa 16 cm ed è situato alla fine del tunnel esplorativo. La Formazione di Raibl è composta da scisti rossi e siltiti. Questa formazione si comporta come fondo impermeabile per la Dolomia Principale.
Inquadramento al caso di studio
20
2.2 Caratteristiche idrauliche
La circolazione idrica nel massiccio della Vigolana è dovuta alla permeabilità delle discontinuità strutturali quali fratture, stratificazione e faglie. Il valore di permeabilità è correlato al grado di frat-turazione ed al tipo di composizione della roccia. In particolare si ha:
- nella parte superiore alta permeabilità dovuta alla maggiore dissoluzione dei Calcari Grigi (roccia carbonatica) rispetto alla Dolomia;
- nella parte intermedia una permeabilità media dovuta alle fratture della Dolomia e alle fa-glie, k~10-7m/s;
- nella parte sottostante al tunnel è presente uno strato roccioso poco permeabile. La circolazione idrica nel versante in esame è dovuta principalmente a due flussi:
- uno verticale generato dalle piogge cadute in un area sovrastante prossima al tunnel;
- uno pseudo-orizzontale, proveniente dalla parte più alta del bacino, dovuto allo scioglimento nivale.
In Figura 2-5 si riporta una schematizzazione del caso in esame evidenziando i due flussi.
Figura 2-5 - Schema concettuale del problema che evidenzia i due flussi
Nel presente elaborato si prende in esame il solo flusso pseudo-verticale dovuto all’infiltrazione della pioggia, in quanto non sono disponibili dati in ingresso di scioglimento nivale, input necessario per modellare anche il flusso pseudo-orizzontale.
Grazie alla diversa natura dei due flussi, pioggia e scioglimento nivale, e alla diversa direzione di scorrimento è possibile utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti. Anche l’andamento in uscita da una galleria/sorgente di suddetti flussi è molto diverso. Infatti la portata dovuta all’infiltra-zione di pioggia segue un andamento molto irregolare e discontinuo, mentre quella dovuta a sciogli-mento nivale è molto regolare ed è caratterizzata da andamenti noti, studiati in letteratura e di com-provata validità [12] [13] [14]. Pertanto risulta possibile filtrare tale portata e ottenere il solo flusso in uscita dovuto all’infiltrazione della pioggia così da poter modellare il solo flusso pseudo-verticale.
Inquadramento al caso di sudio
21
Tale flusso circola attraverso faglie, che costituiscono un percorso preferenziale, fratture e stratifica-zioni, che sono sistemi secondari. Per questa ragione la circolazione all’interno del massiccio è sche-matizzata attraverso un modello doppio continuo: un primo a bassa permeabilità che include la ma-trice fratturata e un secondo ad alta permeabilità che include le faglie pseudo-verticali. Ulteriori in-formazioni riguardo a tale modello sono fornite nel Paragrafo 1.1.
2.3 Misure a disposizione
Si hanno a disposizione misure accoppiate di portata e pioggia medie giornaliere per un intervallo di tempo di circa un anno. Dette misure sono quelle generalmente disponibili per caratterizzare il com-portamento di una sorgente. Le misure di portata fanno riferimento alla portata totale uscente dalla galleria, cioè la somma di quella derivante da pioggia e da scioglimento nivale. Mentre le misure di pioggia provengono dal pluviometro di Folgaria1. Tali osservazioni vengono numerate dal giorno 1
(30/03/2009) al giorno 346 (10/03/2010).
In Figura 2-6 si riportano le misure di portata e di pioggia a disposizione. Tali misure vengono inoltre riportate in forma tabellare in Appendice I.
Figura 2-6 - Misure di portata e di pioggia disponibili nel sistema nel massiccio della Vigolana
L'andamento delle portate misurate mostra un picco massimo a giugno 2009, quando l'apporto dovuto allo scioglimento nivale è massimo. Sono presenti inoltre altri due picchi più bassi nel settembre e dicembre 2009 probabilmente dovuti alle piogge.
1 Bacino del Fiume Adige, Provincia di Trento, Stazione: T0210, Tavoletta n.: 32 081070, Coordinate Est/Nord:
667845/5086920, Latitudine: 45°54’55.3” N, Longitudine: 11°09’51.7” E
Inquadramento al caso di studio
22
2.4 Filtraggio delle osservazioni
Come riportato in precedenza nel presente elaborato si considera il solo flusso verticale dovuto alle piogge, pertanto è necessario filtrare le misure di portata uscenti dalla sorgente.
L’analisi della curva del trend stagionale di portata delle sorgenti ha una lunga storia in idrologia. Il primo tentativo di fornire un’espressione di regressione della parte di curva post picco del trend sta-gionale delle sorgenti è dovuto a Boussinesq [12]. Assumendo una pendenza del carico idraulico moderata, omogeneità, isotropia del mezzo e flusso monodimensionale, Boussinesq [12] propose un interpolazione basata sulla somma di due esponenziali. Contemporaneamente Maillet [13], attraverso l’analisi di dati empirici, propose l’utilizzo di curve polinomiali per l’interpolazione. Successiva-mente Mangin [15] [14] suggerì che la curva di regressione sia composta da componenti non espo-nenziali, quali polinomi, e componenti esponenziali.
Al fine di filtrare le portate uscenti dalla sorgente è stato utilizzato un modello di interpolazione a tratti (dettagliato in seguito) del trend stagionale per il quale esiste ampia letteratura [16] che ne di-mostra la validità per casi analoghi a quello in esame.
In Figura 2-7 si riportano le misure di portata misurata, il trend stagionale e la portata filtrata.
Figura 2-7 - Andamento temporale della portata osservata, del trend stagionale e della portata filtrata
Nella precedente figura le linee verticali tratteggiate indicano la suddivisione delle interpolanti a tratti del modello per il trend stagionale. Tale modellizzazione avviene attraverso la stima di coefficienti specifici e di parametri, in particolare per i vari tratti evidenziati nella figura precedente sono stati utilizzati i seguenti modelli:
1) lineare 2) quadratico 3) esponenziale
In Tabella 2-1 si riportano i parametri stimati per le varie interpolanti [17] 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0 50 100 150 200 250 300 Q [m 3/s] t [d]
Inquadramento al caso di sudio
23
Tabella 2-1 - Coefficienti dei modelli interpolanti per il flusso base
Tratto Modello (Q[m3/d],t[d]) Intervallo di validità [d] 1 Q=at+b 1-43 a=0.00141[m/s2] b=0.04859 [m/s] 2 Q=at+b 43-52 a=0.00262[m/s2] b=‐0.00331[m/s] 3 Q=at2+bt+c 52-76 a=‐2.80E‐5[m/s3] b=0.00363[m/s2] c=0.02[m/s] 4 Q=ae-bt 77-170 a=0.26981[m/s] b=0.009[‐] 5 Q=ae-bt 170-230 a=0.08912[m/s] b=0.0025[‐] 6 Q=ae-bt 230-346 a=0.055[m/s] b=0.0004[‐]
In Figura 2-8 si riportano il flusso filtrato, ottenuto per differenza della portata osservata e la portata di base, e la pioggia.
Figura 2-8 - Andamento temporale della portata filtrata e delle misure di pioggia
Dalla precedente figura si osserva che tra i picchi di pioggia in ingresso ed i picchi in uscita esiste un ritardo di circa 15 giorni. Tale fenomeno è doluto alla natura del sistema fisico in esame ed in parti-colare all’immagazzinamento provvisorio del volume d’acqua nella matrice a bassa permeabilità.
2.5 Dimensioni geometriche utilizzate nei modelli
In questo paragrafo si riportano le dimensioni geometriche utilizzate nelle varie schematizzazioni concettuali applicate al caso reale riportato nel Capitolo 5 e ai casi sintetici (vd Capitolo 4). Tali geometrie sono state ricavate dall’analisi di dati morfologici del Massiccio. In particolare per la ma-trice è stata stimata una larghezza e profondità tale da considerare un domino avente caratteristiche
Inquadramento al caso di studio
24
di apertura delle micro-fratture sufficientemente grande da permettere la circolazione idrica, infatti le aree esterne al dominio presentano caratteristiche di fratturazione tali da poter essere considerate un contorno impermeabile. Mentre per la larghezza della frattura è stata considerata la somma dell’aper-tura media delle fratture principali, le quali, pur avendo profondità leggermente diverse, si conside-rano estese lungo tutto il dominio.
In Tabella 2-2 si riportano le dimensioni geometriche per il modello a doppia permeabilità (Figura 1-1) e a doppia porosità (Figura 1-2).
Tabella 2-2 - Dimensioni geometriche del modello a doppia permeabilità e del modello a doppia porosità
Matrice Frattura
Profondità, P [m] 360
Lunghezza (direzione flusso), L [m] 350
Larghezza [m] B1 = 300 B2 =0.165
In Tabella 2-3 si riportano le dimensioni geometriche utilizzare per una schematizzazione a singolo continuo equivalente (Figura 1-3).
Tabella 2-3 - Dimensioni geometriche per il modello a singolo continuo equivalente
Singolo Continuo
Profondità, P [m] 280
Lunghezza (direzione flusso), L [m] 350
Larghezza, B [m] 300
Si osserva che per i modelli semplificati è necessario garantire un bilancio di portata globale cioè la portata media annuale in ingresso deve essere uguale a quella in uscita, in quanto, con queste sche-matizzazioni, tutta la portata viene convogliata nel tunnel. Mentre per il modello a doppia permeabi-lità si considera convogliata nel tunnel la sola portata uscente della frattura. Tale assunzione è giusti-ficabile in quanto solo una porzione di portata uscente dalla matrice è realmente convogliata nel tun-nel. Inoltre detta portata, complessivamente, risulta trascurabile rispetto a quella in uscita dalla frat-tura.
Modelli inversi
25
3 Modelli inversi
Nel presente capitolo si riporta un introduzione generale riguardante la metodologia di inversione basata sul metodo della massima verosimiglianza, ML [18], la descrizione della procedura adottata ed implementata nel presente elaborato2 e i criteri di comparazione tra modelli.
3.1 Calibrazione del parametri di un modello mediante ML
Il metodo della massima verosimiglianza è ampiamente utilizzato in letteratura per ottenere la stima dei parametri di modelli di diversa natura, e.g. [18].
La funzione di massima verosimiglianza è sviluppata considerando la natura aleatoria delle osserva-zioni y. Tale aleatorietà è una conseguenza della concettualizzazione degli errori di misura come casuali.
Sia Y il vettore delle variabili aleatorie congiunte delle osservazioni e sia y una sua realizzazione, la funzione densità di probabilità congiunta (pdf), fY(y), dipende dal “vero” modello e dai “veri” valori
dei parametri. Ai fini della stima dei parametri per un dato modello, si consideri la pdf congiunta condizionata ad un particolare set di parametri p, fY(y | p). Questa pdf condizionata può essere
pen-sata come la probabilità che diversi set di possibili osservazioni si verifichino per un dato vettore di parametri.
Per la stima dei parametri, gli elementi di y sono noti e si vuole stimare il vettore di parametri p. Un requisito ragionevole dello stimatore di p è che massimizzi la probabilità di ottenere le osservazioni y. Questo requisito è imposto massimizzando la funzione di massima verosimiglianza
p |y fY(y | p) .
Ipotizzando che gli errori di misura siano distribuiti secondo una distribuzione normale multivariata, la funzione di massima verosimiglianza risulta:
1 0 0 ( y y) ( y y 1 ) 2 p | e det(C) 1 (y | p) (2 ) TC Y m y f (3.1)dove m il numero di osservazioni (lunghezza del vettore y), C è la matrice di covarianza degli errori di misura e yo è il vettore delle osservazioni.
Poiché la (3.1), per ragioni di approssimazione numerica, può risultare scarsamente trattabile, spesso, risulta preferibile lavorare sul logaritmo della funzione di verosimiglianza, log-verosimiglianza,
p | L y :
1 0 0 1 (y y) (y y) ln(det(C)) 1 m p | ln p | ln(2 2 2 2 ) T L y y C (3.2)Sostituendo la matrice di covarianzaC con l’espressione: 2 0 C V (3.3) 2 vedi Appendice IV
Modelli inversi
26 dove 2
0
è un fattore di proporzionalità incognito e positivo, mentre V è una matrice nota, simmetrica e definita positiva contenente i coefficienti di correlazione degli errori di misura.
Moltiplicando la (3.2) per -2 si ottile la funzione obiettivo basata sul principio di massima verosimi-glianza, NLL:
1 2
0 0 0
(y y)T C (y y) ln(det(V)) m ln( ) m ln(2 )
NLL (3.4)
A causa della moltiplicazione per un fattore negativo, il problema di massimizzazione (3.1) diventa un problema di minimizzazione (3.4).
Assumendo 2
0
costante, la minimizzazione di NLL si riduce alla minimizzazione di:
1
0 0
(y y)T V (y y)
(3.5)
Si osserva che, per il processo di ottimizzazione, grazie all’ipotesi di 2 0
costante, la funzione obiet-tivo di massima verosimiglianza, , coincide con la funzione obiettivo dei minimi quadrati. Sempre grazie alla stessa ipotesi la stima di 2
0
viene effettuata a posteriori, cioè dopo la stima dei parametri, vd Paragrafo 3.5.
3.2 Funzione obiettivo somma dei quadrati per problemi non lineari
Per la risoluzione di problemi non lineari, la minimizzazione di (3.5) avviene attraverso un processo iterativo basato sulla linearizzazione di y=y(p), quindi risolvendo ripetutamente la minimizzazione per un problema lineare.
p p y(p) y(p) Jy (p p) (3.6)
dove p è il valore dei parametri attorno al quale linearizzare, mentre J è lo jacobiano della funzione y
y definito come: 1 1 1 y 1 y y p p y y p p m m n n J (3.7)
dove n è il numero di parametri (lunghezza del vettore p).
Sostituendo (3.6) in (3.5) ed imponendo la condizione di minimo 0 p si ottiene:
1
1
0 p p (p) T T f f f J V J J V y y (3.8)Modelli inversi
27
risolvendo la precedente equazione si ottiene:
1
1 1
0 (
p p
p JTf V Jf JTf V y y ) (3.9)
La formulazione sopra ricavata è nota in letteratura come algoritmo di Gauss-Newton [19].
Per problemi fortemente non lineari e con grandi residui, Levenberg-Marquardt [20] [21] suggeri-scono, al fine di migliorare la convergenza della stima, la sostituzione di
JTf V1Jf
nell’equa-zione (3.8) con T 1
T 1
f f f V J diag f V J J J , dove è un parametro scalare di
smorza-mento introdotto da Marguaret [21], pertanto l’equazione risolutiva risulta:
1 1 1 0 (p) p p f f T T T f V J diag f V J f J J J V y y (3.10)Tale parametro rende la matrice dei coefficienti di p a diagonale dominante, quindi permette una più robusta risoluzione del sistema lineare anche qualora il problema fosse mal posto, cioè quando la soluzione del problema non risulta unica (esistenza di minimi multipli).
Il parametro scalare λ controlla sia il modulo che la direzione del passo di aggiornamento, p, dei parametri, dove
p p-p
In particolare, [22] quando λ è nullo, la direzione e modulo di p è identica a quella del metodo di Gauss – Newton, mentre quando λ tende all'infinito, p tende verso la direzione di discesa più ripida, con modulo p tendente a zero. Questo implica che per qualche valore di λ sufficientemente grande, la disuguaglianza
p p
p è verificata. Il termine λ può quindi essere controllato per ga-rantire la minimizzazione anche quando termini di secondo ordine limitano l'efficienza e la conver-genza del metodo di Gauss - Newton.Varie argomentazioni più o meno euristiche sono proposte in letteratura per la scelta migliore del parametro di smorzamento λ, tuttavia non esiste un criterio generale per la scelta del valore ottimale (cioè un compromesso tra stabilità e velocità di convergenza) di tale parametro.
3.3 Scaling dei parametri
Qualora, come nel caso in esame nel presente elaborato, i valori dei parametri fossero di diversi ordini di grandezza diversi tra loro, per ragioni numeriche, è necessario riscalare tali parametri al fine di risolvere un problema ben condizionato. La metodologia più diffusa di riscalamento per parametri che possono assumere solo valori positivi è quella di stimare il logaritmo naturale degli stessi. Il riscalamento dei parametri inoltre porta, per alcuni problemi, alla diminuzione del numero di itera-zioni necessarie alla stima degli stessi, quindi migliora la convergenza [18].
3.4 Criteri di convergenza
La convergenza del processo iterativo di Gauss - Newton modificato viene comunemente raggiunta quando uno dei due criteri, riportati a seguito, viene soddisfatto.
Modelli inversi
28
Il primo criterio di convergenza si basa sul fatto che, per problemi ben posti, il processo iterativo produce stime dei parametri, p, che sono progressivamente più vicini a valori associati al minimo della funzione obiettivo . Quando questo minimo viene raggiunto, il vettore di aggiornamento dei parametri p tende a zero. Così, il primo criterio è che il più grande valore assoluto di pp sia
infe-riore ad un valore di tolleranza definito dall'utente. Per il caso di stima del logaritmo dei parametri, un processo simile a quello descritto sopra produce il requisito che il più grande valore assoluto di
exp( p)
exp(p)
deve essere inferiore alla tolleranza fissata.
Il secondo criterio di convergenza è soddisfatto se la somma dei quadrati , non varia di più di una percentuale definita dall'utente oltre un numero fissato (comunemente tre) di iterazioni consecutive. Questo criterio permette di completare la stima dei parametri e il calcolo successivo delle statistiche quando i parametri variano in prossimità del minimo, ma mai abbastanza lentamente da soddisfare il primo criterio di convergenza. Tale condizione si verifica più frequentemente quando c'è almeno un parametro insensibile. I parametri insensibili hanno generalmente grandi variazioni, e, al fine di otte-nere una stima risulta necessaria una riparametrizzazione del problema fissando i parametri insensi-bili.
Esistono altri criteri di convergenza quali:
‐ la misura della vicinanza al minimo data dalla norma del gradiente di rispetto ai parame-tri, , sia inferiore ad una tolleranza fissata. Questa norma dovrebbe essere zero in pros-simità del minimo di . Tuttavia questo criterio di convergenza per funzioni fortemente non lineari, dove la pendenza locale della funzione vicino al minimo risulta essere molto elevata, risulta sempre insoddisfatto. In Figura 3-1 si riporta un esempio grafico del pro-blema sopra citato applicato ad un modello con un singolo parametro.
Figura 3-1 - Funzione obiettivo per un modello ad un singolo parametro
Nella figura sopra riportata si osserva come per il valore “x”, ottenuto dall’algoritmo di mini-mizzazione, la funzione risulta avere un gradiente molto elevato, pur essendo il valore ‘x’ molto vicino al vero valore “o” per il quale il gradiente è nullo.
“o” minimo vero “x” minimo stimato
Modelli inversi
29
‐ la riduzione relativa rispetto al valore iniziale della norma del gradiente di (derivato
ri-spetto ai parametri) sia inferiore ad una tolleranza fissata:
o
< tolleranza.
Nonostante questo criterio dia degli ottimi risultati [23], a volte, per problemi fortemente non lineari, risulta di difficile applicazione in quanto non è semplice quantificare una tolleranza sotto la quale il risultato è accettabile.
Una volta ottenuta una stima dei parametri mediante algoritmi iterativi, è comunque necessario veri-ficare che tale stima corrisponda effettivamente ad un minimo, in quanto per problemi mal posti (i.e., con parametri insensibili alla soluzione) tale condizione non viene raggiunta. Pertanto è necessario verifica che (p) ( )x per ogni valore x nell’intorno di p (condizione di minimo locale). In realtà tale verifica viene effettuata in senso discreto effettuando delle valutazioni della funzione obiettivo in un intorno di p. A seguire si riporta in Figura 3-2 un esempio di verifica discreta nel caso di un modello a 2 parametri p=[p1,p2]T.
Figura 3-2 - Esempio di verifica di minimo locale
Successivamente sarà necessario verificare che il minimo trovato sia anche globale.
3.5 Stima dell’errore
Successiva alla stima dei parametri vi è la stima del fattore di proporzionalità 2 0
della matrice di covarianza delle osservazioni C.
Andando a minimizzare NLL rispetto a 2 0 cioè imponendo 2 0 o NLL si ottiene: 2 0 m (3.11)
L'affidabilità e la correlazione dei parametri stimati è analizzata ricavando la matrice di varianza-covarianza associata ai parametri. In particolare si ha:
1 1 2 0 p T y y J J C V (3.12)dove J è lo jacobiano della funzione y(p) (vedi equazione (3.7)), mentre y V è il rapporto dei coef-ficienti di correlazione (vd (3.3)) [24].
Modelli inversi
30
Qualora utilizzassimo stimare il log dei parametri la matriceC dell’equazione (3.12) è riferita al p logaritmo dei parametri, pertanto la rinominiamo Cln(p). Per ottenere la matrice di varianza covarianza
p C si utilizza: p p p ln(p) T J C J C (3.13) dove Jp diag(p) .
Ogni elemento lungo la diagonale della matrice di varianza covarianza dei parametri, Cp(i,i), corri-sponde alla varianza, 2
ii
, dell’i-esimo parametro p . La radice quadrata di ogni varianza è la devia-i zione standard del parametro stimato e il coefficiente di variazione i- esimo è pari a
i ii p . I termini fuori diagonale, 2 ij
con i j, rappresentano le covarianze tra i parametri, dalle quali è possibile calcolare i rispettivi coefficienti di correlazione come:ij ij
ij
ii jj
, quest’ultimo è compreso tra
-1 e 1 ed assume i valori estremi qualora vi sia correlazione lineare tra i parametri, cioè risulta possi-bile stimare solo il rapporto tra gli stessi.
Il coefficiente di variazione e il coefficiente di correlazione sono le statistiche più facili con le quali comparare l’affidabilità della stima dei vari parametri.
La matrice di varianza covarianza dei parametri può essere utilizzata per calcolare gli autovalori e autovettori della stessa, quindi ricavare l’intervallo di confidenza dei parametri al 95% come:
intervallo di confidenza1.96eig(C )p (3.14)
dove eig(C )p sono gli autovalori di C . p
Per stime effettuate con il log dei parametri, l’intervallo di confidenza calcolato si riferisce al log dei parametri stimati, mentre limiti di tale intervallo calcolati come exp ln p
1.96eig(C )p
sono i limiti di confidenza dei parametri, i quali potrebbero non essere simmetrici.L’affidabilità dei parametri può essere caratterizzata utilizzando il coefficiente di variazione e il coef-ficiente di correlazione o gli autovalori e autovettori oppure l’intervallo di confidenza, tuttavia le conclusioni che si possono trarre sono identiche.
3.6 Analisi dei risultati: criteri di comparazione tra modelli
Esistono in letteratura numerosi criteri [25] che permettono di discriminare tra modelli diversi e con diverso numero di parametri, i.e. identificano il miglior modello in accordo con fissate metriche. Una metrica è il valore stesso della funzione obiettivo massima verosimiglianza (NLL) valutato nel vettore di parametri stimato. Tuttavia all’aumentare dei parametri i residui diminuiscono, quindi diminuisce anche NLL e si potrebbe trarre la conclusione errata che modelli con più parametri siano generalmente migliori. Ulteriori metriche sono state quindi sviluppate al fine di tener conto di tale fattore.
Modelli inversi
31
AIC è stata sviluppata da Akaike [26]:
2
AIC NLL n (3.15)
AICc è stato sviluppato da Hurvich & Tsai [27] per eliminare la deviazione dell’AIC [27], tale de-viazione è significativa in AIC quando m è piccolo.
2 2 1 1 c n n n m AIC NL n L (3.16)BIC è stato sviluppata sempre da Akaike [28] per ovviare al fatto che AIC tende a favorire l'uso di più parametri di quelli realmente necessari. La versione di questa statistica usata da Carrera e Neuman [29] è:
lnBIC NLL n m (3.17)
KIC è stata sviluppata da Kashyap [30], rivista e corretta da [31], rispetto ai precedenti indici tiene conto della bontà di stima dei parametri attraverso l’informazione contenuta nella matrice C : p
pln 2 ln( C )
KIC NLL n (3.18)
Per stime effettuate con il log dei parametri la (3.18) diventa:
ln(p)ln 2 ln( C )
Casi sintetici
33
4 Casi sintetici
4.1 Analisi del problema inverso applicato al modello a doppia permeabilità
In questo paragrafo verrà effettuata un analisi del problema inverso applicato al modello a doppia permeabilità.
Lo scopo di questo paragrafo è quello di illustrare alcune caratteristiche e capacita di stima del pro-blema inverso attraverso l’analisi di casi sintetici generati con parametri simili a quelli caratteristici di acquiferi carsici [32].
Lo studio di casi sintetici consente di verificare la capacità di stimare i parametri caratteristici del sistema in esame considerando diversi scenari come dettagliato in seguito. In particolare si valuterà l’effetto della disponibilità di dati di diversa natura, della loro accuratezza (e.g. errore di misura) e della loro ubicazione sulla qualità della stima dei parametri del modello.
4.1.1 Generazione di campioni sintetici
I casi sintetici di riferimento sono stati generati utilizzando le stesse dimensioni geometriche (Para-grafo 2.5) e le stesse condizioni al contorno del caso reale, e parametri simili a quelli attesi nel caso reale. In Tabella 4-1 si riportano i parametri utilizzati nel modello a doppia permeabilità (vedi Capi-tolo 1) utilizzati in questo set di casi sintetici.
Tabella 4-1 – Parametri dei casi test di riferimento
Parametro Valore Descrizione
Ss1 [1/m] 7e-5 Immagazzinamento specifico della matrice
Ss2 [1/m] 1e-3 Immagazzinamento specifico della frattura
k1 [m/d] 0.1 Permeabilità della matrice
k2 [m/d] 10 Permeabilità della frattura
[1/d] 0.01 Coefficiente di scambio
La calibrazione è stata effettuata utilizzando le seguenti variabili di stato: la portata giornaliera in uscita dalla frattura, Q i , il carico idraulico nella frattura,
h i , ed il carico idraulico nella matrice, 2
1
h i , con i = 1…230 giorni. La posizione delle misure di carico idraulico è dettagliata in seguito. I dati di calibrazione, Qsin
i , sin
1
h i , sin
2h i , sono stati generati perturbando le variabili di stato ricavate dalla soluzione del problema diretto, i.e. Qmodel
i , mod
1
el
h i e mod
2el
h i , con rumore bianco. Si noti che per le la generazione delle portate giornaliere Qsin
i si è scelto di perturbare il logaritmodi Qmodel
i in quanto il dato è sempre positivo.
sint
Q i viene generato utilizzando la seguente equazione:
model model model sint exp ln i Q Q Q i Q i cv (4.1)Casi sintetici
34
Dove model
Q e Qmodel sono rispettivamente la portata in output e la media delle portate ricavate
nume-ricamente dal modello diretto e i è un numero random estratto dalla distribuzione normale standard, N(0,1) e cv è il coefficiente di variazione imposto per la generazione del campione.
Mentre sin
1h i , sin
2h i sono generati attraverso la seguente espressione:
model model model sint j j h h j j i h i h i cv con j=1,2 (4.2) Dove model j h e model j h sono rispettivamente il carico idraulico e la media del carico idraulico ricavato numericamente dal modello diretto.
Tali campioni sono generati imponendo un coefficiente di variazione cv pari al 2% , dove
e sono rispettivamente la varianza e la media del campione generato. Si osserva che la media del campione generato è uguale a quella delle variabili di stato ricavate dalla soluzione del problema diretto.Successivamente si è applicata la modellizzazione inversa per la quale nel Capitolo 3 sono riportate le basi teoriche ed algoritmiche con le quali è stato approcciato il problema; tale metodo è stato im-plementato in MATLAB (vedi Appendice IV).
4.1.2 Stima dei parametri con sole misure di portata
Come primo approccio si è voluto risolvere il problema inverso utilizzando solo misure di portata,
sint
Q , uscente dalla frattura (x = 0 m).
In Tabella 4-2 si riportano i risultati di stima dei parametri ed i corrispettivi intervalli di confidenza al 95%.
Tabella 4-2 - Stima dei parametri ottenuti utilizzando solo misure di portata Qsint
Parametro Valore di riferimento Valore stimato
Min Med Max
Ss1 [1/m] 7E-5 6.96E-05 6.98E-05 7.00E-05
Ss2 [1/m] 1E-3 NON STIMABILE
k1 [m/d] 0.1 0.09958 0.10003 0.10047
k2 [m/d] 10 1.703 10.003 58.773
[1/d] 0.01 NON STIMABILE
Per questa configurazione il problema risulta mal posto, ed in particolare non sensibile ai parametri Ss2 e . Inoltre la stima di k2 è affetta da notevole incertezza. In Figura 4-1 e Figura 4-2 si riportano
Casi sintetici
35
Figura 4-1 – Contourline della funzione obiettivo utilizzando
solo misure di portata Qsint nello spazio (Ss2, k2) Figura 4-2 – Contourline della funzione obiettivo utilizzando solo misure di portata Qsint nello spazio (k 2,)
In tali figure si osserva graficamente l’impossibilità di stima dei parametri Ss2 e . Una stima di Ss2
e è possibile quando tutti gli altri parametri (i.e., Ss1, k1 e k2) non vengono stimati ma imposti pari
ai rispettivi valori di riferimento come mostrato in Figura 4-3 ed in Tabella 4-3.
Figura 4-3 - Contourline della funzione obiettivo utilizzando solo misure di portata Qsint nello spazio (Ss2,, fissati Ss1, k1 e k2 Si nota tuttavia che la stima dei parametri Ss2 e risulta significativamente lontana dai valori di
riferimento.
Tabella 4-3 - Stima dei parametri Ss2 e e relativo intervallo di confidenza al 95%, utilizzando solo misure di portata Qsint , fissati
Ss1, k1 e k2
Parametro Valore di riferimento Valore stimato
Min Med Max
Ss2 [1/m] 1e-3 1.1e-3 1.5e-3 2.1e-3
[1/d] 0.01 0.002 0.005 0.012
“o” Valore di riferimento “o” Valore di riferimento
“x” Valore stimato “o” Valore di riferimento
Casi sintetici
36
4.1.3 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella frattura
In questo paragrafo si intende risolvere il problema inverso utilizzando misure di carico nella frattura,
sint 2
h x ,e di portata, sint
Q . In particolare si utilizzano misure di carico idraulico nella frattura a di-verse coordinate come specificato in seguito.
In Tabella 4-4 si riportano rispettivamente le stime dei parametri e i relativi intervalli di confidenza nel caso si utilizzino solo misure di carico nella frattura, sint
2 ( )
h x , o misure di carico nella frattura e di portata, sint
2 ( )
h x +Qsint. Le misure di carico utilizzate si riferiscono alla coordinata x = 330 m (in
cima, nei pressi della zona di ricarica).
Tabella 4-4 - Intervalli di confidenza nel caso di misure di h2sint(x330 m)e di h2sint(x330 )m + Qsint
Parametro Valore di riferimento
Valore stimato con sole h2sint Valore stimato con sint 2
h + Qsint
Min Med Max Min Med Max
Ss1 [1/m] 7e-5 7.08E-05 7.10E-05 7.13E-05 6.65E-05 7.01E-05 7.39E-05
Ss2 [1/m] 1e-3 NON STIMABILE NON STIMABILE
k1 [m/d] 0.1 0.1020 0.1029 0.1038 0.0995 0.1001 0.1008
k2 [m/d] 10 NON STIMABILE 9.80 9.82 9.84
[1/d] 0.01 NON STIMABILE NON STIMABILE
Dalla precedente tabella e considerando i risultati riportati in tabella 4-2 si osserva che: - con sole misure di carico, sint
2
h , si ottiene una stima di Ss1 e k1, mentre k2 non è stimabile;
- l’utilizzo di misure accoppiate di Qsint
e di sint 2
h non permette la stima dei parametri Ss2 e α;
- l’introduzione di misure di sint 2
h non migliora la stima dei parametri Ss1, k1, k2 rispetto
all’uti-lizzo di sole misure di Qsint
.
In Figura 4-4 si riportano le contourline della funzione obiettivo nel piano (Ss1, k1) utilizzando solo
misure di carico nella frattura, sint 2
Casi sintetici
37
x=330m (in cima, nei pressi della zona di ricarica) x=170m (nel mezzo)
x=20m (in basso, nei pressi della zona di restituzione)
Figura 4-4 - Contourline della funzione obiettivo con sole misure di h2sint(x) nello spazio (Ss1, k1) per tre coordinate x Dalla precedente figura e dalle Tabelle Tabella 4-4 e Tabella III-1 si osserva come la bontà di stima dei parametri Ss1 e k1 non dipenda dalla coordinata x di misura del carico idraulico nella frattura. In
Appendice III.1, Tabella III-1, sono riportati gli intervalli di confidenza dei parametri per i casi con x=170m e x=20m della precedente figura.
4.1.4 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella matrice
In questo paragrafo, in modo analogo al paragrafo precedente, si analizza l’effetto della disponibilità di sole misure di carico nella matrice, sint
1 ( )
h x , o di misure accoppiate di carico nella matrice, sint 1 ( ),
h x
e portata, Qsint, sulla stima dei parametri. I risultati di tale analisi sono formalmente simili a quelli del paragrafo precedente e sono riportanti in Appendice III.2.
4.1.5 Stima dei parametri con misure di portata e carico nella matrice e nella frattura
In questo paragrafo verrà esaminato l’effetto che ha l’aggiunta contemporanea di misure di carico nella matrice e nella frattura sulla funzione obiettivo. In particolare sono state analizzate diverse com-binazioni di misure al fine di riuscire a stimare tutti e 5 i parametri del modello.
Si riporta in Tabella 4-5 un sunto delle capacità di stima di tutti i parametri del modello per le diverse combinazioni di misure testate. Si utilizzano misure di portata in uscita dalla frattura, Qsint, di carico
idraulico nella frattura, sint 2 ( )
h x e di carico idraulico nella matrice, sin 1
t( )
h x , per tre diverse coordinate “*” Valore stimato
Casi sintetici
38
x (x=330m, x=170 m e x=20 m). Si è testato inoltre la possibilità di utilizzare misure di differenza di carico tra la matrice e la frattura, h1sint
x -
sint 2
h x .
Tabella 4-5 - Capacità di stima dei parametri
Tipi di misure Parametri
stimati non stimati
sint Q Ss1, k1 Ss2, k2, Solo sint
2 h x Ss1, k1 Ss2, k2, sint Q + sint
2 h x Ss1, k1, k2 Ss2, Solo sint
1 h x Ss1, k1 Ss2, k2, sint Q + sint
1 h x Ss1, k1, k2 Ss2,
1 sint 1 h x + sint
2 2 h x con x1≠x2 Ss1, k1 Ss2, k2, sint Q + sint
1 1 h x + sint
2 2 h x con x1≠x2 Ss1, k1, k2 Ss2,
sint 1 h x + sint
2 h x Ss1, Ss2, k1, k2, -
sint 1 h x - h2sint
x Ss1, Ss2, k1, k2, - sint Q + sint
1 h x - sint
2 h x Ss1, Ss2, k1, k2, -Dalla precedente tabella si osserva che:
- con misure solo di portata o solo di carico, indipendentemente dal fatto che sia nella matrice o nella frattura, è possibile stimare solo Ss1 e k1;
- con misure accoppiate di portata e carico, indipendentemente dal fatto che sia nella matrice o nella frattura, è possibile stimare Ss1, k1 e k2;
- per ottenere una stima di tutti parametri del modello è necessario effettuare misure congiunte (cioè alla stessa coordinata x e nello stesso istante) di carico sia nella matrice che nella frattura; in realtà è sufficiente misurare una combinazione tra il carico della matrice e della frattura es. la somma o la differenza di carico.
In Figura 4-5 si riportano le contourline della funzione obiettivo con misure di portata e differenza di carico in a due differenti coordinate, per i medesimi casi in Tabella 4-6 si riporta la stima dei parametri ed il relativo intervallo di confidenza
