Universit´a dell’Aquila - Ingegneria
Prova Scritta di Fisica Generale II - 11/06/2014
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CFU Docente ... ... ... ... .... ... Problema 1
Una sfera metallica di raggio ra ´e circondata da un
dielettrico di spessore d e costante dielettrica r =
(rr
a)
n. La sfera metallica ´e caricata con una carica Q.
Calcolare: a) il campo elettrico in tutto lo spazio; b) il valore di n che rende il campo elettrico costante nel dielettrico.
Una particella di massa m e carica q viene inviata con velocit´a v lungo un diametro della sfera da una distanza infinita. c) Calcolare il valore di v affinch´e la carica q arrivi ferma sulla superficie della sfera metallica nel caso in cui sia n=3 e nell’ipotesi in cui essa non venga rallentata nell’attraversare il dielettrico.
(Dati del problema: ra = 5 cm, d = 10 cm, Q = 0.5µC, q = 1nC, m = 10−8kg, 0 =
8.854 × 10−12 F/m)
Problema 2
All’istante t = 0 viene chiuso l’interruttore del cir-cuito in figura. Calcolare: a) la corrente fornita dal generatore nell’istante iniziale ed a regime; b) dopo quanto tempo tx dalla chiusura dell’interruttore la
tensione ai capi del condensatore ´e eguale a quella della resistenza R3.
c) Se viene atteso un tempo molto lungo e poi riaperto l’interruttore, dopo quanto tempo (ty)dall’apertura dell’interruttore la tensione ai capi di C e pari vale f /10?
(Dati del problema: R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 5 Ω, f = 12 V , C = 3 µF )
Problema 3
Il circuito in figura ´e immerso in un campo di induzione magnetica uniforme perpendicolare al piano del foglio, in esso entrante ed in modulo pari a B, ed ´e chiuso da una barretta di lunghezza ` e resistenza R, che resta ferma per un tempo molto lungo. Al tempo t = 0 la barretta inizia a muoversi verso destra con velocit´a v. Stabilire: a) la tensione ai capi della barretta all’istante t0; b) l’energia
erogata dal generatore f fino a tale istante; c) la corrente che scorre a regime nel circuito.
(Dati del problema ` = 10cm, v = 10m/s, L = 10mH, R = 20Ω, B = 2T , t0 = 1 ms, f = 1 V )
SOLUZIONI Problema 1
a) Applichiamo il teorema di Gauss. Per r ≤ ra, E(r) = 0
Per ra ≤ r ≤ ra + d applichiamo il teorema di Gauss al vettore spostamente dielettrico
D(r) = 0rE(r): Z D · dS = Q da cui D = Q 4πr2 Quindi: E(r) = D(r) 0r(r) = Qr n a 4π0rn+2 per r ≥ ra+ d, E(r) = Q 4π0r2
b) E(r) = costante nel dielettrico implica: E(r) = Qr n a 4π0rn+2 = costante da cui n = −2 E(r) = 1.8 · 106 V /m
c) Poich´e il sistema ´e isolato e conservativo possiamo utilizzare la conservazione dell’energia: Einiziale= Ef inale con Einiziale= 1 2mv 2 e Ef inale = qV (ra).
Dobbiamo quindi calcolare il potenziale sulla superficie della sfera metallica considerando n=3.
Dalla definizione di potenziale abbiamo, considerando che V (∞) = 0:
V (ra)−V (∞) = − Z ra ∞ E·dr = − Z ra+d ∞ E·dr − Z ra ra+d E·dr = − Z ra+d ∞ Q 4π0r2 dr − Z ra ra+d Qra3 4π0r3+2 dr Quindi: V (ra) = Q 4π0 [ 1 ra+ d + 1 4ra − r 3 a 4(ra+ d)4 ]
V (ra) = 5.2 × 104V per cui v = q 2qV (ra) m = 102m/s Problema 2 a)
All’istante iniziale, il generatore vede la serie di R1 con il parallelo di R2 ed R3:
Rp =
R2R3
R2+ R3
= 4 Ω
ed il condensatore si comporta come una resistenza nulla; Quindi la corrente fornita diviene: Io=
f R1+ Rp
= 0.86 A
Mentre a regime nel ramo del condensatore non scorre corrente per cui; I∞=
f R1+ R2
= 0.4 A b)
Il generatore di Thevenin equivalente ai capi del condensatore vale fth = I∞R2 = 8 V e la
resistenza di Thevenin
Rth= R3+
R1R2
R1+ R2
= 11.7 Ω
Quindi detto τ1 = CRth= 35 µs: La carica ai capi del condensatore
Q(t) = fthC[1 − exp(−t/τ1)] e la sua tensione: VC = fth[1 − exp(−t/τ1)] Mentre la corrente: I(t) = dQ dt = fthC τ1 exp(−t/τ1) = fth Rth exp(−t/τ1)
Quindi a tensione ai capi di R3:
V3 =
fthR3
Rth
exp(−t/τ1)
Quindi imponendo che VC = V3:
1 − exp(−tx/τ1) =
R3
Rth
exp(−tx/τ1)
c)
La tensione ai capi del condensatore (trascorso un tempo lungo) ´e pari fth. Quindi riaprendo
l’interruttore si scarica con la legge:
VC(t) = fthexp(−ty/τ2)
dove τ2 = (R2+ R3)C = 75 µs Quindi ponendo:
f
10 = fthexp(−ty/τ2) ty = −τ2ln [f /(10fth)] = 0.14 ms
Problema 3
a) Prima che la barretta inizi a muoversi, nel circuito scorre la corrente i0 = f /R in senso
orario. Quando la barretta inizia a muoversi inizia un transitorio in cui la corrente che circola in senso orario ´e descritta dalla legge
i(t) = f − fi R + i0− f − fi R e−τt
dove τ = L/R e dove fi ´e la forza elettromotrice indotta data da fi = `Bv = 2 V . La
tensione richiesta ´e:
v(t0) = Ri(t0) = −0.73 V
dove il segno negativo deriva dal fatto che la corrente ´e positiva in verso antiorario. b) L’energia erogata dal generatore f ´e pari a
Ef = Z t0 0 f i(t)dt = f f − fi R t0 + τ i0− f − fi R 1 − e−t0τ = −6.7 µJ. Il segno negativo indica che complessivamente il generatore assorbe energia dal circuito. c) A regime la nuova corrente ´e pari al limite per t → ∞ di i(t), ovvero i00 = (f − fi)/R =
