Condizione necessaria

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(1)1. www.matematicagenerale.it Teorema . Condizione necessaria affinché una serie. a n 1. n. sia convergente è che:. lim an  0 n . Si avverte però che tale condizione non è affatto sufficiente in quanto esistono delle serie che non sono convergenti pur essendo lim an  0 ; ci permette però di stabilire se lim an  0 la serie n . n . diverge.. Esempio . Sia.  1. n 1 , stabilire se tale serie è convergente. n3. Calcoliamoci il limite del termine generale della serie data. n 1 1 0 n n  3. lim. Essendo il limite diverso da zero, per il teorema precedente, possiamo dire che la serie diverge.. Difatti, costituisce un controesempio del teorema la serie armonica.. Consideriamo la serie armonica . 1. 1. 1. 1.  n  1  2  3  .....  n  ... 1. e calciamoci il limite del termine generale: lim a n  lim n. n. 1 0 n. Tale limite è nullo, eppure la serie armonica non converge. A tal scopo, andiamo a valutare lim s n . n . Ricordiamo che: n.  1 lim1    e n   n info@matematicagenerale.it | dott. T. Grasso.

(2) 2. www.matematicagenerale.it . e dunque n.  1 1    e  n Passando al logaritmo si ha: n.  1 log1    1 ;  n  1 n log1    1 ;  n  1 1 log1     n n Allora. 3 4 1 1 1 1  1 log 2  log  log  ...........  log1    1     ........ 2 3 2  3 4 n  n   sn. Sfruttando le proprietà dei logaritmi si ha: log 2  log 3  log 2  log 4  log 3  ...........  log(n  1)  s n ; cioè log(n  1)  s n Passando al limite lim log(n  1)  lim s n n. n . ma lim log(n  1)   . n. Dunque lim s n   n. . E’ così provato che la serie armonica. 1. n 1. 1 0 n n. è divergente pur essendo lim a n  lim n. info@matematicagenerale.it | dott. T. Grasso.

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