Scomposizione De Agostini

Ilaria Fragni

Percorso Matematica

2

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2

Percorso

Matematica

2

Questo volume, sprovvisto del talloncino a lato, è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2, L. 633/1941). Fuori campo appli-cazione I.V.A. (D.P.R. 26/10/72, n. 633, art. 2, 3° co, lett. d.) I. Fragni PERCORSO MA TEMA TICA 2 EDIZIONE RIFORMA + CD-Rom ISBN 978-88-6181-092-1 CEDAM

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Percorso Matematica 2 Ed. riforma Volume + CD-Rom (2 elementi indivisibili) Prezzo di vendita al pubblico € 15,00 (defiscalizzato € 14,42)

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• per il docente: esercizi per l’erogazione e la correzione automatica di verifiche, modificabili o creabili con il software eTutor;

• per lo studente: esercizi per il recupero e il potenziamento con autocorrezione. Nelle Risorse Web dedicate al volume:

• 20 learning object interattivi.

• Esercizi per il recupero aggiornati annualmente. • Modelli per le prove INVALSI e OCSE-PISA.

Il libro

Calcolo letterale (2ª parte); Sistemi; Disequazioni lineari; Equazioni e disequazioni di secondo grado.

S.O.S. Sintesi: per ripercorrere gli elementi cruciali della teoria prima di affrontare le serie di esercizi.

Esercizi svolti, guidati e proposti graduati e organizzati per argomento. Test eVerifiche sommative, per mettere alla prova la propria preparazione. Extramath, esercizi per l’eccellenza.

Informath, schede per il laboratorio che utilizzano i software Derive ed Excel.

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Composizione del corso

Percorso Matematica 1 Ed. riforma + CD-Rom + PROVE INVALSI ISBN 978-88-6181-106-5

Percorso Matematica 1 Ed. riforma + CD-Rom ISBN 978-88-6181-091-4

Percorso Matematica 2 Ed. riforma + CD-Rom ISBN 978-88-6181-092-1

Geometria di base + CD-Rom ISBN 978-88-6181-053-2

Ilaria Fragni

Percorso Matematica

2

EDIZIONE RIFORMA

internet: www.cedamscuola.it e-mail: info@cedamscuola.it

Redattore responsabile: Stefano Ganci

Tecnico responsabile: Gianluigi Ronchetti

Redazione: Nicola Frau; Edistudio (Milano)

Progetto grafico: Studio Talarico

Copertina: Simona Corniola

Impaginazione e prestampa: Monotipia Olivieri (Milano)

Art Director: Nadia Maestri

Stampa: A.G.F. Italia - Peschiera Borromeo (Mi)

I contenuti della sezione Informath sono a cura del professor Domenico Ciceri. Si ringrazia la professoressa Daniela Mattei per la consulenza prestata nella realizzazione dell’opera.

Derive è un marchio registrato della Texas Instruments Inc.

Proprietà letteraria riservata

© 2011 De Agostini Scuola SpA – Novara 1ª edizione: febbraio 2011

Printed in Italy

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egistrato e concesso in licenza da W

olters Kluwer Italia s.r

Indice

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO IN FATTORI 1 TEORIA

1 Introduzione 2

2 Scomposizione mediante raccoglimento totale 2

3 Scomposizione mediante raccoglimento parziale 3

4 Scomposizione mediante prodotti notevoli 4

5 Scomposizione della somma e della differenza

di due cubi 5

6 Scomposizione di trinomi notevoli di secondo

grado 6

7 Scomposizione mediante il teorema e la regola

di Ruffini 7

8 M.C.D. e m.c.m. di due o piuÁ polinomi 8 ESERCIZI S.O.S.Sintesi 9 START/GO! 11 Verifica sommativa 37 TIME OUT 38 EXTRAMATH 39

INFORMATH SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

IN FATTORI 40

FRAZIONI ALGEBRICHE,

EQUAZIONI FRAZIONARIE E LETTERALI 41 TEORIA

1 Condizioni di esistenza di una frazione algebrica 42

2 Frazioni equivalenti 43

3 Operazioni con le frazioni algebriche 45

4 Potenza di una frazione algebrica 47

5 Equazioni frazionarie riconducibili a equazioni

di primo grado 48

6 Equazioni di primo grado intere a coefficienti

letterali interi 49 ESERCIZI S.O.S.Sintesi 51 START/GO! 53 Verifica sommativa 87 TIME OUT 88 EXTRAMATH 89

INFORMATH FRAZIONI ALGEBRICHE 90

INFORMATH EQUAZIONI FRAZIONARIE E LETTERALI 93

INFORMATH EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

A COEFFICIENTI LETTERALI 95

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 97

TEORIA

1 Equazioni algebriche lineari in due incognite 98

2 Sistemi di equazioni 99

3 Sistemi lineari di due equazioni in due

incognite 100

4 Metodi di risoluzione di un sistema lineare

determinato 101

5 Interpretazione grafica di un sistema lineare 105

6 Sistemi lineari numerici di tre equazioni in tre

incognite 106 7 Problemi 107 ESERCIZI S.O.S.Sintesi 109 START/GO! 112 Verifica sommativa 135 TIME OUT 136 EXTRAMATH 137

INFORMATH SISTEMI LINEARI 138

DISEQUAZIONI LINEARI 145

TEORIA

1 Disuguaglianze numeriche e loro proprietaÁ 146

2 Disequazioni 147

3 Disequazioni lineari numeriche intere 152

4 Sistemi di disequazioni in una incognita 154

5 Disequazioni frazionarie 154

6 Disequazioni riconducibili a disequazioni lineari 155 ESERCIZI S.O.S.Sintesi 157 START/GO! 159 Verifica sommativa 178 TIME OUT 179 EXTRAMATH 180

INFORMATH DISEQUAZIONI LINEARI 181

Unita

Á

1

Unita

Á

2

Unita

Á

3

Unita

Á

4

1 Radicali 186

2 ProprietaÁ invariantiva e conseguenze 189

3 Operazioni con i radicali 192

4 Espressioni con i radicali 197

5 Razionalizzazione del denominatore di una

frazione 197

6 Radicali quadratici doppi 199

7 Potenze con esponente razionale 200

ESERCIZI S.O.S.Sintesi 202 START/GO! 205 Verifica sommativa 249 TIME OUT 251 EXTRAMATH 252

INFORMATH SEMPLIFICAZIONE DI RADICALI 253

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO 255

TEORIA

1 Dal problema all'equazione 256

2 Risoluzione delle equazioni incomplete 256

3 Risoluzione delle equazioni complete 258

4 Relazioni tra i coefficienti e le radici

di un'equazione di secondo grado 262

5 Scomposizione di un trinomio di secondo

grado 264

6 Equazioni parametriche 265

7 Problemi di secondo grado 267

ESERCIZI S.O.S.Sintesi 268 START/GO! 270 Verifica sommativa 301 TIME OUT 302 EXTRAMATH 303

INFORMATH RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

DI SECONDO GRADO 304

1 Disequazioni razionali intere di secondo grado 308

2 La parabola e la risoluzione grafica

di una disequazione di secondo grado 310

3 Disequazioni riconducibili a quelle di primo e di secondo grado. Sistemi di disequazioni 314 ESERCIZI S.O.S.Sintesi 317 START/GO! 319 Verifica sommativa 336 TIME OUT 337 EXTRAMATH 338

INFORMATH DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO 339

5

Unita

Á

6

ZONA MATEMATICA è un portale dedicato all’insegnamento e apprendimento della matematica, a cui si può accedere dalla home page del sito

www.scuola.com, sia direttamente sia dalla scheda dedicata a questo corso (digitandone il titolo o il codice ISBN).

Dopo l’autenticazione è possibile accedere al software eTutor, progettato per la verifica e la valutazione dell’apprendimento sia in modalità docente

sia in modalità studente.

Modalità docente

Il Docente, in questa sezione del sito, ha a disposizione un ricco data base di esercizi e un software (eTutor) di facile utilizzo per la verifica e la valutazione dell’apprendimento degli studenti e che gli consente di:

• modificare e creare verifiche per la classe, modulari o di fine periodo • somministrarle alla classe, sia via web sia su formato Word stampabile • correggere automaticamente le verifiche stesse

• monitorare lo stato di esecuzione

• scegliere e impostare i parametri di valutazione (sintetici o analitici) • fare un registro della classe.

Modalità studente

Lo studente ha a disposizione un ambiente dove:

• svolgere le verifiche personalizzate assegnategli dal docente (attraverso un codice)

• svolgere autonomamente esercizi per il recupero e il potenziamento con autocorrezione

Esercizi interattivi per l’autovalutazione

Timeout Recupero, esercizi svolti e guidati pensati per chi non riesce a superare i punti critici della teoria

English for Math, glossario bilingue italiano-inglese dei termini chiave e delle principali locuzioni utilizzate in Matematica

IL CD

-

Struttura delle unità didattiche

L’esposizione della TEORIA

è semplice e lineare e si avvale di numerosi accorgimenti per facilitare lo studio.

Definizionie regolesono

evidenziate, per rendere agevole l’individuazione e la memorizzazione. Gli errori più comuni e i passaggi concettuali più complessi vengono resi espliciti attraverso numerosi

richiami a margine.

Ogni concetto teorico è accompagnato da esempiche ne

chiariscono l’applicazione.

Le rubriche Memo

a margine del testo puntualizzano in sintesi i concetti teorici. Le schede Focuse i box Sapevi che?offrono

spunti di

approfondimento e presentano curiosità legate alla storia della matematica.

La sezione Informath, al termine di ciascuna unità, fornisce un’ampia

e dettagliata conoscenza sull’utilizzo del software Derive.

Al termine della parte teorica la sezione S.O.S. Sintesi, disposta graficamente

su due colonne, consente allo studente di ripassare tutti i concetti e le formule incontrati, affiancati nella colonna di destra dai rispettivi esempi numerici.

Gli ESERCIZI, differenziati per tipologia e grado di difficoltà, sono preceduti

dalla sezione Start, per ripassare i concetti fondamentali, e si sviluppano nella

sezione Go!, che conduce gradualmente lo studente alla risoluzione autonoma

degli esercizi proposti attraverso Esercizi svoltied Esercizi guidati. Teste Verifiche sommativepermettono allo studente di mettere alla prova

la propria preparazione.

Le schede Extramathcontengono esercizi per il potenziamento.

Le schede Timeout recuperopresentano esercizi pensati per chi ha più

difficoltà a superare i punti critici della teoria. La serie completa di esercizi, di cui ogni unità presenta una pagina campione, è contenuta nel CD-ROM allegato al volume.

Scomposizione

di un polinomio

in fattori

Prerequisiti

O Saper scomporre un numero in fattori primi.

O Conoscere le proprietaÁ delle operazioni (in particolare la proprietaÁ inversa della proprietaÁ distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione).

O Conoscere e saper applicare le regole del calcolo letterale (in particolare i prodotti notevoli).

O Conoscere e saper applicare il teorema e la regola di Ruffini.

Obiettivi

O Saper riconoscere un polinomio riducibile.

O Saper individuare e saper applicare tecniche adeguate per scomporre un polinomio in fattori irriducibili.

O Saper determinare M.C.D. e m.c.m. di due o piuÁ polinomi.

UnitaÁ

1.

Introduzione

In Aritmetica abbiamo visto che la scomposizione di un numero naturale in fattori primi eÁ della massima importanza per lo studio successivo delle frazioni. CosõÁ pure, in Algebra, eÁ della massima importanza, per le sue ap-plicazioni, la scomposizione dei polinomi in fattori.

Per eseguire le operazioni tra frazioni che abbiano come termini dei polino-mi eÁ infatti necessario imparare a scomporre in fattori i polinopolino-mi, cioeÁ imparare a scriverli, quando eÁ possibile, come prodotto di altri polinomi (ciascuno di grado inferiore a quello del polinomio di potenza).

ADefinizione

Se un polinomio si puoÁ scomporre in fattori si dice riducibile; in caso con-trario si dice irriducibile.

Ad esempio:

Oil polinomio x2ÿ 1 eÁ riducibile, essendo x2ÿ 1 ˆ …x ‡ 1†…x ÿ 1†;

Oil polinomio x2‡ 1 eÁ irriducibile, perche non puoÁ essere trasformato nel

prodotto di fattori di primo grado.

Scomporre un polinomio in fattori presenta una certa difficoltaÁ, perche non esiste un metodo generale da seguire.

Esistono, tuttavia, tecniche applicabili a casi particolari che ora esaminere-mo. Tali procedimenti di scomposizione si basano sulle regole algebriche fin qui acquisite.

2.

Scomposizione mediante

raccoglimento totale

La proprietaÁ distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione afferma che, ad esempio, m…a ‡ b ‡ c† ˆ ma ‡ mb ‡ mc.

Se scriviamo tale uguaglianza invertendo i due membri, otteniamo: ma ‡ mb ‡ mc ˆ m…a ‡ b ‡ c†

Pertanto, se tutti i termini di un polinomio contengono un fattore comune, il poli-nomio puoÁ essere scritto come prodotto del fattore comune per il quozien-te che si ottiene dividendo il polinomio dato per tale fattore.

Quando si applica questo procedimento, detto raccoglimento totale, si di-ce che si eÁ raccolto, o messo in evidenza, il fattore comune. Questo fattore eÁ, di solito, il M.C.D. fra i termini del polinomio.

ESEMPI

Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi effettuando dei raccoglimenti totali.

1 a2x ‡ a2by ‡ a2z2.

Il fattore comune eÁ a2_{, quindi:}

a2_{x ‡ a}2_{by ‡ a}2_z2_{ˆ a}2_{x ‡ by ‡ z}2_†

MEMO

La scrittura di un polinomio come prodotto di fattori si dice scomposizione in fattori

(o fattorizzazione) del polinomio.

MEMO

Ogni numero naturale maggiore di 1 o eÁ primo o puoÁ essere scritto in modo unico come prodotto di fattori primi. Analogamente: ogni polinomio o eÁ irriducibile o puoÁ essere scritto in modo unico come prodotto di fattori irriducibili.

ATTENZIONE!

Se moltiplichi tra loro i fattori in cui hai scomposto il polinomio iniziale, otterrai il polinomio stesso.

2 3x2‡ 6xy ÿ 12x3‡ 3x.

Possiamo scrivere il polinomio nel modo seguente:

3x1 x‡3x1 2yÿ3x1 4x2_‡3x11

Il fattore comune eÁ 3x, quindi:

3x2_{‡ 6xy ÿ 12x}3_{‡ 3x ˆ 3x…x ‡ 2y ÿ 4x}2_{‡ 1†}

3 7…x ‡ y† ÿ a…x ‡ y†

I due addendi hanno come fattore comune …x ‡ y†, quindi: 7…x ‡ y† ÿ a…x ‡ y† ˆ …x ‡ y†…7 ÿ a†

4 …a ÿ b†x ‡ …b ÿ a†y

Mettendo in evidenza il segno ÿ nel secondo addendo ed effettuando successivamente un raccoglimento totale, otteniamo:

…a ÿ b†x ‡ …b ÿ a†y ˆ …a ÿ b†x ÿ …a ÿ b†y ˆ …a ÿ b†…x ÿ y†

3.

Scomposizione mediante

raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio ax ‡ bx ‡ ay ‡ by.

Osserviamo che non esiste alcun fattore (diverso da 1) comune a tutti i ter-mini del polinomio, quindi non eÁ possibile eseguire un raccoglimento totale. Tuttavia, osservando che i primi due termini hanno in comune il fattore x e gli ultimi due il fattore y, possiamo eseguire un raccoglimento tra i primi due termini e un raccoglimento tra il terzo e il quarto:

…ax ‡ bx† ‡ …ay ‡ by† ˆ x…a ‡ b† ‡ y…a ‡ b†

I due addendi dell'espressione ottenuta hanno in comune il fattore …a ‡ b†, che puoÁ pertanto essere raccolto:

x…a ‡ b† ‡ y…a ‡ b† ˆ …a ‡ b†…x ‡ y†

Questo metodo di scomposizione eÁ detto raccoglimento parziale.

ESEMPI

Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi effettuando dei raccoglimenti parziali.

1 4xb ÿ ay ÿ 4yb ‡ ax

Abbiamo:

fattore comune: 4b

4xb ÿ ay ÿ 4yb ‡ ax ˆ 4b…x ÿ y† ‡ a…x ÿ y† ˆ …x ÿ y†…4b ‡ a†

fattore comune: a fattore comune x ÿ y

2 3ax ÿ 9ay ÿ x2‡ 3xy

Raccogliendo 3a tra i primi due termini e ÿx tra gli altri due, abbiamo:

3ax ÿ 9ay ÿ x2_{‡ 3xy ˆ 3a…x ÿ 3y† ÿ x…x ÿ 3y†}

Raccogliendo successivamente il fattore …x ÿ 3y†, otteniamo:

3ax ÿ 9ay ÿ x2_{‡ 3xy ˆ …x ÿ 3y†…3a ÿ x†}

3 3bx ‡ by ÿ y ÿ 3x ˆ fattori comuni: b tra i primi due

termi-ni e ÿ1 tra gli ultimi due ˆ b…3x ‡ y† ÿ 1…3x ‡ y† ˆ fattore comune: (3x ‡ y† ˆ …3x ‡ y†…b ÿ 1† . . . . . . ATTENZIONE!

Occorre fare molta attenzione a non commettere il grave errore di tralasciare il quoto parziale 1 nella

scomposizione in fattori. Infatti, se si raccoglie un fattore in una somma, l'espressione in parentesi deve contenere lo stesso numero di termini della somma iniziale. ATTENZIONE!

…b ÿ a† ˆ ÿ…a ÿ b† In generale, quando si raccoglie il segno ÿ tra due o piuÁ termini, si scrivono tali termini tra parentesi con i segni cambiati.

ATTENZIONE!

Il raccoglimento parziale eÁ utile solo se consente, alla fine, un raccoglimento totale che fattorizzi il polinomio.

ATTENZIONE!

Avremmo potuto scomporre anche raccogliendo in quest'altro modo:

x…4b ‡ a† ÿ y…4b ‡ a† ˆ ˆ …4b ‡ a†…x ÿ y†

TEORIA

4.

Scomposizione mediante

prodotti notevoli

Questo metodo consiste nel riconoscere se il polinomio da scomporre sia lo sviluppo di un prodotto notevole.

AA

Differenza di due quadrati

A2_{ÿ B}2_{ˆ …A ‡ B† 1 …A ÿ B†}

ESEMPI

1 9x2ÿ 4y2 ˆ …3x†2ÿ …2y†2 ˆ …3x ‡ 2y†…3x ÿ 2y†

A2 _{ÿ B}2 _{ˆ …A ‡ B† 1 …A ÿ B†} 2 x4_{ÿ y}4_{ˆ …x}2_{‡ y}2_†…x2_{ÿ y}2_{† ˆ …x}2_{‡ y}2_{†…x ‡ y†…x ÿ y†} 3 1 9 x4ÿ 16y2ˆ  1 3 x2 2 ÿ …4y†2 ˆ 1₃ x2_{‡ 4y} 1 3 x2ÿ 4y  4 …a ÿ 2b†2ÿ 9b2

Si tratta di una differenza di due quadrati le cui basi sono …a ÿ 2b† e 3b: Otteniamo:

…a ÿ 2b†2ÿ 9b2 _{ˆ …a ÿ 2b ‡ 3b† 1 …a ÿ 2b ÿ 3b† ˆ …a ‡ b†…a ÿ 5b†}

A2 _{ÿ B}2 _{ˆ …A ‡ B† 1 …A ÿ B†}

AA

Trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio

A2_{‡ 2AB ‡ B}2_{ˆ …A ‡ B†}2

ESEMPI

1 9x2‡ 12xy ‡ 4y2ˆ …3x†2‡ 2…3x†…2y† ‡ …2y†2ˆ …3x ‡ 2y†2

A2 _{‡ 2A 1 B ‡ B}2 _{ˆ …A ‡ B†}2

2 4x2ÿ 12xy ‡ 9y2ˆ …2x†2‡ 2…2x†…ÿ3y† ‡ …ÿ3y†2ˆ …2x ÿ 3y†2

oppure:

4x2_{ÿ 12xy ‡ 9y}2_{ˆ …ÿ2x†}2_{‡ 2…ÿ2x†…3y† ‡ …3y†}2 _{ˆ …ÿ2x ‡ 3y†}2

AA

Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio

A2_{‡ B}2_{‡ C}2_{‡ 2AB ‡ 2AC ‡ 2BC ˆ …A ‡ B ‡ C†}2

ESEMPI

1 a2‡ 1 ‡ b2‡ 2a ‡ 2ab ‡ 2b ˆ …a ‡ 1 ‡ b†2

2 9a4_{‡ 4b}4_{‡ 1 ÿ 12a}2_b2_{‡ 6a}2_{ÿ 4b}2_ˆ

ˆ …3a2_†2_{‡ …ÿ2b}2_†2_{‡ 1}2_{‡ 2…3a}2_†…ÿ2b2_{† ‡ 2…3a}2_{† 1 1 ‡ 2…ÿ2b}2_{† 1 1 ˆ}

ˆ …3a2_{ÿ 2b}2_{‡ 1†}2

ATTENZIONE!

Le basi A e B sono monomi o, eventualmente, polinomi. ATTENZIONE!

9x2_{ÿ 4y}2_ˆ

ˆ …ÿ3x ÿ 2y†…ÿ3x ‡ 2y† In tutti gli esempi successivi considereremo sempre positivi i coefficienti delle basi di A2_{e di B}2_. ATTENZIONE! OA2ÿ B26ˆ …A ÿ B†2 OA2‡B26ˆ…A‡B†…AÿB† ATTENZIONE! A2_{ÿ 2AB ‡ B}2_ˆ ˆ …A ÿ B†2_{ˆ …B ÿ A†}2 ATTENZIONE!

Il polinomio dell'esempio 2 eÁ fattorizzabile anche nel modo seguente:

AA

Quadrinomio scomponibile nel cubo di un binomio

A3_{‡ 3A}2_{B ‡ 3AB}2_{‡ B}3_{ˆ …A ‡ B†}3

ESEMPIO

Scomponiamo in fattori il polinomio 8x3_{‡ 12x}2_{‡ 6x ‡ 1.}

Il primo e l'ultimo termine sono, rispettivamente, il cubo di 2x e il cubo di 1, mentre gli altri due termini sono il triplo prodotto del quadrato di 2x per 1 e il triplo prodotto di 2x per il quadrato di 1, cioeÁ:

8x3_{‡ 12x}2_{‡ 6x ‡ 1 ˆ …2x†}3_{‡ 3…2x†}2_{1 1 ‡ 3…2x† 1 1}2_{‡ 1}3_{ˆ …2x ‡ 1†}3

A3 _{‡ 3A}2 _{1 B ‡ 3A 1 B}2_{‡ B}3_{ˆ …A ‡ B†}3

5.

Scomposizione della somma

e della differenza di due cubi

Ricordiamo ora due uguaglianze notevoli ricavate nell'unitaÁ 6 del volume 1.

A3_{‡ B}3_{ˆ …A ‡ B†…A}2_{ÿ AB ‡ B}2_{† A}3_{ÿ B}3_{ˆ …A ÿ B†…A}2_{‡ AB ‡ B}2_†

ESEMPI 1 a3‡ 27 ˆ …a ‡ 3†…a2 ÿ 3a ‡ 9† A3 _{‡ B}3_{ˆ …A ‡ B†…A}2_{ÿ AB ‡ B}2_† 2 27a6_ÿ 1 8 ˆ  3a2_ÿ 1 2  9a4‡ 3₂ a2‡ 1₄

3 …2a ‡ b†3‡ 64a3ˆ …2a ‡ b†3‡ …4a†3ˆ

ˆ …2a ‡ b ‡ 4a†‰…2a ‡ b†2ÿ 4a…2a ‡ b† ‡ …4a†2Š ˆ

ˆ …6a ‡ b†…4a2_{‡ 4ab ‡ b}2_{ÿ 8a}2_{ÿ 4ab ‡ 16a}2_{† ˆ …6a ‡ b†…12a}2_{‡ b}2_†

4 a6_{ÿ b}6_{ˆ …a}2_†3_{ÿ …b}2_†3_{ˆ …a}2_{ÿ b}2_†…a4_{‡ a}2_b2_{‡ b}4_{† ˆ}

ˆ …a ‡ b†…a ÿ b†…a4_{‡ a}2_b2_{‡ b}4_†

oppure:

a6_{ÿ b}6_{ˆ …a}3_†2_{ÿ …b}3_†2_{ˆ …a}3_{‡ b}3_†…a3_{ÿ b}3_{† ˆ}

ˆ …a ‡ b†…a2_{ÿ ab ‡ b}2_{†…a ÿ b†…a}2_{‡ ab ‡ b}2_†

FOCUS

L'esempio 4 suggerisce la seguente considerazione:

Oa6‡ b6ˆ …a3†2‡ …b3†2

irriducibile (se considerato come somma di due quadrati)

Oa6‡ b6ˆ …a2†3‡ …b2†3ˆ …a2‡ b2†…a4ÿ a2b2‡ b4†

riducibile (se considerato come somma di due cubi)

ATTENZIONE! 8x3_{ÿ 12x}2_{‡ 6x ÿ 1 ˆ} ˆ …2x ÿ 1†3 ATTENZIONE! OI fattori …A2_{ÿ AB ‡ B}2_† e …A2_{‡ AB ‡ B}2_{† sono}

detti falsi quadrati perche assomigliano (ma non lo sono!) allo sviluppo dei quadrati dei binomi …A ÿ B†2_{e …A ‡ B†}2_.

In tali trinomi compare infatti il prodotto (e non il doppio prodotto!) delle basi A e B.

I falsi quadrati sono trinomi di secondo grado irriducibili (avrai gli «strumenti» per dimostrarlo piuÁ avanti).

OA3_{‡ B}3_{6ˆ …A ‡ B†}3

A3_{ÿ B}3_{6ˆ …A ÿ B†}3

TEORIA

6.

Scomposizione di trinomi notevoli

di secondo grado

Un trinomio del tipo x2_{‡ …a ‡ b†x ‡ ab, cioeÁ un trinomio di secondo grado}

in una variabile, in cui il primo coefficiente eÁ uguale a 1 e il secondo coeffi-ciente eÁ la somma di due numeri il cui prodotto eÁ uguale al termine noto, si dice trinomio notevole.

Un trinomio di questo tipo si puoÁ scomporre nel modo seguente:

x2‡ …a ‡ b†x ‡ ab ˆ x2‡ ax ‡ bx ‡ ab ˆ x…x ‡ a† ‡ b…x ‡ a† ˆ …x ‡ a†…x ‡ b†

Vale, quindi, la seguente regola generale.

ARegola

Dato un trinomio di secondo grado x2_{‡ sx ‡ p, se esistono due numeri a e b}

tali che a ‡ b ˆ s e a 1 b ˆ p, allora vale la seguente uguaglianza: x2_{‡ sx ‡ p ˆ …x ‡ a†…x ‡ b†}

ESEMPIO

Scomponiamo in fattori il polinomio x2_{ÿ 5x ‡ 6.}

Per fattorizzarlo, procediamo nel modo seguente.

1. Cerchiamo due numeri il cui prodotto sia‡6e la cui somma siaÿ5.

Essendo il prodotto positivo, i due numeri che stiamo cercando devono essere concordi (entrambi positivi o entrambi negativi), ma, poiche la loro somma eÁ negativa, i due numeri devono essere concordi negativi. 2. Valutiamo le alternative possibili.

I numeri concordi negativi che, moltiplicati fra loro, danno ‡ 6 sono:

Oÿ1 e ÿ6, e la loro somma eÁ ÿ7;

Oÿ2 e ÿ3, e la loro somma eÁ ÿ5.

Dunque ÿ2 e ÿ3 sono i numeri che stiamo cercando. 3. Scriviamo il trinomio come prodotto di fattori. Il trinomio corrisponde a:

…x ‡ primo numero†…x ‡ secondo numero) cioeÁ:

…x ÿ 2†…x ÿ 3†. Infatti, si ha:

…x ÿ 2†…x ÿ 3† ˆ x2_{ÿ 2x ÿ 3x ‡ 6 ˆ x}2_{ÿ 5x ‡ 6.}

Un trinomio di secondo grado che non eÁ notevole poiche il coefficiente del termine di secondo grado eÁ diverso da 1, eÁ riducibile nel caso in cui esista-no due numeri la cui somma s sia uguale al coefficiente del termine di pri-mo grado e il cui prodotto p sia uguale al prodotto del coefficiente del ter-mine di secondo grado per il terter-mine noto.

La scomposizione di un trinomio di questo tipo si effettua sdoppiando il termine di primo grado ed eseguendo opportuni raccoglimenti.

Illustriamo il procedimento con un esempio.

ATTENZIONE!

Applicheremo l'uguaglianza: x2_{‡ …a ‡ b†x ‡ ab ˆ}

ˆ …x ‡ a†…x ‡ b† solo nel caso in cui a e b siano numeri interi relativi.

ESEMPIO

Scomponiamo il trinomio 2x2_{‡ 5x ‡ 3.}

Cerchiamo due numeri il cui prodotto sia pˆ213ˆ‡6 e la cui somma sia sˆ‡5.

Osserviamo che, poiche il prodotto eÁ positivo, i due numeri devono es-sere concordi, e, poiche anche la somma eÁ positiva, i due numeri devo-no essere concordi positivi.

I numeri concordi positivi cercati sono2 e3.

Riscriviamo allora il trinomio nella forma

2x2‡2x_{|‚‚‚{z‚‚‚}}‡3x‡3

5x

Scomponiamo quindi il polinomio ottenuto mediante opportuni racco-glimenti.

Raccogliendo 2x fra i primi due termini e 3 fra gli ultimi due,

ottenia-mo: _{2x…x ‡ 1† ‡ 3…x ‡ 1† ˆ …x ‡ 1†…2x ‡ 3†}

7.

Scomposizione mediante

il teorema e la regola di Ruffini

Alcuni polinomi si possono scomporre in fattori applicando il teorema di Ruffini.

Sappiamo, infatti, che se un polinomio P…x† si annulla quando alla variabi-le x si sostituisce un numero a, allora il polinomio eÁ divisibivariabi-le per …x ÿ a†. Determinando, quindi, con la regola di Ruffini, il quoziente Q…x† della divi-sione P…x† : …x ÿ a†, poiche il resto eÁ zero, possiamo scrivere:

P…x† ˆ …x ÿ a† 1 Q…x† Abbiamo, cioeÁ, scomposto in fattori il polinomio P…x†.

Per poter applicare questo procedimento di scomposizione eÁ tuttavia neces-sario individuare gli eventuali zeri di un polinomio.

A tale scopo, enunciamo la seguente regola.

ARegola

Gli eventuali zeri di un polinomio a coefficienti interi vanno cercati tra le fra-zioni 6 p_q, dove p eÁ un divisore del termine noto e q eÁ un divisore del coeffi-ciente del termine di grado massimo.

ESEMPIO

Scomponiamo in fattori il polinomio P…x† ˆ x3_{ÿ 2x}2_{ÿ 5x ‡ 6.}

Poiche il coefficiente del termine di grado massimo eÁ 1, i possibili zeri di P…x† vanno cercati tra i divisori interi del termine noto ‡6, ossia 61, 62, 63, 66.

Verifichiamo se questi valori annullano P…x†:

P…1† ˆ 1 ÿ 2 ÿ 5 ‡ 6 ˆ 0 ! 1 eÁ uno zero di P…x†, quindi

P…x† eÁ divisibile per …x ÿ 1†

ATTENZIONE! Anche 1 1 6 ˆ 6, ma 1 ‡ 6 ˆ 7 6ˆ 5 MEMO Sia P…x† un polinomio. Se P…a† ˆ 0 si dice che a eÁ uno zero di P…x†.

ATTENZIONE!

Se il coefficiente del termine di grado massimo eÁ 1, gli eventuali zeri (interi, in questo caso) del polinomio vanno cercati tra i divisori del termine noto.

TEORIA

P…ÿ1† ˆ ÿ1 ÿ 2 ‡ 5 ‡ 6 6ˆ 0

P…2† ˆ 8 ÿ 8 ÿ 10 ‡ 6 6ˆ 0

P…ÿ2† ˆ ÿ8 ÿ 8 ‡ 10 ‡ 6 ˆ 0 ! ÿ 2 eÁ uno zero di P…x†, quindi P…x† eÁ divisibile per …x ‡ 2† Si potrebbe continuare la ricerca di un eventuale terzo zero intero ma, applicando la regola di Ruffini, lo si trova automaticamente. Pertanto, procediamo con la divisione applicando la regola di Ruffini due volte, una di seguito all'altra:

x3_{ÿ 2x}2_{ÿ 5x ‡ 6 viene diviso}

per …x ÿ 1†, il quoziente eÁ:

x2_{ÿ x ÿ 6}

che poi viene diviso per …x ‡ 2† e il quoziente eÁ: x ÿ 3

La fattorizzazione del polinomio iniziale eÁ: …x ÿ 1†…x ‡ 2†…x ÿ 3†.

8.

M.C.D. e m.c.m. di due o piuÁ polinomi

Dati due polinomi, supponiamo di essere riusciti a scomporli in fattori irriducibili: in questo caso eÁ possibile trovare il M.C.D. e il m.c.m. dei polinomi dati con le seguenti regole.

ARegola 1

Il M.C.D. di due o piuÁ polinomi scomposti in fattori irriducibili eÁ dato dal prodotto di tutti e soli i fattori comuni ai polinomi dati, ciascuno preso una sola volta e con il minimo esponente.

ARegola 2

Il m.c.m. di due o piuÁ polinomi scomposti in fattori irriducibili eÁ dato dal prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni ai polinomi dati, ciascuno preso una sola volta e con il massimo esponente.

ESEMPI

Determiniamo il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

1 2a ÿ 2 8a2ÿ 8 6a2ÿ 12a ‡ 6

Scomponiamo i polinomi in fattori:

2a ÿ 2 ˆ 2…a ÿ 1† 8a2_{ÿ 8 ˆ 8…a}2_{ÿ 1† ˆ 8…a ‡ 1†…a ÿ 1†}

6a2_{ÿ 12a ‡ 6 ˆ 6…a}2_{ÿ 2a ‡ 1† ˆ 6…a ÿ 1†}2

Applicando le regole enunciate concludiamo che:

M.C.D. ˆ 2…a ÿ 1† m:c:m: ˆ 24…a ÿ 1†2…a ‡ 1†

2 x2ÿ 6x ‡ 5 x2ÿ 7x ‡ 10 x2ÿ 2x ‡ 1

Scomponendo i polinomi in fattori, otteniamo:

x2_{ÿ 6x ‡ 5 ˆ …x ÿ 1†…x ÿ 5†}

x2_{ÿ 7x ‡ 10 ˆ …x ÿ 2†…x ÿ 5†}

x2_{ÿ 2x ‡ 1 ˆ …x ÿ 1†}2

Il M.C.D. eÁ 1, mentre il m.c.m. eÁ …x ÿ 1†2…x ÿ 2†…x ÿ 5†.

1 1 ÿ2 ÿ5 1 ÿ1 6 ÿ6 ÿ2 1 ÿ1 ÿ2 ÿ6 ‡6 0 1 ÿ3 0 ATTENZIONE! Come puoi osservare dall'esempio, non tutti i divisori del termine noto sono zeri del polinomio.

ATTENZIONE!

Avremmo potuto scomporre il trinomio x2_{ÿ x ÿ 6}

applicando la regola enunciata per il trinomio notevole di secondo grado.

ATTENZIONE! Se le scomposizioni dei polinomi dati non contengono fattori irriducibili comuni, si ha M:C:D: ˆ 1.

MEMO

Le definizioni di M.C.D. e m.c.m. fra polinomi sono analoghe a quelle enunciate per i monomi.

S.O.S.

Sintesi

Scomporre in fattori un polinomio significa trasformarlo, quando eÁ possibile, nel prodotto di due o piuÁ polinomi di grado minore (tra i fattori puoÁ esservi anche un monomio).

Un polinomio si dice:

O riducibile, quando eÁ scomponibile in fattori; O irriducibile, in caso contrario.

O Il polinomio …x2ÿ 4† eÁ riducibile, essendo: …x2_{ÿ 4† ˆ …x ‡ 2† 1 …x ÿ 2†}

O Il polinomio …x2‡ 4† eÁ irriducibile Se tutti i termini di un polinomio contengono un fattore

comune (in generale il M.C.D. dei termini del polinomio stesso), il polinomio puoÁ essere scritto come prodotto di tale fattore comune per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio dato per il fattore stesso.

O Scomponiamo il polinomio 3x6ÿ 12x4_{‡ 9x}3_.

Poiche il M.C.D. dei termini del polinomio eÁ 3x3_{, si ha:}

3x6_{ÿ 12x}4_{‡ 9x}3_{ˆ 3x}3_{1 …x}3_{ÿ 4x ‡ 3†}

O Scomponiamo il polinomio 2a…a ÿ b† ‡ …a ÿ b†2. In questo caso il fattore comune eÁ …a ÿ b†. Quindi:

2a…a ÿ b† ‡ …a ÿ b†2_{ˆ …a ÿ b† 1 ‰2a ‡ …a ÿ b†Š ˆ}

ˆ …a ÿ b†…3a ÿ b† Si effettuano dei raccoglimenti tra gruppi di termini del

polinomio dato, in modo che, successivamente, sia possibile effettuare un raccoglimento totale.

O Scomponiamo il polinomio ab ÿ ac ‡ 2b ÿ 2c: ab ÿ ac |‚‚‚{z‚‚‚} mettiamo in evidenza il fattore comune a ‡ 2b ÿ 2c_{|‚‚‚‚{z‚‚‚‚}} mettiamo in evidenza il fattore comune 2 ˆ ˆ a 1 …b ÿ c† ‡ 2 1 …b ÿ c†_{|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}} mettiamo in evidenza il fattore comune …bÿc† ˆ …b ÿ c† 1 …a ‡ 2†

A2_{ÿ B}2_{ˆ …A ‡ B† 1 …A ÿ B† O Scomponiamo il binomio 9x}4_{ÿ 16y}2_:

9x4_{ÿ 16y}2_{ˆ …3x}2_†2_{ÿ …4y†}2_{ˆ …3x}2_{‡ 4y† 1 …3x}2_{ÿ 4y†}

A2_{‡ 2AB ‡ B}2_{ˆ …A ‡ B†}2

A2_{ÿ 2AB ‡ B}2_{ˆ …A ÿ B†}2

O Scomponiamo il trinomio 9x2‡ 12xy ‡ 4y2_:

9x2 |{z} …3x†2 ‡ _|‚{z‚}12xy 2 1 …3x† 1 2y ‡ 4y2 |{z} …2y†2 ˆ …3x ‡ 2y†2 O 9x2_{ÿ 12xy ‡ 4y}2_{ˆ …3x ÿ 2y†}2 A2_‡B2_‡C2_{‡2AB‡2AC‡2BCˆ} ˆ …A ‡ B ‡ C†2 O Scomponiamo il polinomio

x2_{‡ 4y}2_{‡ 9a}2_{‡ 4xy ‡ 6ax ‡ 12ay:}

x2 |{z} x2 ‡ 4y2 |{z} …2y†2 ‡ 9a2 |{z} …3a†2 ‡ 4xy_|{z} 2 1 x…2y† ‡ 6ax_|{z} 2 1 x…3a† ‡ 12ay_|‚{z‚} 2…2y†…3a† ˆ ˆ …x ‡ 2y ‡ 3a†2 SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RACCOGLIMENTO TOTALE SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RACCOGLIMENTO PARZIALE SCOMPOSIZIONE MEDIANTE PRODOTTI NOTEVOLI DIFFERENZA DI DUE QUADRATI TRINOMI O SCOMPONIBI LE NEL QUADRATO DI UN BINOMIO POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO SCOMPOSIZIONE DIUN POLINOMIO IN FATTORI ESERCIZI

A3_{‡ 3A}2_{B ‡ 3AB}2_{‡ B}3_{ˆ …A ‡ B†}3 _{O Scomponiamo il polinomio x}3_{‡ 6x}2_{y ‡ 12xy}2_{‡ 8y}3_: x3 |{z} x3 ‡ 6x2_y |‚{z‚} 3x2_2y† ‡ 12xy2 |‚‚{z‚‚} 3x…2y†2 ‡ 8y3 |{z} …2y†3 ˆ …x ‡ 2y†3 A3_{‡ B}3_{ˆ …A ‡ B† 1 …A}2_{ÿ AB ‡ B}2_† A3_{ÿ B}3_{ˆ …A ÿ B† 1 …A}2_{‡ AB ‡ B}2_† O Scomponiamo il binomio 27x3‡ 8y3_: 27x3 |‚{z‚} …3x†3 ‡ 8y3 |{z} …2y†3 ˆ …3x ‡ 2y† 1 …9x2_{ÿ 6xy ‡ 4y}2_† O 27x3ÿ 8y3_{ˆ …3x ÿ 2y† 1 …9x}2_{‡ 6xy ‡ 4y}2_† O x2_{‡ …a ‡ b†x ‡ a 1 b ˆ …x ‡ a†…x ‡ b†}

O Se il trinomio da scomporre eÁ del tipo

ax2_{‡ bx ‡ c, con a 6ˆ 1, occorre determinare due}

numeri tali che, detta s la loro somma e p il loro prodotto, sia:

s ˆ b e p ˆ a 1 c

e procedere come nell'esempio a fianco.

O Scomponiamo il trinomio x2_{‡ 8x ‡ 15:} x2_{‡ 8} |{z} …3 ‡ 5† x ‡ 15_|{z} …3 1 5† ˆ …x ‡ 3†…x ‡ 5† O Scomponiamo il trinomio 2x2‡ 5x ÿ 3: 2x2_{‡ 5x ÿ 3} |‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚} p ˆ ÿ6 s ˆ 5 E

! i numeri cercati sono ‡ 6 e ÿ1 ˆ 2x2_{‡ 6x ÿ x ÿ 3 ˆ 2x…x ‡ 3† ÿ 1…x ‡ 3† ˆ}

ˆ …x ‡ 3†…2x ÿ 1† Per scomporre un polinomio P…x† applicando il

teorema e la regola di Ruffini:

O si cerca uno zero c del polinomio, ossia un numero c tale che P…c† ˆ 0;

O si determina, applicando la regola di Ruffini, il quoziente Q…x† della divisione tra P…x† e il binomio …x ÿ c†.

La scomposizione in fattori di P…x† saraÁ: P…x† ˆ …x ÿ c† 1 Q…x†

O Scomponiamo il polinomio x3_{‡ 2x}2_ÿ3:

Posto P…x† ˆ x3_{‡ 2x}2_{ÿ 3, poiche P…1† ˆ 0, si ha:}

Quindi la scomposizione del polinomio iniziale eÁ: x3_{‡ 2x}2_{ÿ 3 ˆ …x ÿ 1†…x}2_{‡ 3x ‡ 3†}

O Il M.C.D. di due o piuÁ polinomi scomposti in fattori irriducibili eÁ dato dal prodotto di tutti e soli i fattori comuni ai polinomi dati, ciascuno preso una sola volta e con il minimo esponente.

O Il m.c.m. di due o piuÁ polinomi scomposti in fattori irriducibili eÁ dato dal prodotto di tutti i fattori, comuni e non comuni ai polinomi dati, ciascuno preso una sola volta e con il massimo esponente.

O Dati i polinomi: x3_{‡ 2x}2 _x2_{ÿ 4 x}2_{‡ 4x ‡ 4} poicheÂ: x3_{‡ 2x}2_{ˆ x}2_{x ‡ 2†} x2_{ÿ 4 ˆ …x ‡ 2† …x ÿ 2†} x2_{‡ 4x ‡ 4 ˆ …x ‡ 2†}2 si ha: M.C.D. ˆ x ‡ 2; m.c.m. ˆ x2_{x ÿ 2†…x ‡ 2†}2 1 2 0 ÿ3 1 1 3 3 1 3 3 0 ! Q…x† ˆ x2_{‡ 3x ‡ 3}

SCOMPOSIZIONE MEDIANTE PRODOTTI NOTEVOLI

MASSIMO COMUN DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO DI DUE O PIU Á POLINOMI SCOMPOSIZIONE MEDIANTE IL TEOREMA E LA REGOLA DI RUFFINI SCOMPOSIZIONE DI TRINOMI NOTEVOLI DI SECONDO GRADO SCOMPOSIZIONE DELLA SOMMA E DELLA DIFFERENZA DI DUE CUBI

QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL

CUBO

DI

UN

Scomposizione mediante raccoglimento totale

START

1 Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo nel ...di due o piuÁ polinomi

di grado...

Quando questo eÁ possibile, il polinomio si dice...; in caso contrario si dice...

2 Il fattore che si mette in evidenza quando si effettua un raccoglimento a fattor comune eÁ, di

so-lito, il...dei termini del polinomio da scomporre.

Ad esempio, per scomporre il polinomio 2a2_x3_{y ÿ 4ax}3_y3_{ÿ 8a}4_x2_y4 _{mediante raccoglimento}

to-tale, mettiamo in evidenza il fattore...

GO!

ESERCIZIO SVOLTO

3 _{Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi mediante raccoglimenti totali.}

a) 7a2_x2_{ÿ 3a}3_x2_{ÿ 1}

2 a2x

Il M.C.D. dei termini del polinomio eÁ: a2_x.

Ora, essendo: 7a2x2: a2x ˆ 7x, ÿ 3a3x2: a2x ˆ ÿ3ax, ÿ 1₂ a2x : a2x ˆ ÿ 1₂

otteniamo: 7a2x2ÿ 3a3x2ÿ 1₂ a2x ˆ a2x7x ÿ 3ax ÿ 1₂.

b) 2₃ a2_x3_{‡ 4}

15a4x5ÿ 821 ax3

In questo caso il M.C.D. tra i termini del polinomio eÁ: ax3_{. Osserviamo, tuttavia, che tra i}

coefficienti dei termini del polinomio eÁ possibile mettere in evidenza la frazione che ha per: ± numeratore il M.C.D. dei numeratori, ossia 2;

± denominatore il M.C.D. dei denominatori, ossia 3.

Pertanto, abbiamo: 2₃ a2_x3_{‡ 4} 15 a4x5ÿ 821ax3ˆ 23 ax3  a ‡ 2₅ a3_x2_{ÿ 4} 7  . ESERCIZIO GUIDATO

4 _{Scomponi in fattori i seguenti polinomi mediante raccoglimenti totali.}

a) ÿ12a2_x3_y5_{ÿ 24ax}4_y3_{ÿ 15a}4_x2_y4_{ˆ ÿ3ax}:::::::_y:::::::_{1 …:::::::axy::::::::::::::8x}:::::::_‡:::::::a:::::::_y†

b) 7a2_b3_{c ÿ 14}

3 a5b2ÿ 21ac2‡ 145 abc ˆ 7:::::::1 …ab:::::::c ÿ 23 a:::::::b:::::::ÿ:::::::c:::::::‡

::::::: 5 b:::::::† Completa. 5 a) 7a2_{‡ 7b}2_{ˆ 7…:::::::‡:::::::† ÿ3a}2_{ÿ 3b}2_{ˆ ÿ3…:::::::‡:::::::†} b) ÿ2a ‡ 6b ˆ ÿ2…:::::::ÿ:::::::† ÿ5x2y ‡ 25x ˆ ÿ5x…::::::::::::::† 6 a) 2x3ÿ 3x2‡ x ˆ x…:::::::ÿ:::::::‡:::::::† x2y ‡ xy2‡ xy ˆ xy…::::::::::::::::::::::::::::† b) ab2_{ÿ b}3_{ÿ b}2_{ˆ ÿb}2_{::::::::::::::::::::::::::::†} 2 3 t3ÿ 45 t2‡ 67 t ˆ 2t…::::::::::::::::::::::::::::† ESERCIZI

7 a) x ‡ x ˆ x …:::† ab ÿ b ˆ b …:::† b) 2a2_b5_{ÿ 3a}2_b4_{‡ 4a}4_b4_{ˆ a}2_b4 _:::† 8 a) a7ÿ 1₂ a8ÿ 2₃ a6‡ a5 ˆ a5 …:::† b) 2x2_y3_{ÿ 1} 2 x3y2ÿ 23 x3y3ˆ x2y2 …:::† 9 z5ÿ 1 2 z3ÿ 23 z4ˆ z3 …:::†

Scomponi i seguenti polinomi mediante raccoglimenti totali.

10 45a2b ÿ 15a3b2ÿ 5a2 2x3y ÿ 4x4y ÿ 6x2y ‰5a2…9b ÿ 3ab2ÿ 1†; 2x2y…x ÿ 2x2ÿ 3†Š

11 x3‡ x xy ÿ 7y a ÿ ab x ‡ 2xy ‰x…x2‡ 1†; y…x ÿ 7†; a…1 ÿ b†; x…1 ‡ 2y†Š

12 x2y ÿ xy 4xy ‡ 2y 2x3ÿ 4x ‰xy…x ÿ 1†; 2y…2x ‡ 1†; 2x…x2ÿ 2†Š

13 4x5_{y ‡ 2xy}2 _{3 ÿ 9y}2 _2x3_{y ÿ 2x}5_{‡ 2x}2 _‰2xy…2x4_{‡ y†; 3…1 ÿ 3y}2_{†; 2x}2_{xy ÿ x}3_{‡ 1†Š}

14 ÿa2b2‡ 2a2b3‡ ab4 ÿ a3b ‡ 2a4b2 a6b

3 ÿ 3a3b3‡ a

2_b2

2

h

ab2_{ÿa ‡ 2ab ‡ b}2_{†; a}3_{b…ÿ1 ‡ 2ab†; a}2_b 1

3 a4ÿ 3ab2‡ 12 b i 15 ÿ 4₃ a5_{‡ 8} 5 a5y3‡ a4 12 x10y2ÿ 2x6y4‡ 16 x6y5 2a2bc3ÿ 8a3bc2‡ 4ac2 h ÿ a4 4 3 a ÿ 85 ay3ÿ 1  ; ÿ x6_y2_{ÿ 1} 2 x4‡ 2y2ÿ 16 y3  ; 2ac2_{abc ÿ 4a}2_{b ‡ 2}i

16 3a2_{b ÿ ab}2_{‡ abc 2a}3_{b ÿ 4a}2_b2_{‡ 4ab}3 _{ÿ 2ab}3_{‡ 2a}2_{b ÿ 6a}2_b2

‰ab…3a ÿ b ‡ c†; 2ab…a2_{ÿ 2ab ‡ 2b}2_{†; 2ab…ÿb}2_{‡ a ÿ 3ab†Š}

17 7a5b4ÿ 7a4b4‡ 14a4b5 12x2y4ÿ 8x4y2z ‡ 4x8y4z6

‰7a4_b4_{a ÿ 1 ‡ 2b†; 4x}2_y2_3y2_{ÿ 2x}2_{z ‡ x}6_y2_z6_†Š

18 ÿ4x4a2b6‡ 12x6a4b2ÿ 16x4a6b8 2

3 x_h5y ÿ 43 x3y4‡ 13 x2y3

ÿ 4x4_a2_b2_b4_{ÿ 3x}2_a2_{‡ 4a}4_b6_{†; 1}

3 x2y…2x3ÿ 4xy3‡ y2† i

19 4xy2‡ 4x2y ÿ 4x2y2 3x3y ‡ x2y ‡ xy ‰4xy…y ‡ x ÿ xy†; xy…3x2‡ x ‡ 1†Š

20 3a3b4‡ 6a2b6ÿ 9a4b3‡ 12a3b2 ‰3a2b2…ab2‡ 2b4ÿ 3a2b ‡ 4a†Š

21 3 10 a3b2‡ 32 ab4ÿ 120 a4b3 ax2‡ a2x ÿ a3x2 h 12 ab2 35 a2‡ 3b2ÿ 110 a3b  ; ax…x ‡ a ÿ a2_x†i 22 xy ‡ x2y ÿ 2xy2 ÿ 9 25 a6b3c ‡ 275 a5b2c3ÿ 6a5_hb3c xy…1 ‡ x ÿ 2y†; a5_b2_c_{ÿ 9} 25ab ‡ 275 c2ÿ 6b i

23 12axy ‡ 6ax2_y2_{ÿ 2axy}2_{‡ 4ax}3_y3 6 5 a2b2ÿ 35_ha3b3ÿ 125 ab2 2axy…6 ‡ 3xy ÿ y ‡ 2x2_y2_{†; 3} 5 ab2…2a ÿ a2b ÿ 4† i 24 3x2y4ÿ 6xy ‡ 9x2ÿ 12x3y2 2 3 xy ÿ 43_hx2y2‡ 827x2 3x…xy4_{ÿ 2y ‡ 3x ÿ 4x}2_y2_{†; 2} 3 x  y ÿ 2xy2_{‡ 4} 9 x i

25 7ax2_{y ÿ 49ax}3_y2_{ÿ 28a}3_x2_y3_{‡ 14a}2_x4_y5_{ÿ 21ax}5 _‰7ax2_{y ÿ 7xy}2_{ÿ 4a}2_y3_{‡ 2ax}2_y5_{ÿ 3x}3_†]

26 25xy2ÿ 5x3y ‡ 10xy ÿ 5x3y2 ‰5xy…5y ÿ x2‡ 2 ÿ x2y†Š

27 3 10 a2b7c4‡ 25 a2b2c2ÿ 425 a3b6c ‡ 715ab2c3 h 15 ab2c 32 ab5c3‡ 2ac ÿ 45 a2b4‡ 73 c2 i 28 2m2p3ÿ 4 7 mp2ÿ 85 m3p5ÿ mp h mp2mp2_{ÿ 4} 7 p ÿ 85 m2p4ÿ 1 i

29 8a4x4ÿ 12a5x3‡ 16a3x3ÿ 28ax2ÿ 32a2x ‰4ax…2a3x3ÿ 3a4x2‡ 4a2x2ÿ 7x ÿ 8a†Š

30 35

2 x8ÿ 143 x3‡ 2116 18a2x2ÿ 12ax ‡ 24x3

h

7 5₂ x8ÿ 2₃ x3‡ 3₁₆; 6x…3a2x ÿ 2a ‡ 4x2†i

31 18a2b4x3ÿ 36a3b3x2‡ 27ax2ÿ 81bx4 ‰9x2…2a2b4x ÿ 4a3b3‡ 3a ÿ 9bx2†Š

32 0,5 a4ÿ 0,7a2x ‡ 0,8a3x2 h 1 9 a2…5a2ÿ 7x ‡ 8ax2† i 33 0,2 b5x3ÿ 0,6b2x4‡ 0,8bx6ÿ 0,1x7 h 1 10x3…2b5ÿ 6b2x ‡ 8bx3ÿ x4† i ESERCIZIO SVOLTO

34 _{Scomponiamo il polinomio x}2_{x ÿ 3y† ‡ 5x…x ÿ 3y†}2_{ÿ 6x…x ÿ 3y† mettendo in evidenza i}

fat-tori comuni.

Osserviamo che i fattori comuni ai termini del polinomio sono: x e …x ÿ 3y†. Mettiamo in evi-denza tali fattori:

x2_{x ÿ 3y† ‡ 5x…x ÿ 3y†}2_{ÿ 6x…x ÿ 3y† ˆ x…x ÿ 3y†‰x ‡ 5…x ÿ 3y† ÿ 6Š}

Eseguiamo i calcoli dentro la parentesi quadra e riduciamo gli eventuali termini simili: x…x ÿ 3y†‰x ‡ 5x ÿ 15y ÿ 6Š ˆ x…x ÿ 3y†…6x ÿ 15y ÿ 6†

Osserviamo ora che i termini del polinomio …6x ÿ 15y ÿ 6† hanno come fattore comune 3; mettendo in evidenza tale fattore e applicando, poi, la proprietaÁ commutativa della moltiplica-zione, otteniamo:

x…x ÿ 3y† 1 3 1 …2x ÿ 5y ÿ 2† ˆ 3x…x ÿ 3y†…2x ÿ 5y ÿ 2†

ESERCIZIO GUIDATO

35 _{Scomponi il seguente polinomio mettendo in evidenza i fattori comuni.}

…x ‡ y†2ÿ 3y…x ‡ y† ‡ 4x…x ‡ y† ˆ

ˆ …:::::::‡:::::::†‰…x ‡ y†:::::::3y ‡:::::::Š ˆ …x ‡ y†…:::::::‡ y:::::::3y ‡:::::::† ˆ

ˆ …x ‡ y†…:::::::x:::::::2y†

ESERCIZI

36 5x…x ÿ 1† ÿ 10y…1 ÿ x† 2x…x ‡ 1† ÿ 4…x ‡ 1† ‰5…x ÿ 1†…x ‡ 2y†; 2…x ‡ 1†…x ÿ 2†Š

37 x…a ‡ b† ‡ y…a ‡ b† a…b ‡ c† ÿ d…b ‡ c† ‰…x ‡ y†…a ‡ b†; …a ÿ d†…b ‡ c†Š

38 …a ÿ b†3ÿ …a ÿ b†2 5…x ÿ 1†…x ‡ 1† ÿ 25…x ‡ 1† ‰…a ÿ b†2…a ÿ b ÿ 1†; 5…x ‡ 1†…x ÿ 6†Š

39 …x ‡ y†a2‡ …x ‡ y†a ‡ …x ‡ y† …2a ÿ 3b†…x ÿ y† ‡ …4a ‡ b†…x ÿ y†

‰…x ‡ y†…a2_{‡ a ‡ 1†; 2…x ÿ y†…3a ÿ b†Š}

40 2…x ‡ 2y†2ÿ 4y…x ‡ 2y† 3x…a ÿ 1† ‡ 6ax…a ÿ 1†2 ‰2x…x ‡ 2y†; 3x…a ÿ 1†…2a2ÿ 2a ‡ 1†Š

41 3…2x ÿ 1† ‡ a…2x ÿ 1† ÿ …2x ÿ 1† …2a ÿ 3†3ÿ a…2a ÿ 3†2‡ 3…2a ÿ 3†2

‰…2x ÿ 1†…a ‡ 2†; a…2a ÿ 3†2Š

42 5…5x ‡ 2y†4‡ 25…5x ‡ 2y†3x ax…x2‡ y2† ‡ ax2…x ‡ y†

‰10…5x ‡ 2y†3…5x ‡ y†; ax…2x2_{‡ xy ‡ y}2_†Š

43 a3b…3a ÿ b† ‡ ab2…3a ÿ b†2 ‰ab…3a ÿ b†…a2‡ 3ab ÿ b2†Š

44 2a…a ‡ b ÿ 2c† ‡ 3b…a ‡ b ÿ 2c† ‡ 2c…a ‡ b ÿ 2c† ‰…a ‡ b ÿ 2c†…2a ‡ 3b ‡ 2c†Š

45 3ab…a ‡ b†…a ‡ 1† ÿ 9a2b2…a ‡ b†…a ‡ 1† ‰3ab…a ‡ b†…a ‡ 1†…1 ÿ 3ab†Š

46 2a…a ‡ b†2‡ 2b…a ‡ b†2 ‰2…a ‡ b†3Š

47 2a…a ‡ b†2ÿ 2ab…a ‡ b† ‰2a2…a ‡ b†Š

48 2a…3a ‡ 5† ‡ …b ÿ 1†…3a ‡ 5† ‡ …1 ÿ b†…3a ‡ 5† ‰2a…3a ‡ 5†Š

49 2y…2x ‡ 3† ‡ …3y ÿ 2†…2x ‡ 3† ÿ …x ÿ 2†…2x ‡ 3† ‡ …3x ÿ 2y†…2x ‡ 3† ‰…2x ‡ 3†…2x ‡ 3y†Š

ACACCIA ALL'ERRORE

50 _{Nell'eseguire le seguenti scomposizioni sono stati commessi degli errori. Individuali e correggili.}

a) 16a3_{ÿ 8a}2_{‡ 2a ˆ 2a…8a}2_{ÿ 4a†}

b) a4_{x ‡ a}3_x2_{‡ a}2_x3_{‡ ax}4_{ˆ a}4_{x…1 ‡ ax ‡ a}2_x2_{‡ a}3_x3_†

c) 2…a ‡ 1†2‡ 4…a ‡ 1† ˆ 2…a ‡ 1†…a ‡ 5†

ATROVA L'INTRUSO

51 _{In quale dei seguenti trinomi non eÁ possibile eseguire un raccoglimento totale?}

a) a3_{‡ 3a}2_{‡ a b ) 2a}3_{‡ 4a}2_{‡ 6 c) a}3_{‡ 3a}2_{‡ 1}

Scomposizione mediante raccoglimento parziale

START

52 Consideriamo il polinomio 2ax ‡ 4ay ‡ 3x ‡ 6y.

Poiche il M.C.D. dei suoi termini eÁ uguale a ..., non eÁ possibile effettuare un

raccogli-mento a... Osserviamo, tuttavia, che eÁ possibile mettere in evidenza tra i

pri-mi due terpri-mini il fattore...e tra il terzo e il quarto termine il fattore...

Otteniamo in tal modo:

2ax ‡ 4ay ‡ 3x ‡ 6y ˆ:::::::…x ‡ 2y† ‡ 3…x ‡ 2y†

I raccoglimenti effettuati sono stati efficaci poiche abbiamo ottenuto un polinomio in cui eÁ

53 Nel polinomio 2ax ‡ 4ay ‡ 3x ‡ 6y avremmo potuto anche effettuare raccoglimenti ...

differenti.

Avremmo potuto, ad esempio, mettere in evidenza tra il primo e il terzo termine il fattore ...

e tra il secondo e il quarto termine il fattore...

GO!

ESERCIZIO SVOLTO

54 _{Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi mediante raccoglimenti parziali.}

a) 2ax ‡ 2bx ‡ 3ay ‡ 3by

Raccogliendo il fattore comune 2x tra i primi due termini e il fattore 3y tra gli ultimi due, otteniamo:

2x…a ‡ b† ‡ 3y…a ‡ b†

da cui, mettendo in evidenza …a ‡ b†, si ottiene la fattorizzazione del polinomio dato: …a ‡ b†…2x ‡ 3y†

Allo stesso risultato si giunge anche operando nel modo seguente:

2ax ‡ 2bx ‡ 3ay ‡ 3by ˆ a…2x ‡ 3y† ‡ b…2x ‡ 3y† ˆ …2x ‡ 3y†…a ‡ b† b) ax‡bx‡cxÿ2ayÿ2byÿ2cyˆ

ˆ x…a ‡ b ‡ c† ÿ 2y…a ‡ b ‡ c† ˆ …a ‡ b ‡ c†…x ÿ 2y† Oppure:

ax‡bx‡cx ÿ 2ay ÿ 2by ÿ 2cy ˆ a…x ÿ 2y† ‡ b…x ÿ 2y† ‡ c…x ÿ 2y† ˆ ˆ …x ÿ 2y†…a ‡ b ‡ c†

ESERCIZIO GUIDATO

55 _{Scomponi in fattori i seguenti polinomi mediante raccoglimenti parziali.}

a) abc ‡ a2_b2_{ÿ 3c ÿ 3ab}

abc ‡ a2_b2 _{ÿ3c ÿ 3ab ˆ ab…c ‡:::::::†:::::::3…c ‡:::::::† ˆ …:::::::‡ ab†…:::::::ÿ 3†}

b ) 3x2_{ÿ xy ÿ 15x ‡ 5y ‡ 3xt ÿ yt}

3x2_{ÿ xy ÿ15x ‡ 5y ‡3xt ÿ yt ˆ:::::…3:::::ÿ:::::†:::::5…3x:::::y† ‡ t…:::::ÿ y† ˆ …3x:::::y†…x:::::5 ‡:::::†}

Completa. 56 a) ay‡2by‡ax‡2bxˆ y…:::::::‡:::::::† ‡ x…:::::::‡:::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::† oppure: ay‡2by‡ax‡2bx ˆ a…:::::::‡:::::::† ‡ 2b…:::::::‡:::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::† b) t4_‡t3_{‡3t‡3ˆ t}3_{:::::::‡:::::::† ‡ 3…:::::::‡:::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::†} oppure: t4_‡t3_{‡ 3t‡3 ˆ t…:::::::‡:::::::† ‡ 1…:::::::‡:::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::†} ESERCIZI

57 a) 2yÿy ‡2aÿay ˆ y…:::::::ÿ:::::::† ‡ a…:::::::ÿ:::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::†

oppure:

2yÿy2_{‡2a ÿ ayˆ 2…:::::::‡:::::::† ÿ y…:::::::‡:::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::†}

b) 5x3_‡x2_{yÿ10xÿ2y ˆ x}2_{::::::::::::::† ÿ 2…::::::::::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::†}

oppure:

5x3_‡x2_{yÿ10xÿ2yˆ 5x…::::::::::::::† ‡ y…::::::::::::::† ˆ …::::::::::::::†…::::::::::::::†}

Scomponi i seguenti polinomi mediante raccoglimenti parziali.

58 a3‡ a2ÿ ab ÿ b ab ÿ b2ÿ am ‡ bm ‰…a ‡ 1†…a2ÿ b†; …a ÿ b†…b ÿ m†Š

59 a2b2‡ 1 ‡ a2‡ b2 x3ÿ 2x2‡ 4x ÿ 8 ‰…a2‡ 1†…b2‡ 1†; …x ÿ 2†…x2‡ 4†Š

60 3a2‡ 5ab2ÿ 6a ÿ 10b2 8x3ÿ 12x2‡ 2x ÿ 3 ‰…3a ‡ 5b2†…a ÿ 2†; …2x ÿ 3†…4x2‡ 1†Š

61 2px ‡ 6qy ‡ 2py ‡ 6qx 7b ÿ 14by ‡ y ÿ 2y2 ‰2…x ‡ y†…p ‡ 3q†; …1 ÿ 2y†…7b ‡ y†Š

62 3cx ‡ 3bx ‡ cy ‡ by dx2‡ 5cx2‡ 2dy2‡ 10cy2 ‰…c ‡ b†…3x ‡ y†; …5c ‡ d†…x2‡ 2y2†Š

63 6cx ÿ 3cy ÿ 2ay ‡ 4ax 15az2_{ÿ 3bz}2_{‡ 5ay}2_{ÿ by}2 _{‰…2a ‡ 3c†…2x ÿ y†; …5a ÿ b†…y}2_{‡ 3z}2_†Š

64 5az ÿ 5bz ‡ 2ay ÿ 2by ax ‡ ay ÿ bx ÿ by ‰…a ÿ b†…5z ‡ 2y†; …a ÿ b†…x ‡ y†Š

65 y2‡ ay ÿ by ÿ ab 35 ‡ ab ‡ 5a ‡ 7b ‰…a ‡ y†…y ÿ b†; …a ‡ 7†…b ‡ 5†Š

66 6 ÿ 3z ‡ xz ÿ 2x am ‡ bm ÿ an ÿ bn ‡ a ‡ b ‰…x ÿ 3†…z ÿ 2†; …a ‡ b†…m ÿ n ‡ 1†Š

67 am ‡ bm ‡ 5a ‡ 5b a3‡ a2‡ a ‡ 1 ‰…a ‡ b†…m ‡ 5†; …a ‡ 1†…a2‡ 1†Š

68 4x2ÿ 20xy ‡ 3x ÿ 15y 56x2ÿ 40xy ‡ 63xz ÿ 45yz ‰…x ÿ 5y†…4x ‡ 3†; …7x ÿ 5y†…8x ‡ 9z†Š

69 10x2ÿ 25xz ÿ 6xy ‡ 15yz ac ‡ bd ÿ ad ÿ bc ‰…2x ÿ 5z†…5x ÿ 3y†; …a ÿ b†…c ÿ d†Š

70 am ‡ bm ‡ cm ÿ an ÿ bn ÿ cn ‡ a ‡ b ‡ c ‰…a ‡ b ‡ c†…m ÿ n ‡ 1†Š

71 6ac ÿ 9bc ‡ 3c ÿ 4ad ‡ 6bd ÿ 2d ‡ 2a ÿ 3b ‡ 1 ‰…2a ÿ 3b ‡ 1†…3c ÿ 2d ‡ 1†Š

72 ÿ12a4_{‡ 24a}2_b2_{ÿ 20a}3_{b ‡ 40ab}3 _‰4a…2b2_{ÿ a}2_{†…3a ‡ 5b†Š}

73 a3‡ a2‡ ab ‡ b ÿ a ÿ 1 xy2ÿ xy ÿ x ‡ y2ÿ y ÿ 1 ‰…a ‡ 1†…a2‡ b ÿ 1†; …x ‡ 1†…y2ÿ y ÿ 1†Š

74 2ay ‡ 2by ‡ 2cy ÿ 2a2ÿ 2ab ÿ 2ac ‰2…a ‡ b ‡ c†…y ÿ a†Š

75 5bz ÿ b ÿ 2bx ‡ a ÿ 5az ‡ 2ax ‰…a ÿ b†…2x ÿ 5z ‡ 1†Š

76 4px ÿ 16py ‡ 8p ‡ 3qx ÿ 12qy ‡ 6q ‰…x ÿ 4y ‡ 2†…4p ‡ 3q†Š

77 5a3‡ 5a2ÿ 5ab2ÿ 2a2b ÿ 2ab ‡ 2b3 ‰…a2‡ a ÿ b2†…5a ÿ 2b†Š

78 3a2‡ 6ab ‡ 3ac ÿ 2ab2ÿ 4b3ÿ 2b2c ‰…a ‡ 2b ‡ c†…3a ÿ 2b2†Š

79 a3_{‡ a}2_{b ‡ a}2_{c ÿ abc ÿ b}2_{c ÿ bc}2 _{‰…a ‡ b ‡ c†…a}2_{ÿ bc†Š}

80 a2ÿ ab ‡ ac ÿ a ÿ ad ‡ bd ÿ cd ‡ d ‰…a ÿ b ‡ c ÿ 1†…a ÿ d†Š

ESERCIZIO SVOLTO

82 _{Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi.}

a) 5…x ‡ y† ÿ 4ax ÿ 4ay

Non conviene eseguire i calcoli; osserviamo che, mettendo in evidenza tra gli ultimi due ter-mini il fattore ÿ4a, otteniamo un polinomio in cui saraÁ possibile effettuare un raccoglimen-to raccoglimen-totale:

5…x ‡ y† ÿ 4a…x ‡ y† ˆ …x ‡ y†…5 ÿ 4a†

b) a2_{bc ‡ a}3_b2_{‡ 3ac ‡ 3a}2_b

EÁ possibile, prima di tutto, eseguire un raccoglimento a fattor comune:

a…abc ‡ a2_b2_{‡ 3c ‡ 3ab†}

Effettuiamo ora un raccoglimento parziale tra i termini dentro parentesi tonda: a‰ab…c ‡ ab† ‡ 3…c ‡ b†Š ˆ a…ab ‡ 3†…c ‡ ab†

ESERCIZIO GUIDATO

83 _{Scomponi in fattori i seguenti polinomi.}

a) 5a…2a ÿ 1† ÿ 16a2_{‡ 8a ˆ}

ˆ 5a…2a ÿ 1† ÿ 8a…:::::::a:::::::1† ˆ

ˆ …2a ÿ 1†…5a ÿ:::::::a† ˆ ÿ3a …::::::::::::::†

b) 3ax ‡ 3ab ÿ 5a2_{xy ÿ 5a}2_{by ˆ}

ˆ:::::::…3x ‡ 3b ÿ 5axy ÿ 5:::::::y† ˆ

ˆ a‰:::::::…x ‡ b†:::::::5ay…x ‡ b†Š ˆ a…x ‡ b†…:::::::ÿ 5ay†

Scomponi in fattori i seguenti polinomi.

84 …x ‡ y†…x ÿ y† ÿ 3x ÿ 3y ‡ xy2‡ y3 ‰…x ‡ y†…x ÿ y ÿ 3 ‡ y2†Š

85 …2p ‡ 5q†…3x ÿ 4† ‡ …2p ‡ 5q† ‰3…2p ‡ 5q†…x ÿ 1†Š

86 21a5b4ÿ 9a4b5‡ 42a6b5ÿ 18a5b6 ‰3a4b4…7a ÿ 3b†…1 ‡ 2ab†Š

87 2a5‡ 4a4‡ 4a3‡ 8a2 ‰2a2…a ‡ 2†…a2‡ 2†Š

88 3a5‡ 12a4‡ 2a ‡ 8 ‰…a ‡ 4†…3a4‡ 2†Š

89 5x5y ‡ 20x4y2‡ xy ‡ 4y2 ‰y…x ‡ 4y†…5x4‡ 1†Š

90 …x ‡ 2y†2‡ axy ‡ 2ay2 _{‰…x ‡ 2y†…x ‡ 2y ‡ ay†Š}

91 2ab ÿ 3a ‡ …2b ÿ 3†2 ‰…2b ÿ 3†…a ‡ 2b ÿ 3†Š

ACACCIA ALL'ERRORE

92 _{Nell'eseguire le seguenti scomposizioni sono stati commessi degli errori. Individuali e}

correg-gili.

a) 2x3_{ÿ 3xy ‡ 2x}2_{y ÿ 3y}2_{ˆ 2x}2_{x ‡ y† ÿ 3y…x ÿ y† ˆ …x ‡ y†…x ÿ y†…2x}2_{ÿ 3y†}

b) 4x3_{ÿ 10x}2_{ÿ 2x ‡ 5 ˆ 2x}2_{2x ÿ 5† ÿ 1…2x ÿ 5† ˆ …2x ÿ 5†…2x}2_{‡ 1†}

c) 5a2_{ÿ 10a}3_{‡ 20 ˆ 5a}2_{1 ÿ 2a ‡ 4†}

d) 3xy ÿ 12z ÿ 6xy2_{ÿ 24zy ˆ 3xy…1 ÿ 2y† ÿ 12z…1 ÿ 2y† ˆ …3xy ÿ 12z†…1 ÿ 2y†}

ESERCIZI

93 _{Quale dei seguenti polinomi non eÁ scomponibile mediante un raccoglimento parziale?}

a) x5_{‡ x}3_{‡ 3x}2_{‡ 3 b) 6a}2_{ÿ 10ab ‡ 4b}2 _{c) 15x}3_{‡ 5x}2_{ÿ 6x ÿ 2}

Scomposizione mediante prodotti notevoli

SCOMPOSIZIONE DELLA DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

START

94 A2ÿ B2ˆ …A ‡ B†…A :::::::::::::::B†.

95 Mentre il binomio A2ÿ B2 eÁ riducibile nel prodotto tra la ... e la differenza dei termini

A e B, il binomio A2_{‡ B}2 _eÁ....

GO!

ESERCIZIO SVOLTO

96 _{Scomponiamo i seguenti binomi.}

a) 4x2_{ÿ y}2_{ˆ …2x†}2_{ÿ y}2_{ˆ …2x ‡ y†…2x ÿ y†} b) 36₂₅ x2_{ÿ 1} 9 y2ˆ 65 x 2 ÿ 1₃ y2 ˆ 6₅ x ‡ 1₃ y 6₅ x ÿ 1₃ y ESERCIZIO GUIDATO

97 _{Scomponi in fattori i seguenti binomi.}

a) 9a2_x4_{ÿ 36b}6_ˆ ˆ …3ax:::::::_‡:::::::b:::::::_{†…3ax::::::: ::::::: :::::::b}3_† b) 1₁₆x4_{ÿ 81y}8_z12_ˆ ˆ:::::::₄ x2_‡:::::::y4_z:::::::::::::: 4 x2 :::::::9y4z:::::::  ˆ ˆ:::::::₄ x2_‡:::::::y4_z:::::::::::::: 2 x ‡ 3y2z::::::: _::::::: 2 x ÿ 3y2z3 

Scomponi, se possibile, in fattori i seguenti binomi.

98 a2ÿ 4 a2‡ 6 ‰…a ‡ 2†…a ÿ 2†; irriducibileŠ 99 x2ÿ y2z2 a2x2ÿ b2y2 ‰…x ‡ yz†…x ÿ yz†; …ax ‡ by†…ax ÿ by†Š

100 1 ÿ x4 x2ÿ 4a2 ‰…1 ÿ x†…1 ‡ x†…1 ‡ x2†; …x ‡ 2a†…x ÿ 2a†Š

101 16x4ÿ 25y2 1

4 ‡ x4 ‰…4x2‡ 5y†…4x2ÿ 5y†; irriducibileŠ

102 a4_{ÿ b}4 _49a6_{ÿ 4 ‰…a ‡ b†…a ÿ b†…a}2_{‡ b}2_{†; …7a}3_{‡ 2†…7a}3_{ÿ 2†Š}

104 1 4 x2ÿ 19 y4 254 x2ÿ 169 y2 h 12 x ÿ 13 y2 12 x ‡ 13 y2  ;  2₅ x ÿ 4₃ y 2₅ x ‡ 4₃ yi 105 8x6y3ÿ a4z4 4 25 x2y6ÿ a8z6 h Irriducibile; 2₅ xy3_{‡ a}4_z3 2 5 xy3ÿ a4z3 i

106 x4ÿ 16y4 a4x8ÿ 1 ‰…x2‡ 4y2†…x ‡ 2y†…x ÿ 2y†; …a2x4‡ 1†…ax2‡ 1†…ax2ÿ 1†Š

107 a8ÿ b8 a8ÿb16 ‰…a4‡b4†…a2‡b2†…a‡b†…aÿb†; …a4‡b8†…a2‡b4†…a‡b2†…aÿb2†Š

108 t6z4ÿ 100 16a2ÿ 1 81 t4 …t3z2‡ 10†…t3z2ÿ 10†; 4a ‡ 19 t2   4a ÿ 1₉ t2   h i

109 16a4_{ÿ 81y}4 _x4_{ÿ 625 ‰…4a}2_{‡ 9y}2_{†…2a ‡ 3y†…2a ÿ 3y†; …x}2_{‡ 25†…x ‡ 5†…x ÿ 5†Š}

ESERCIZIO SVOLTO

110 _{Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi applicando i metodi fino a ora studiati.}

a) 5₉ x3_y2_{ÿ 5x ˆ 5x} 1

9 x2y2ÿ 1



ˆ 5x 1₃ xy ‡ 1 1₃ xy ÿ 1

b) 3a3_{ÿ 12ap}2_{‡ 5a}2_{b ÿ 20bp}2_{ˆ 3a…a}2_{ÿ 4p}2_{† ‡ 5b…a}2_{ÿ 4p}2_{† ˆ}

ˆ …a2_{ÿ 4p}2_{†…3a ‡ 5b† ˆ …a ‡ 2p†…a ÿ 2p†…3a ‡ 5b†}

ESERCIZIO GUIDATO

111 _{Scomponi in fattori i seguenti polinomi applicando i metodi fino a ora studiati.}

a) 12ax3_{ÿ 27a}3_xy6_ˆ ˆ 3ax…4x2_ÿ:::::::a2_y6_{† ˆ} ˆ 3ax…2x ‡:::::::ay:::::::†…2x:::::::3ay:::::::† b) 16x2_{‡ x}4_{ÿ 16b}2_{ÿ x}2_b2 16x2_{‡ x}4 _ÿ16b2_{ÿ x}2_b2_ˆ ˆ x2_{16 ‡ x}:::::::_{† ÿ b}2_{16 ‡ x}:::::::_{† ˆ} ˆ …16 ‡ x:::::::_†…x:::::::_{ÿ b}:::::::_{† ˆ} ˆ …16 ‡ x:::::::_{†…x ‡:::::::†…x:::::::b†}

Scomponi in fattori i seguenti polinomi applicando i metodi fino a ora studiati.

112 a ÿ 9ab2 _12a3_y2_{ÿ 27a}3_x2 _{‰a…1 ÿ 3b†…1 ‡ 3b†; 3a}3_{2y ‡ 3x†…2y ÿ 3x†Š}

113 4 9 x3ÿ 94 x 4x5ÿ 16x3y2 h x 2 3 x ‡ 32 23 x ÿ 32  ; 4x3_{x ‡ 2y†…x ÿ 2y†}i

114 3ab2ÿ 3a3 3a2x ÿ 3x3 ‰3a…b ‡ a†…b ÿ a†; 3x…a ÿ x†…a ‡ x†Š

115 a3b ÿ ab3 ÿ7ab2‡ 7ax2 ‰ab…a ÿ b†…a ‡ b†; ÿ 7a…b ‡ x†…b ÿ x†Š

116 a5x5y ÿ axy ‰axy…a2x2‡ 1†…ax ÿ 1†…ax ‡ 1†Š

117 b ‡ 2 ÿ a2b ÿ 2a2 4x2ÿ y2‡ 2xz ÿ yz ‰…2 ‡ b†…1 ‡ a†…1 ÿ a†; …2x ÿ y†…2x ‡ y ‡ z†Š

118 9a2ÿ 4b2‡ 3ac ‡ 2bc ‰…3a ‡ 2b†…3a ÿ 2b ‡ c†Š

ESERCIZI

119 25a ÿ 25a ÿ a ‡ 1 ‰…a ÿ 1†…5a ‡ 1†…5a ÿ 1†Š

120 4b2x2ÿ 36b2‡ x2ÿ 9 ‰…x ‡ 3†…x ÿ 3†…4b2‡ 1†Š

121 x2ÿ 4b2x2‡ 9 ÿ 36b2 ‰…1 ‡ 2b†…1 ÿ 2b†…x2‡ 9†Š

122 4a ‡ 4b ‡ 4c ÿ ax2ÿ bx2ÿ cx2 ‰…a ‡ b ‡ c†…2 ‡ x†…2 ÿ x†Š

123 a2x ‡ a2y ‡ a2ÿ 36x ÿ 36y ÿ 36 ‰…a ‡ 6†…a ÿ 6†…x ‡ y ‡ 1†Š

124 16t5ÿ 1 16 t t 4t2‡ 14   2t ‡ 1₂   2t ÿ 1₂   h i ESERCIZIO SVOLTO

125 _{Utilizzando l'uguaglianza A}2_{ÿ B}2_{ˆ …A ‡ B†…A ÿ B†, dove A e B sono polinomi, scomponiamo}

in fattori i seguenti polinomi

a) …a ‡ 2b†2ÿ 9c2_{ˆ …a ‡ 2b†}2_{ÿ …3c†}2_{ˆ …a ‡ 2b ‡ 3c†…a ‡ 2b ÿ 3c†}

b) 25x2_y2_{ÿ …3x ÿ 4y†}2 _{ˆ …5xy†}2_{ÿ …3x ÿ 4y†}2_{ˆ ‰5xy ‡ …3x ÿ 4y†Š‰5xy ÿ …3x ÿ 4y†Š ˆ}

ˆ …5xy ‡ 3x ÿ 4y†…5xy ÿ 3x ‡ 4y†

c) …3a ÿ b†2ÿ …2c ÿ d†2 ˆ ‰…3a ÿ b† ‡ …2c ÿ d†Š‰…3a ÿ b† ÿ …2c ÿ d†Š ˆ

ˆ …3a ÿ b ‡ 2c ÿ d†…3a ÿ b ÿ 2c ‡ d†

ESERCIZIO GUIDATO

126 _{Utilizzando l'uguaglianza A}2_{ÿ B}2 _{ˆ …A ‡ B†…A ÿ B†, dove A e B sono polinomi, scomponi in}

fattori i seguenti polinomi

a) …2a ÿ 3†2ÿ 4

ˆ ‰…2a ÿ 3† ‡:::::::Š‰…:::::::::::::::::::::†:::::::2Š ˆ …2a ÿ:::::::†…:::::::ÿ 5†

b) 9x4_{ÿ …x}2_{‡ 1†}2

ˆ …3x:::::::_†2_{ÿ …x}2_{‡ 1†}2_{ˆ ‰3x}:::::::_{‡ …x}2_{‡ 1†Š‰3x::::::: :::::::…x}2_{‡ 1†Š ˆ …:::::::x}2_{‡ 1†…2x2 :::::::1†}

c) …a ‡ 1†2ÿ …2a ÿ 5†2

ˆ ‰…a ‡ 1†:::::::…2a ÿ 5†Š‰…a ‡ 1† ÿ …:::::::::::::::::::::†Š ˆ …3a ÿ:::::::†…ÿa ‡:::::::†

Scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando l'uguaglianza A2_{ÿ B}2_{ˆ …A ‡ B†…A ÿ B†, dove A e B sono polinomi.}

127 …a ‡ 2b†2ÿ 4a2b2 ‰…a ‡ 2b ÿ 2ab†…a ‡ 2b ‡ 2ab†Š

128 …2a ÿ 4†2ÿ 9a2 …x2y2ÿ 3†2ÿ 25x4y4 ‰…5a ÿ 4†…ÿa ÿ 4†; …6x2y2ÿ 3†…ÿ4x2y2ÿ 3†Š

129 a2ÿ …b ‡ c†2 c2ÿ …a ‡ b†2 ‰…a ‡ b ‡ c†…a ÿ b ÿ c†; …a ‡ b ‡ c†…c ÿ a ÿ b†Š

130 …2xy ÿ 1†2ÿ 4x2y2 …3ab ÿ 5†2ÿ 9a2b2 ‰ÿ4xy ‡ 1; ÿ 5…6ab ÿ 5†Š

131 x2_{ÿ …3x ‡ 1†}2 _x2_{ÿ …3x ÿ 1†}2 _{‰ÿ…4x ‡ 1†…2x ‡ 1†; …4x ÿ 1†…ÿ2x ‡ 1†Š}

132 16a2b2ÿ …2 ÿ ab†2 16a2b2ÿ …1 ‡ ab†2 ‰…3ab ‡ 2†…5ab ÿ 2†; …5ab ‡ 1†…3ab ÿ 1†Š

133 …x ‡ y†2ÿ …z ‡ t†2 …x ‡ y†2ÿ …x ÿ y†2 ‰…x ‡ y ‡ z ‡ t†…x ‡ y ÿ z ÿ t†; 4xyŠ

134 …2a ‡ 1†2ÿ …a ÿ 1†2 …3a ÿ 1†2ÿ …2 ÿ a†2 ‰3a…a ‡ 2†; …2a ‡ 1†…4a ÿ 3†Š

ACACCIA ALL'ERRORE

136 _{Individua e correggi gli errori che sono stati commessi nelle seguenti scomposizioni.}

a) 16x2_{ÿ 9y}2 _{ˆ …2x ‡ 3y†…2x ÿ 3y† b) x}4_{ÿ y}9_{ˆ …x}2_{‡ y}3_†…x2_{ÿ y}3_†

c) 16x2_{ÿ …x ‡ 1†}2_{ˆ …5x ÿ 1†…3x ‡ 1† d) 4x}2_{‡ 9y}2 _{ˆ …2x ‡ 3y†…2x ÿ 3y†}

ATROVA L'INTRUSO

137 _{Quale dei seguenti polinomi non eÁ una differenza di due quadrati?}

a) 81x6_{ÿ 1 b) x}4_{ÿ …3xy ÿ 2a†}2 _{c) 1 ÿ 18a}2_y5 _{d) 25 ÿ 4y}12

TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN BINOMIO

START

138 Nel trinomio x2‡ 6xy ‡ 9y2, possiamo vedere x2 come quadrato di ..., ... come quadrato

di 3y e verificare che...eÁ il...prodotto di x per 3y.

139 Un trinomio in cui due termini siano i quadrati di due monomi e il terzo termine sia il doppio

...dei monomi stessi, puoÁ essere espresso come quadrato di un binomio. Vale la

seguen-te uguaglianza: A2_{‡ 2AB ‡ B}2_{ˆ …A ‡ B†}::::::::::

GO!

ESERCIZIO SVOLTO

140 _{Scomponiamo i seguenti trinomi in quadrati di binomi.}

a) a2 _{‡ 14a ‡ 49}

…a†2 …7†2 _{O Individuiamo due quadrati perfetti.}

2 1 a 1 7 ˆ 14a _{O Controlliamo se il termine rimanente eÁ il doppio prodotto}

delle basi dei quadrati.

‡14a

O Controlliamo il segno del doppio prodotto nel trinomio.

! a2_{‡14a‡49 ˆ…a‡7†}2

b) 25x6_{ÿ 10x}3_{‡ 1}

…5x3_†2 _1†2

O Individuiamo i quadrati perfetti e determiniamo le basi.

2 1 5x3_{1 1 ˆ 10x}3 _{O Controlliamo il doppio prodotto delle basi.}

ÿ10x3 _{O Controlliamo il segno del doppio prodotto nel trinomio.}

! 25x6_{ÿ 10x}3_{‡ 1 ˆ …5x}3 _ÿ1†2

ESERCIZIO GUIDATO

141 _{Scomponi i seguenti trinomi in quadrati di binomi.}

a) 4x4_{‡ 1 ‡ 4x}2 _{ˆ …:::::::x}:::::::_†2_{‡ …:::::::†}2_{‡ 2…2x}2_{† 1:::::::ˆ …2x::::::: :::::::1†}2

b) ÿ25y2_{‡ 20y ÿ 4 ˆ ÿ…25y2 ::::::::::20y::::::::::4† ˆ ÿ‰…:::::::y†}2_{‡::::::: 2ÿ 2…:::::::y† 1 2Š ˆ ÿ…:::::::y ÿ:::::::†}2

ESERCIZI

142 x2_{‡ 2x ‡ 1 a}2_{‡ 4ab ‡ 4b}2 _{‰…x ‡ 1†}2_{; …a ‡ 2b†}2_Š 143 4x2ÿ 12x ‡ 9 a2b2‡ x2ÿ 2abx ‰…2x ÿ 3†2; …ab ÿ x†2Š 144 1 9 y2ÿ 23 y ‡ 1 x6‡ 8x3‡ 16 h 13 y ÿ 1 ₂ ; …x3_{‡ 4†}2i 145 4x2‡ 4x ‡ 1 a2ÿ 2a ‡ 4 ‰…2x ‡ 1†2; irriducibileŠ 146 4a2‡ 2ab ‡ 1 4 b2 9x2‡ 4y2‡ 12xy h 2a ‡ 1 2 b ₂ ; …3x ‡ 2y†2i

147 25a2‡ 16 ÿ 20a a2b2‡ c2ÿ 2abc ‰Irriducibile; …ab ÿ c†2Š

148 4a2b4‡ 1 ‡ 4a4b8 4 9 x2‡ 203 xy ‡ 25y2 h …2a2_b4_{‡ 1†}2_; 2 3 x ‡ 5y 2i

149 25y4_{ÿ 10y}2_{‡ 1 49t}2_{‡ 56t ‡ 16} 2_5y2_{ÿ 1†}2_{; …7t ‡ 4†}23

150 9y2ÿ 48y ‡ 64 x2y2ÿ 3xy ‡ 9

4 …3y ÿ 8†2; xy ÿ 32  2

 

151 25a2‡ 49t2‡ 35at 49a2ÿ 70at ‡ 25t2 ‰Irriducibile; …7a ÿ 5t†2Š

152 4a2x2‡ 4a4x4‡ 1 a8‡ 4a4‡ 4 2…2a2x2‡ 1†2; …a4‡ 2†23 153 x6‡ 2x3‡ 1 x4‡ 2x2‡ 1 ‰…x3‡ 1†2; …x2‡ 1†2Š 154 x4‡ 4x2‡ 4 a6‡ 2a3b2‡ b4 ‰…x2‡ 2†2; …a3‡ b2†2Š 155 16x6ÿ 16x3y2‡ 4y4 9m4ÿ 12m2n2‡ 4n4 ‰…4x3ÿ 2y2†2; …3m2ÿ 2n2†Š 156 1 4 x4‡ 13 x2y ‡ 19 y2 a2ÿ 45 ab2ÿ 425b4 h 12 x2‡ 13 y 2 ; irriducibilei 157 1 9 a4ÿ 215a2b3‡ 125b6 ÿ4a2ÿ 12a ÿ 9 h 13a2ÿ 15b3 ₂ ; ÿ…2a ‡3†2i

158 64a12ÿ 48a6‡ 9 ÿ49a2‡ 14a ÿ 1 ‰…8a6ÿ 3†2; ÿ …7a ÿ 1†2Š

159 ÿa2‡ 10a ÿ 25 ÿb2‡ 2ab ÿ a2 160 ÿy2ÿ 18y ÿ 81 ÿ 1

4 a2ÿ 19 b2‡ 13 ab

161 ÿ9x2ÿ 12xy ÿ 4y2 ÿy4ÿ 2y2ÿ 1 162 ÿy6ÿ 4 ‡ 4y3 ÿx4ÿ 9y2ÿ 6x2y

ESERCIZIO SVOLTO

163 _{Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi applicando i metodi fino a ora studiati.}

a) 36x4_{ÿ 24x}3_{‡ 4x}2 _{ˆ 4x}2_9x2_{ÿ 6x ‡ 1† ˆ 4x}2_{3x ÿ 1†}2

b) 3ax2_{ÿ 30ax ‡ 75a ‡ bx}2_{ÿ 10bx ‡ 25b ˆ 3a…x}2_{ÿ 10x ‡ 25† ‡ b…x}2_{ÿ 10x ‡ 25† ˆ}

ˆ …x2_{ÿ 10x ‡ 25†…3a ‡ b† ˆ …x ÿ 5†}2_{3a ‡ b†}

ESERCIZIO GUIDATO

164 _{Scomponi in fattori i seguenti polinomi applicando i metodi fino a ora studiati.}

a) 3a3_{b ÿ 12a}2_{b ‡ 12ab ˆ 3ab…a::::::: :::::::4a ‡:::::::† ˆ:::::::1 …a ÿ:::::::†}2

b) a2_{2a ‡ 1† ‡ 4a…2a ‡ 1† ‡ 4…2a ‡ 1† ˆ …:::::::::::::::::::::†…a}2_{‡ 4a ‡:::::::† ˆ …:::::::::::::::::::::†…a ‡:::::::†}2