Vengono riportate alcune osservazioni realtive al concetto di integrale denito e sul suo utilizzo per il calcolo delle aree.

(1)

Integrale denito. Il calcolo dele aree

Prof. G. Surace 15th May 2010

Vengono riportate alcune osservazioni realtive al concetto di integrale denito e sul suo utilizzo per il calcolo delle aree.

L'integrale denito

L'integrale denito é un numero che esprime una misura, tipicamente un'area, un volume, un iper- volume ecc.

Se indichiamo con f(x) la funzione integranda e con F (x) la primitiva di f, grazie al teorema di Torricelli, calcolare un integrale di questo tipo R _b

a f (x)dx diventa molto semplice:

Z _b

a

f (x)dx = F (b) − F (a)

dove F (a) e F (b) denotano il valore che la primitiva assume in corrispondenza di x = a e x = b. Ad es.

R ₄

1 x ² dx = [ ^x ₃

³

] ⁴ ₁ = ( ⁴ ₃

³

− ¹ ₃

³

) = ⁶³ ₃

Come ulteriore esempio consideriamo:

R

^π

0

2

cos(x)dx = [sin(x)] ₀

^π²

= [sin( ^π ₂ ) − sin(0)] = 1 La tecnica di calcolo é riassumibile in due pas- saggi:

1. calcolo della primitiva

2. sostituzione degli estremi di integrazione den- tro la primitiva (al posto di x) e sottrazione dei due valori ottenuti.

Anche il problema del calcolo di un integrale denito é concentrato, dunque, nella determi- nazione della funzione primitiva. Si possono, quindi, utilizzare tutte le tecniche studiate per la risoluzione di integrali indeniti (sostituzione, scomposizione, parti, integrazione delle funzioni razionali ecc.)

Figure 1: Area del sottograco di f(x)

Il calcolo delle aree

Il concetto di integrale denito si presta ad una in- terpretazione di tipo geometrico molto interessante.

La scrittura R _b

a f (x)dx denota, infatti, l'area del sottograco della funzione f, vale a dire l'area della parte di piano delimitata dalla funzione f, dalle rette verticali x = a e x = b e dall'asse delle ascisse (Vedi gura 1).

Questa idea dell'integrale come area é molto pro- cua in quanto permette una estensione delle pro- prietá dell'area agli integrali. In particolare:

1. Le aree sono additive nel senso che l'area di una gura divisa in due parti coincide con la somma delle aree delle due parti =⇒ propri- etá di additivitá degli integrali: R _c

a f (x)dx = R _b

a f (x)dx + R _c

b f (x)dx

2. L'area di una gura costituita da un solo punto é nulla =⇒ R _a

a f (x)dx = 0

3. Non é superuo osservare che l'area, in quanto

misura di una supercie, é per denzione un

numero positivo. Tuttavia, se la funzione f(x)

1

(2)

Figure 2: La problematica del "segno dell'area"

Figure 3: Graco della funzione y = x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30

si trova al di sotto dell'asse delle ascisse in un certo intervallo (cioé f(x) é negativa) il cal- colo dell'integrale fornisce un numero negativo.

Bisogna quindi avere l'accortezza di far pre- cedere al calcolo dell'integrale un segno meno.

Consideriamo ad esempio la gura 2. Sulla base delle considerazioni precedenti sul segno dell'integrale, dovremmo scrivere: AREA color = R _b

a f (x)dx − R _c

b f (x)dx + R _d

c f (x)dx

Ad es. considedriamo l'area del sottograco della funzione y = x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30 mostrata in gura 3

Figure 4: Area di piano delimitata dalla retta y = x e dalla parabola y = x ²

Il calcolo dell'area del sottograco diventa:

AREA = − R ₋₁

−3 (x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30)dx + R ₂

−1 (x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30)dx − R ₅

2 (x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30)dx = ....

Aree delimitate dal graco di due fun- zioni

Siano date due funzioni f e g di cui conosciamo il graco e tali che f > g (cioé la quota di f supera la quota di g). Se vogliamo calcolare l'area della re- gione di piano delimitata dal graco delle due fun- zioni basta sottrarre, all'area del sottograco di f, l'area del sottograco di g, cioé:

AREA compresa = AREA sottogra

f

− AREA sottogra

g

La traduzione analitica del discorso é la seguente:

AREA compresa = Z _b

a

f (x)dx − Z _b

a

g(x)dx

= Z _b

a

[f (x) − g(x)]dx

Ad esempio R ₁

0 [x − x ² ]dx puó essere pensato come la parte di piano (vedi gura 4) compresa tra la la retta y = x (bisettrice del 1 ^o e 3 ^o quadrante) e la parabola y = x ² (parabola con concavitá veso l'alto e vertice nell'origine)

2

Vengono riportate alcune osservazioni realtive al concetto di integrale denito e sul suo utilizzo per il calcolo delle aree.

Integrale denito. Il calcolo dele aree

Prof. G. Surace 15th May 2010

Vengono riportate alcune osservazioni realtive al concetto di integrale denito e sul suo utilizzo per il calcolo delle aree.

L'integrale denito

L'integrale denito é un numero che esprime una misura, tipicamente un'area, un volume, un iper- volume ecc.

Se indichiamo con f(x) la funzione integranda e con F (x) la primitiva di f, grazie al teorema di Torricelli, calcolare un integrale di questo tipo R b

a f (x)dx diventa molto semplice:

Z b

a

f (x)dx = F (b) − F (a)

dove F (a) e F (b) denotano il valore che la primitiva assume in corrispondenza di x = a e x = b. Ad es.

R 4

1 x 2 dx = [ x 3

] 4 1 = ( 4 3

− 1 3

) = 63 3

Come ulteriore esempio consideriamo:

R

0

cos(x)dx = [sin(x)] 0

= [sin( π 2 ) − sin(0)] = 1 La tecnica di calcolo é riassumibile in due pas- saggi:

1. calcolo della primitiva

2. sostituzione degli estremi di integrazione den- tro la primitiva (al posto di x) e sottrazione dei due valori ottenuti.

Figure 1: Area del sottograco di f(x)

Il calcolo delle aree

Il concetto di integrale denito si presta ad una in- terpretazione di tipo geometrico molto interessante.

La scrittura R b

a f (x)dx denota, infatti, l'area del sottograco della funzione f, vale a dire l'area della parte di piano delimitata dalla funzione f, dalle rette verticali x = a e x = b e dall'asse delle ascisse (Vedi gura 1).

Questa idea dell'integrale come area é molto pro- cua in quanto permette una estensione delle pro- prietá dell'area agli integrali. In particolare:

1. Le aree sono additive nel senso che l'area di una gura divisa in due parti coincide con la somma delle aree delle due parti =⇒ propri- etá di additivitá degli integrali: R c

a f (x)dx = R b

a f (x)dx + R c

b f (x)dx

2. L'area di una gura costituita da un solo punto é nulla =⇒ R a

a f (x)dx = 0

3. Non é superuo osservare che l'area, in quanto

misura di una supercie, é per denzione un

numero positivo. Tuttavia, se la funzione f(x)

1

Figure 2: La problematica del "segno dell'area"

Figure 3: Graco della funzione y = x 4 − 3x 3 − 15x 2 + 19x + 30

si trova al di sotto dell'asse delle ascisse in un certo intervallo (cioé f(x) é negativa) il cal- colo dell'integrale fornisce un numero negativo.

Bisogna quindi avere l'accortezza di far pre- cedere al calcolo dell'integrale un segno meno.

Consideriamo ad esempio la gura 2. Sulla base delle considerazioni precedenti sul segno dell'integrale, dovremmo scrivere: AREA color = R b

a f (x)dx − R c

b f (x)dx + R d

c f (x)dx

Ad es. considedriamo l'area del sottograco della funzione y = x 4 − 3x 3 − 15x 2 + 19x + 30 mostrata in gura 3

Figure 4: Area di piano delimitata dalla retta y = x e dalla parabola y = x 2

Il calcolo dell'area del sottograco diventa:

AREA = − R −1

−3 (x 4 − 3x 3 − 15x 2 + 19x + 30)dx + R 2

−1 (x 4 − 3x 3 − 15x 2 + 19x + 30)dx − R 5

2 (x 4 − 3x 3 − 15x 2 + 19x + 30)dx = ....

Aree delimitate dal graco di due fun- zioni

Siano date due funzioni f e g di cui conosciamo il graco e tali che f > g (cioé la quota di f supera la quota di g). Se vogliamo calcolare l'area della re- gione di piano delimitata dal graco delle due fun- zioni basta sottrarre, all'area del sottograco di f, l'area del sottograco di g, cioé:

AREA compresa = AREA sottogra

− AREA sottogra

La traduzione analitica del discorso é la seguente:

AREA compresa = Z b

a

f (x)dx − Z b

a

g(x)dx

= Z b

a

[f (x) − g(x)]dx

Ad esempio R 1

0 [x − x 2 ]dx puó essere pensato come la parte di piano (vedi gura 4) compresa tra la la retta y = x (bisettrice del 1 o e 3 o quadrante) e la parabola y = x 2 (parabola con concavitá veso l'alto e vertice nell'origine)

2

Integrale denito. Il calcolo dele aree

Vengono riportate alcune osservazioni realtive al concetto di integrale denito e sul suo utilizzo per il calcolo delle aree.

L'integrale denito

L'integrale denito é un numero che esprime una misura, tipicamente un'area, un volume, un iper- volume ecc.

Se indichiamo con f(x) la funzione integranda e con F (x) la primitiva di f, grazie al teorema di Torricelli, calcolare un integrale di questo tipo R _b

Z _b

R ₄

1 x ² dx = [ ^x ₃

] ⁴ ₁ = ( ⁴ ₃

− ¹ ₃

) = ⁶³ ₃

cos(x)dx = [sin(x)] ₀

= [sin( ^π ₂ ) − sin(0)] = 1 La tecnica di calcolo é riassumibile in due pas- saggi:

Figure 1: Area del sottograco di f(x)

Il concetto di integrale denito si presta ad una in- terpretazione di tipo geometrico molto interessante.

La scrittura R _b

a f (x)dx denota, infatti, l'area del sottograco della funzione f, vale a dire l'area della parte di piano delimitata dalla funzione f, dalle rette verticali x = a e x = b e dall'asse delle ascisse (Vedi gura 1).

Questa idea dell'integrale come area é molto pro- cua in quanto permette una estensione delle pro- prietá dell'area agli integrali. In particolare:

1. Le aree sono additive nel senso che l'area di una gura divisa in due parti coincide con la somma delle aree delle due parti =⇒ propri- etá di additivitá degli integrali: R _c

a f (x)dx = R _b

a f (x)dx + R _c

2. L'area di una gura costituita da un solo punto é nulla =⇒ R _a

3. Non é superuo osservare che l'area, in quanto

misura di una supercie, é per denzione un

Figure 3: Graco della funzione y = x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30

Consideriamo ad esempio la gura 2. Sulla base delle considerazioni precedenti sul segno dell'integrale, dovremmo scrivere: AREA color = R _b

a f (x)dx − R _c

b f (x)dx + R _d

Ad es. considedriamo l'area del sottograco della funzione y = x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30 mostrata in gura 3

Figure 4: Area di piano delimitata dalla retta y = x e dalla parabola y = x ²

Il calcolo dell'area del sottograco diventa:

AREA = − R ₋₁

−3 (x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30)dx + R ₂

−1 (x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30)dx − R ₅

2 (x ⁴ − 3x ³ − 15x ² + 19x + 30)dx = ....

Aree delimitate dal graco di due fun- zioni

Siano date due funzioni f e g di cui conosciamo il graco e tali che f > g (cioé la quota di f supera la quota di g). Se vogliamo calcolare l'area della re- gione di piano delimitata dal graco delle due fun- zioni basta sottrarre, all'area del sottograco di f, l'area del sottograco di g, cioé:

AREA compresa = Z _b

f (x)dx − Z _b

= Z _b

Ad esempio R ₁

0 [x − x ² ]dx puó essere pensato come la parte di piano (vedi gura 4) compresa tra la la retta y = x (bisettrice del 1 ^o e 3 ^o quadrante) e la parabola y = x ² (parabola con concavitá veso l'alto e vertice nell'origine)