UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ALGEBRA II UNIT `A M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2009/2010

UNIVERSIT ` A CATTOLICA DEL SACRO CUORE

Facolt` a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

ALGEBRA II UNIT ` A

M. Chiara Tamburini

Anno Accademico 2009/2010

Indice

I Omomorfismi fra anelli 1

1 Ideali . . . . 1

2 Anelli quoziente . . . . 3

3 Omomorfismi . . . . 7

4 Esercizi . . . . 9

II Dominii a ideali principali 11 1 Definizione ed esempi . . . . 11

2 Fattorialit` a dei dominii a ideali principali . . . . 12

3 Ideali massimali nei dominii a ideali principali . . . . 14

4 Il Teorema cinese del resto . . . . 15

5 La decomposizione primaria . . . . 17

6 Esercizi . . . . 18

III Matrici 21 1 Operazioni sulle matrici . . . . 21

2 Il gruppo GL

₂

(R) e alcuni suoi sottogruppi . . . . 24

3 Il gruppo GL

_n

(R) e alcuni suoi sottogruppi . . . . 26

4 Esercizi . . . . 28

IV Forme normali delle matrici 31 1 Equivalenza fra matrici . . . . 31

2 Forme normali nei dominii a ideali principali . . . . 33

3 Applicazione alla risoluzione dei sistemi lineari . . . . 36

V Determinanti 39 1 Definizione e propriet` a . . . . 39

2 Il Teorema di Laplace . . . . 43

i

ii INDICE

3 Fattori invarianti . . . . 46

Elenco dei simboli 51

Indice analitico 52

Bibliografia 53

Capitolo I

Omomorfismi fra anelli

1 Ideali

Sia A un anello.

(1.1) Definizione Un sottoinsieme I di A si dice un ideale sinistro se:

1) 0

_A

∈ I;

2) per ogni i

1

, i

2

∈ I, anche (i

₁

+ i

2

) ∈ I;

3) per ogni a ∈ A, e per ogni i ∈ I, anche (ai) ∈ I.

Analogamente I ` e un ideale destro se soddisfa le condizioni 1), 2) e 3

⁰

) per ogni a ∈ A, e per ogni i ∈ I, anche (ia) ∈ I.

Un ideale sinistro e destro si dice bilatero.

Sono utili le seguenti considerazioni.

a) Un ideale sinistro (destro) I di A ` e , in particolare, un sottogruppo di (A, +, 0

A

).

Ci` o segue dagli assiomi 1), 2) e dal fatto che, per ogni i ∈ I, anche (−1

_A

)i = −i ∈ I, per l’assioma 3).

b) Il singoletto {0

A

} e A stesso sono ideali di A (detti impropri).

c) Se A ` e un anello commutativo, ogni ideale sinistro ` e anche destro e viceversa.

(1.2) Esempio L’insieme 2Z dei numeri interi pari `e un ideale dell’anello Z.

In generale, dato a ∈ A, indichiamo con Aa l’insieme dei suoi multipli. In simboli:

Aa := {xa | x ∈ A} .

(1.3) Lemma Aa ` e il minimo ideale sinistro a cui a appartiene, ossia:

1) Aa ` e un ideale sinistro di A;

1

2 CAPITOLO I. OMOMORFISMI FRA ANELLI

2) a ∈ Aa;

3) per ogni ideale sinistro I di A tale che a ∈ I, si ha Aa ≤ I.

Dimostrazione.

1) 0

_A

= 0

_A

a ∈ Aa. Per ogni xa, ya ∈ Aa, anche xa + ya = (x + y)a ∈ Aa.

Infine, per ogni y ∈ A e per ogni xa ∈ Aa, anche y(xa) = (yx)a ∈ Aa.

2) a = 1

_A

a ∈ Aa.

3) Da a ∈ I (ideale sinistro) segue (xa) ∈ I per ogni x ∈ A. Pertanto Aa ≤ I.

(1.4) Definizione Se A ` e commutativo, Aa si dice l’ideale principale generato da a.

Per ogni ideale sinistro (destro) I di A, vale il seguente fatto:

(1.5) 1

A

∈ I =⇒ A = I.

Infatti, se I ` e ideale sinistro, da 1

_A

∈ I segue A1

_A

≤ I. Essendo A1

_A

= A si conclude che A = I. Analoga dimsotrazione se I ` e ideale destro.

Una importante conseguenza ` e questa:

(1.6) Teorema Gli unici ideali di un campo K sono {0

K

} e K.

Dimostrazione.

Sia I un ideale di K. Se I 6= {0

_K

}, esiste i ∈ I con i 6= 0

_K

. Per definizione di campo, l’elemento i ha inverso i

⁻¹

in K. Da i ∈ I (ideale), segue (i

⁻¹

i) ∈ I, ossia 1

_K

∈ I. Per (1.5) si conclude K = I.

In virt` u del seguente Lemma, dati due ideali I e J , il massimo ideale in essi contenuto

`

e la loro intersezione I ∩ J , mentre il mininmo ideale che li contiene ` e la loro somma I + J := {i + j | i ∈ I, j ∈ J }.

(1.7) Lemma Siano I, J due ideali sinistri di A. Allora:

1) I ∩ J ` e un ideale sinistro di A;

2) I + J ` e un ideale sinistro di A;

3) I ∪ J ⊆ I + J ;

4) per ogni ideale sinistro X che contiene I ∪ J si ha I + J ≤ X.

Analoghe propriet` a valgono per gli ideali destri.

2. ANELLI QUOZIENTE 3

Dimostrazione.

1) Per definizione di ideale 0

_A

∈ I e 0

_A

∈ J , da cui 0

_A

∈ I ∩ J . Siano ora x

₁

, x

₂

∈ I ∩ J . Da x

₁

, x

₂

∈ I segue (x

₁

+ x

₂

) ∈ I. Analogamente da x

₁

, x

₂

∈ J segue (x

1

+ x

2

) ∈ J . Pertanto (x

1

+ x

2

) ∈ I ∩ J . Infine siano a ∈ A, x ∈ I ∩ J . Da x ∈ I segue ax ∈ I. Da x ∈ J segue ax ∈ J . Si conclude ax ∈ I ∩ J .

2) Chiaramente 0

_A

= 0

_A

+ 0

_A

∈ I + J . Da (i

₁

+ j

₁

) , (i

₂

+ j

₂

) ∈ I + J segue:

(i

1

+ j

1

) + (i

2

+ j

2

) = (i

1

+ i

2

) + (j

1

+ j

2

) ∈ I + J.

Infine, se a ∈ A e i + j ∈ I + J , anche a(i + j) = (ai) + (aj) ∈ I + J .

3) Per ogni i ∈ I si ha i = i + 0

_A

, quindi I ≤ I + J . In modo analogo J ≤ I + J . 4) Sia i + j ∈ I + J . Da i ∈ I ≤ X e da j ∈ J ≤ X si deduce i, j ∈ X. Pertanto, essendo X un ideale, i + j ∈ X.

2 Anelli quoziente

Un ideale I di un anello A d` a luogo alla relazione definita ponendo, per ogni a, a

⁰

∈ A:

(2.1) a ≡ a

⁰

(mod I) ⇐⇒ (a − a

⁰

) ∈ I.

Poich` e (I, +, 0

_A

) ` e un sottogruppo di (A, +, 0

_A

), tale relazione ` e di equivalenza in A.

Per ogni a ∈ A, la sua classe di equivalenza ` e il laterale I + a := {i + a | i ∈ I}. Quindi:

(2.2) a ≡ a

⁰

(mod I) ⇐⇒ I + a = I + a

⁰

.

Per le precedenti affermazioni si veda il Teorema 4.2 del Capitolo 2 di [4].

(2.3) Lemma Sia I un ideale bilatero di A. Per ogni a, a

⁰

, b, b

⁰

∈ A:

(2.4)

( a ≡ a

⁰

(mod I)

b ≡ b

⁰

(mod I) =⇒ 1) a + b ≡ a

⁰

+ b

⁰

(mod I) 2) ab ≡ a

⁰

b

⁰

(mod I).

Dimostrazione.

1) I ` e un sottogruppo normale del gruppo additivo di A, essendo questo abeliano.

Pertanto, per il Lemma 5.5 di [4], si ha a + b ≡ a

⁰

+ b

⁰

(mod I).

2) Da a − a

⁰

= i

₁

∈ I e da b − b

⁰

= i

₂

∈ I segue: ab − a

⁰

b

⁰

= (a

⁰

+ i

₁

)(b

⁰

+ i

₂

) − a

⁰

b

⁰

=

(a

⁰

i

2

+ i

1

b

⁰

+ i

1

i

2

) ∈ I. Pertanto ab ≡ a

⁰

b

⁰

(mod I).

4 CAPITOLO I. OMOMORFISMI FRA ANELLI

(2.5) Teorema L’insieme

^A_I

dei laterali di I in A ` e un anello rispetto alle operazioni di somma e prodotto cos`ı definite. Per ogni a, b ∈ A:

(I + a) + (I + b) := I + (a + b) (I + a)(I + b) := I + (ab).

Esso ` e detto l’ anello quoziente di A rispetto a I.

Dimostrazione.

A

I

` e un gruppo rispetto alla somma per il Teorema 5.7 del Capitolo 2 di [4]. Chiara- mente ` e abeliano, essendolo A. Il prodotto fra laterali ` e ben definito per il precedente Lemma. Esso ` e associativo:

((I + a)(I + b)) (I + c) = I + (ab)c = I + a(bc) = (I + a) ((I + b)(I + c)) . Il laterale I + 1

_A

` e elemento neutro rispetto al prodotto:

(I + 1

A

)(I + a) = I + 1

A

a = I + a, (I + a)(I + 1

A

) = I + a1

A

= I + a.

Valgono infine le propriet` a distributive della somma rispetto al prodotto:

(I + a) ((I + b) + (I + c)) = (I + a)(I + (b + c)) =

I + a(b + c) = I + ab + ac = (I + ab) + (I + ac) = (I + a)(I + b) + (I + a)(I + c).

In modo analogo si verifica l’altra propriet` a distributiva.

(2.6) Esempio L’anello quoziente

_nZ^Z

, n ≥ 2.

Per ogni laterale nZ + a, esiste un unico intero non negativo r ≤ n − 1, tale che nZ + a = nZ + r. Tale r `e il resto della divisione di a per n.

Pertanto gli elementi dell’anello

_nZ^Z

sono gli n laterali nZ + 0, nZ + 1, . . . , nZ + (n − 1).

La somma e il prodotto sono definite da:

(nZ + a) + (nZ + b) := nZ + (a + b), (nZ + a)(nZ + b) := nZ + (ab).

Poich` e ogni laterale nZ + a coincide con la classe di resti [a]

n

, ` e lo stesso scrivere:

[a]

_n

+ [b]

_n

:= [a + b]

_n

, [a]

_n

[b]

_n

:= [ab]

_n

.

2. ANELLI QUOZIENTE 5

L’ anello

_nZ^Z

si dice anche l’anello delle classi di resti modulo n e si indica con Z

n

. Dato f (x) ∈ K[x], indichiamo con < f (x) > l’ideale generato da f (x). Ossia (2.7) < f (x) >:= K[x]f (x).

(2.8) Lemma Sia f (x) un polinomio di grado n ≥ 1, a coefficienti in un campo K. Per ogni elemento < f (x) > +a(x) dell’anello quoziente

<f (x)>^K[x]

, esiste un unico polinomio r(x) di grado ≤ n − 1 tale che

< f (x) > +a(x) =< f (x) > +r(x).

Esso ` e il resto della divisione di a(x) per f (x).

Dimostrazione. Siano q(x) e r(x) il quoziente e il resto della divisione di a(x) per f (x).

Da a(x) − r(x) = q(x)f (x) ∈< f (x) > segue < f (x) > +a(x) =< f (x) > +r(x). Inoltre, per definizione, r(x) ha grado ≤ n − 1. Supponiamo ora che s(x) sia un polinomio di K[x], di grado ≤ (n − 1), tale che < f (x) > +r(x) =< f (x) > +s(x). Ne segue che f (x) divide il polinomio (r(x) − s(x)), il cui grado ` e ≤ n − 1. Poich` e i multipli non nulli di f (x) hanno grado ≥ n, si conclude che r(x) − s(x) ` e il polinomio nullo, ossia s(x) = r(x).

In particolare, se K `e finito e f (x) ha grado n:

(2.9)

   

K[x]

< f (x) >

  

 = |K|

ⁿ

. (2.10) Esempio

  

Z2[x]

hx²+x+1i

 

 = 2

²

= 4. Gli elementi dell’anello

_hx2^Z+x+1i^2[x]

sono:

x

²

+ x + 1 + 0 x

²

+ x + 1 + 1 x

²

+ x + 1 + x x

²

+ x + 1 + x + 1.

Abbreviando < f (x) > +r(x) in r(x), le tavole di somma e prodotto sono:

+ 0 1 x x + 1

0 0 1 x x + 1

1 1 0 x + 1 x

x x x + 1 0 1

x + 1 x + 1 x 1 0

· 1 x x

²

1 1 x x

²

x x x

²

1 x

²

x

²

1 x

.

(2.11) Definizione Siano A un anello commutativo e I 6= A un suo ideale.

6 CAPITOLO I. OMOMORFISMI FRA ANELLI

Si dice che:

• I ` e primo se, per ogni a, b ∈ A: (ab) ∈ I =⇒ (a ∈ I oppure b ∈ I);

• I ` e massimale se l’unico ideale che contiene propriamente I ` e A stesso.

Per esempio l’ideale nullo {0} ` e primo se e solo se A ` e privo di divisori dello zero. Pi` u in generale si ha:

(2.12) Teorema Sia I 6= A un ideale di un anello commutativo A. L’anello quoziente

A

I

` e privo di divisori dello zero se e solo se I ` e primo.

Dimostrazione.

Supponiamo I primo. Siano I + a, I + b elementi di

^A_I

tali che (I + a)(I + b) = I + 0.

Ne segue I + ab = I + 0, ossia (ab) ∈ I. Per ipotesi, a ∈ I, oppure b ∈ I. Nel primo caso I + a = I + 0, nel secondo I + b = I + 0. Si conclude che

^A_I

` e privo di divisori dello zero. Viceversa, supposto

^A_I

privo di divisori dello zero, siano a, b ∈ A tali che ab ∈ I.

Ne segue (I + a)(I + b) = I + ab = I + 0. Per ipotesi, I + a = I + 0 oppure I + b = I + 0.

Nel primo caso a ∈ I, nel secondo b ∈ I. Si conclude che I ` e primo.

Per il Teorema 1.6, in un campo K l’ideale nullo {0

K

} ` e massimale. Pi` u in generale:

(2.13) Teorema Sia I un ideale di un anello commutativo A. L’anello quoziente

^A_I

` e un campo se e solo se I ` e massimale.

Dimostrazione.

Supponiamo

^A_I

campo. Poich` e un campo ha almeno due elementi, I 6= A. Sia J un ideale di A tale che I < J . Scelto j ∈ J \ I, il laterale I + j ` e diverso da I + 0 e ha quindi inverso I + j. Da (I + j)(I + j) = I + 1

_A

si ha I + jj = I + 1

_A

, ossia jj − 1

_A

∈ I < J.

Notando che jj ∈ J , si ottiene che 1

A

= jj − jj − 1

A

∈ J, da cui J = A per (1.5).

Si conclude che I ` e massimale.

Viceversa, supposto I massimale, dimostriamo che

^A_I

` e un campo, ossia che ogni laterale I + a 6= I + 0

_A

ha inverso. A tale scopo, consideriamo l’ideale principale Aa, generato da a, e l’ideale somma

J := I + Aa = {i + xa | i ∈ I, x ∈ A} .

Da I ≤ J e a ∈ J \ I si deduce I 6= J , quindi J = A, per la massimalit` a di I. Ne

segue 1

_A

∈ J . Esistono pertanto i ∈ I e x ∈ A tali che 1

_A

= i + xa. Concludiamo

I + 1

_A

= I + xa = (I + x)(I + a), ossia I + x = (I + a)

⁻¹

.

3. OMOMORFISMI 7

3 Omomorfismi

Siano A, B due anelli.

(3.1) Definizione Un omomorfismo da A a B ` e una applicazione f : A → B tale che f (1

_A

) = 1

_B

e, per ogni a, b ∈ A:

1) f (a + b) = f (a) + f (b);

2) f (ab) = f (a)f (b).

Si noti che f ` e un omomorfismo dal gruppo (A, +, 0

_A

) al gruppo (B, +, 0

_B

), in virt` u dell’assioma 1). In particolare: f (0

_A

) = 0

_B

e f (−a) = −f (a) per ogni a ∈ A. Poniamo:

Ker f := {a ∈ A | f (a) = 0

B

} .

(3.2) Definizione Un omomorfimo f : A → B si dice:

• un monomorfismo se ` e iniettivo;

• un epimorfismo se ` e suriettivo;

• un isomorfismo se ` e un monomorfismo e un epimorfismo.

Conviene definire sottoanello di un anello R ogni sottogruppo S di (R, +0

R

) tale che 1

R

∈ S e, per ogni r

₁

, r

2

∈ S, anche r

₁

r

2

∈ S.

(3.3) Teorema Sia f : A → B un omomorfismo di anelli.

1) Per ogni sottoanello S di A, la sua immagine f (S) ` e un sottoanello di B;

2) per ogni ideale I di B la sua preimmagine f

⁻¹

(I) ` e un ideale di A;

In particolare Im f = f (A) ` e un sottoanello di B e Ker f ` e un ideale di A.

Dimostrazione.

1) 0

A

∈ S, quindi f (0

_A

) = 0

B

∈ f (S). Siano f (s

₁

), f (s

2

) ∈ f (S). Da s

1

, s

2

∈ S segue (s

1

− s

₂

) ∈ S, quindi f (s

1

) − f (s

2

) = f (s

1

− s

₂

) ∈ f (S). Pertanto f (S) ` e un sottogruppo di (B, +, 0

B

). Inoltre 1

A

∈ S implica f (1

_A

) = 1

B

∈ f (S). Sempre da s

₁

, s

₂

∈ S segue (s

₁

s

₂

) ∈ S. Pertanto f (s

₁

)f (s

₂

) = f (s

₁

s

₂

) ∈ f (S). Si conclude che f (S) ` e un sottoanello.

2) In particolare I ` e un sottogruppo di (B, +, 0

_B

). Da f (0

_A

) = 0

_B

∈ I segue 0

A

∈ f

⁻¹

(I). Siano s

1

, s

2

∈ f

⁻¹

(I). Da f (s

1

), f (s

2

) ∈ I segue che f (s

1

− s

₂

) = (f (s

1

) − f (s

2

)) ∈ I. Pertanto (s

1

− s

₂

) ∈ f

⁻¹

(I). Abbiamo visto cos`ı che f

⁻¹

(I) ` e un sottogruppo di (A, +, 0

_A

). Per ogni a ∈ A e per ogni s ∈ f

⁻¹

(I) si ha f (as) = f (a)f (s).

Da f (s) ∈ I segue f (a)f (s) ∈ I, ossia f (as) ∈ I. Pertanto as ∈ f

⁻¹

(I). Analogamente

si verifica che sa ∈ f

⁻¹

(I). Concludiamo che f

⁻¹

(I) ` e un ideale.

8 CAPITOLO I. OMOMORFISMI FRA ANELLI

Infine, considerando il sottoanello S = A, si ha che Im f = f (A) ` e un sottoanello di B, e considerando l’ideale I = {0

_B

} si ha che la sua preimmagine Ker f := f

⁻¹

({0

_B

})

`

e un ideale di A.

(3.4) Definizione

• B si dice immagine epimorfa di A, se esiste un epimorfismo f : A → B:

• A si dice isomorfo a B, e si scrive A ∼ B, se esiste un isomorfismo f : A → B.

La relazione di isomorfismo fra anelli ` e riflessiva, simmetrica e transitiva. Dal punto di vista dell’algebra, anelli isomorfi sono identificati.

Le immagini epimorfe di un anello A sono, a meno di isomorfismi, tutti e soli i suoi anelli quoziente. Vale infatti il seguente:

(3.5) Teorema fondamentale sugli omomorfismi

1) Siano I un ideale di A e

^A_I

il corrispondente anello quoziente. La proiezione canonica π : A →

^A_I

definita ponendo

π(a) := I + a

`

e un epimorfismo di anelli. Inoltre Ker π = I.

2) Siano f : A → B un omomorfismo di anelli e π : A →

_{Ker f}^A

la proiezione canonica. Allora f induce un unico isomorfismo di anelli

f : A

Ker f → Im f tale che f π = f . In particolare

A

Ker f ∼ Im f.

Dimostrazione.

1) π ` e un epimorfismo di gruppi additivi e Ker π = I, per il Teorema 7.7 di [4].

Inoltre π(1

_A

) = I + 1

_A

, unit` a moltiplicativa di

^A_I

e, per ogni a, b ∈ A:

π(ab) := I + (ab) = (I + a)(I + b) = π(a)π(b).

2) Sempre per il Teorema 7.7 di [4]. ponendo f (Ker f + a) := f (a)

si definisce un isomorfismo di gruppi additivi f :

_{Ker f}^A

→ Im f che soddisfa la condizione

f π = f . Inoltre tale condizione determina univocamente f .

4. ESERCIZI 9

Infine f (Ker f + 1

_A

) = f (1

_A

) = 1

_B

e

f ((Ker f + a)(Ker f + b)) = f (Ker f + ab) = f (ab) = f (a)f (b).

Si conclude che f ` e un isomorfismo di anelli.

4 Esercizi

(4.1) Esercizio In Q si calcoli l’ideale principale generato da 7.

(4.2) Esercizio In R si calcoli l’ideale principale generato da √ 5.

(4.3) Esercizio Sia I un ideale sinistro (destro) dell’anello A e sia i ∈ I. Si dimostri che se i ` e unitario, allora I = A.

(4.4) Esercizio Si dimostri che 7Z := {7z | z ∈ Z} `e un ideale di Z e che `e proprio.

(4.5) Esercizio Posto < 7 >:= 7Z, si dimostri che la proiezione canonica π : Z →

_<7>^Z

tale che π(z) :=< 7 > +z, ` e un epimorfismo di anelli, e si calcoli Ker π.

(4.6) Esercizio Verificare direttamente che:

6Z − 10 = 6Z + 2, 15Z + 64 = 15Z + 4, 10Z − 2 = 10Z + 28.

(4.7) Esercizio Si dimostri che xQ[x] := {xf (x) | f (x) ∈ Q[x]} `e un ideale di Q[x] e che ` e proprio.

(4.8) Esercizio Posto < x >:= xQ[x], si dimostri che la proiezione canonica π : Q[x] → Q[x]

< x >

tale che π (f (x)) :=< x > +f (x) ` e un epimorfismo di anelli, e si calcoli Ker π.

(4.9) Esercizio Nell’anello Q[x], indicando con < g(x) > l’ideale principale generato da g(x), verificare direttamente che:

< x

²

+ 1 > +x

³

+ 2x = < x

²

+ 1 > +x

< x

⁴

> +x

⁶

+ x − 1 = < x

⁴

> +x − 1

< x − 1 > +x

²

− 1 = < x − 1 > .

10 CAPITOLO I. OMOMORFISMI FRA ANELLI

(4.10) Esercizio Si scrivano gli elementi e le tavole di somma e prodotto degli anelli Z

3

, Z

4

, Z

5

, Z

6

. Per ciascuno di tali anelli si dica se sono campi.

(4.11) Esercizio Si scrivano gli elementi e le tavole di somma e prodotto dell’anello

Z2[x]

hx²+1i

, abbreviando x

²

+ 1 + r(x) in r(x). Si dica se tale anello `e un campo.

(4.12) Esercizio Si scrivano gli elementi e le tavole di somma e prodotto dell’anello

Z3[x]

hx²+1i

. Si dica se tale anello ` e un campo. In caso affermativo si indichi un generatore

del gruppo moltiplicativo dei suoi elementi non nulli.

Capitolo II

Dominii a ideali principali

1 Definizione ed esempi

Ricordiamo che, dato un anello A, l’insieme A

^∗

degli elementi che hanno inverso molti- plicativo in A, ` e un gruppo rispetto al prodotto. Diciamo inoltre che A ` e un dominio di integrit` a se ` e commutativo e privo di divisori dello zero. Un elemento b ∈ A divide a ∈ A, e si scrive b|a, se esiste q ∈ A tale che a = bq. Per il Lemma 1.4, Capitolo IV di [4], la relazione “divide” in A ` e riflessiva e transitiva. D’altra parte, dati a, b non nulli (1.1) (a|b e b|a) ⇐⇒ b = aλ, λ ∈ A

^∗

.

Ricordiamo che, per il Lemma 1.3, l’ideale principale Aa, generato da a, ` e il minimo ideale di A al quale appartiene a.

(1.2) Lemma Siano a, b due elementi non nulli di un dominio di integrit` a A.

1) Aa ≤ Ab se e solo se b|a;

2) Aa = Ab se e solo se b = λa, con λ ∈ A

^∗

. In particolare A = Ab se e solo se b ∈ A

^∗

. Dimostrazione.

1) Se Aa ≤ Ab, si ha a ∈ Ab. Esiste quindi q ∈ A tale che a = qb. Viceversa, se esiste q ∈ A tale che a = qb, si ha: Aa = A(qb) = (Aq)b ≤ Ab.

2) Se Aa = Ab allora, per il punto precedente, a|b e b|a. Da (1.1) segue b = λa, con λ ∈ A

^∗

. Viceversa se b = λa, con λ ∈ A

^∗

, si ha anche a = λ

⁻¹

b. Da b = λa si deduce Ab ≤ Aa, da a = λ

⁻¹

b si deduce Aa ≤ Ab e si conclude Aa = Ab.

L’ultima osservazione segue dal punto 2), con a = 1

_A

.

11

12 CAPITOLO II. DOMINII A IDEALI PRINCIPALI

(1.3) Definizione Un dominio a ideali principali D ` e un dominio di integrit` a in cui ogni ideale I ` e principale, ovvero esiste i ∈ I tale che I = Di.

(1.4) Teorema Sia I un ideale non nullo di un dominio euclideo D, rispetto ϕ : D \ {0

D

} → N

e sia n

0

il minimo di ϕ (I \ {0

_D

}). Per ogni i

₀

∈ I \ {0

_D

} tale che ϕ(i

₀

) = n

0

si ha I = Di

₀

.

In particolare ogni dominio euclideo ` e a ideali principali.

Dimostrazione. Da i

₀

∈ I segue Di

₀

≤ I per definizione di ideale. Viceversa sia i ∈ I.

Per definizione di dominio euclideo, esistono q, r ∈ D tali che i = i

₀

q+r, con ϕ(r) < ϕ(i

₀

) oppure r = 0

D

. Poich` e i

0

q ∈ I, anche r = (i − i

0

q) ∈ I. Ne segue r = 0

D

, da cui i ∈ Di

0

. In particolare abbiamo dimostrato che ogni ideale non nullo di D ` e principale.

Chiaramente anche l’ideale {0

D

} = D0

_D

` e principale.

In quanto dominii euclidei, i seguenti anelli sono dominii a ideali principali:

• l’anello Z dei numeri interi,

• ogni campo K,

• l’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in K.

2 Fattorialit` a dei dominii a ideali principali

Ricordiamo che, in base alla Definizione 1.13 del Capitolo IV di [4]), un elemento p ∈ D, non nullo e non invertibile, ` e irriducibile se ha solo fattorizzazioni banali, ossia se, per ogni a, b ∈ D:

p = ab =⇒ (a ∈ D

^∗

oppure b ∈ D

^∗

) .

Scopo di questo paragrafo ` e dimostrare che ogni elemento non nullo di un dominio a ideali principali D si scrive, in modo essenzialmente unico, come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili. Ossia che D ` e fattoriale, secondo la definizione 1.18, Capitolo IV di [4].

(2.1) Teorema Due elementi a, b di un dominio a ideali principali D hanno sempre

un massimo comun divisore d ∈ D. Inoltre d pu` o essere scritto nella forma d = ax + by,

per opportuni x, y ∈ D.

2. FATTORIALIT ` A DEI DOMINII A IDEALI PRINCIPALI 13

Dimostrazione. Considerati gli ideali principali Da e Db, generati rispettivamente da a e da b, sappiamo che la loro somma Da + Db ` e un ideale. Esiste quindi d ∈ Da + Db tale che Da + Db = Dd. In particolare:

(2.2) d = xa + yb con x, y ∈ D.

Da Da ≤ Da + Db = Dd segue Da ≤ Dd, ossia d|a. Analogamente d|b. Infine sia c ∈ D un divisore comune di a e di b. Sostituendo a = ac, b = bc (a, b ∈ D) nella relazione (2.2), si ottiene d = c(xa + yb), ovvero c|d. Si conclude che d = M.C.D.(a, b).

Per il Corollario 2.6 e il Lemma 3.1 del Capitolo IV di [4] si ha allora:

(2.3) Lemma In un dominio a ideali principali, un elemento ` e irriducibile se e solo se ` e primo.

(2.4) Teorema In un dominio a ideali principali D ogni catena ascendente di ideali I

1

< I

2

< . . . < I

k

< . . . ` e finita.

Dimostrazione.

Si verifica facilmente che l’unione insiemistica I := ∪

j

I

j

di tutti gli ideali della catena ` e un ideale. Esiste quindi d ∈ I tale che I = Dd. Chiaramente d appartiene a un ideale I

n

della catena, per qualche indice n. Ne segue I ≤ I

n

da cui I = I

n

. Pertanto I

n

`

e l’ultimo ideale della catena.

(2.5) Corollario Ogni dominio a ideali principali D ` e fattoriale.

Dimostrazione.

1) Ogni elemento unitario ` e prodotto di 0 irriducibili. Ogni elemento irriducibile, ` e prodotto di 1 irriducibile (se stesso !). Sia ora a un elemento riducibile, e sia a = a

₁

a

₂

una sua fattorizzazione non banale in D, ossia a

₁

6∈ D

^∗

, a

₂

6∈ D

^∗

. In virt` u del Lemma 1.2 si ottiene l’ inclusione propria di ideali:

Da < Da

₁

.

Se a

1

` e riducibile, possiamo inserire un nuovo ideale nella catena. Infatti, considerata una fattorizzazione non banale a

1

= b

1

b

2

in D, otteniamo

Da < Da

₁

< Db

₁

.

14 CAPITOLO II. DOMINII A IDEALI PRINCIPALI

In virt` u del Teorema 2.4, il procedimento di inserzione di ideali ha termine dopo un numero finito di iterazioni. Si perviene a un fattore irriducibile p

₁

di a. Posto a = p

₁

q

₁

, per il ragionamento precedente q

₁

deve avere un fattore irriducibile p

₂

. Posto q

₁

= p

₂

q

₂

si ha Da < Dq

1

< Dq

2

. Per il Teorema 2.4 il procedimento ha termine, ossia a ` e prodotto di un numero finito, ≥ 2, di elementi irriducibili.

2) L’essenziale unicit` a della fattorizzazione di un elemento si basa sul fatto che ogni elemento irriducibile ` e primo. Si dimostra in modo analogo a quanto fatto nel Teorema 3.2 Capitolo IV di [4]. L’induzione su ϕ va sostituita con l’induzione su k = k(a), dove k(a) rappresenta il minimo numero dei fattori di ogni fattorizzazione di a ∈ A.

3 Ideali massimali nei dominii a ideali principali

(3.1) Teorema Siano D un dominio a ideali principali e p un suo elemento non nullo.

1) L’ideale Dp ` e massimale se e solo se p ` e irriducibile;

2) l’anello quoziente

_Dp^D

` e un campo se e solo se p ` e irriducibile.

Dimostrazione.

1) Supponiamo Dp massimale. Se p, per assurdo, fosse riducibile, ammetterebbe una fattorizzazione non banale p = ab, ossia a 6∈ D

^∗

, b 6∈ D

^∗

. In virt` u del Lemma 1.2 si avrebbe Dp < Da < D, in contrasto con l’ipotesi Dp massimale. Viceversa, supponiamo p irriducibile. Per assurdo, sia I un ideale di D tale che Dp < I < D.

Essendo I principale, esiste i ∈ I tale che I = Di. Da Dp < Di segue che i divide p.

Per l’irriducibilit` a di p si ha p = λi con λ ∈ D

^∗

. Si conclude Dp = Di, contraddizione con l’ipotesi Dp < I = Di.

2) Per il Teorema 2.13 del Capitolo I, l’anello quoziente

_Dp^D

` e un campo se e solo se l’ideale Dp ` e massimale. Dal punto precedente segue l’asserto.

Di conseguenza, indicando con < d > l’ideale principale Dd:

• l’anello Z

n

=

_<n>^Z

` e un campo se e solo se n ` e primo;

• l’anello

<f (x)>^K[x]

` e un campo se e solo se f (x) ` e irriducibile.

(3.2) Esempio Z

2

, Z

3

, Z

5

, Z

7

, Z

11

sono campi, di rispettivi ordini: 2, 3, 5, 7, 11.

(3.3) Esempio

_hx2^Z+x+1i^2[x]

(si veda esempio 2.10 del Capitolo I) ` e un campo con 4 ele-

menti. Esso ` e detto campo di Galois di ordine 4 e viene indicato con F

4

.

4. IL TEOREMA CINESE DEL RESTO 15

(3.4) Teorema (di Fermat) Per ogni primo p e per ogni a ∈ Z, non divisibile per p:

a

^p−1

≡ 1 (mod p).

Dimostrazione.

Z

p

` e un campo con p elementi. Il suo gruppo moltiplicativo Z

^∗p

= Z

p

\ {[0]

_p

} ha quindi ordine p − 1 e, per il Teorema di Lagrange, ogni suo elemento ha periodo che divide p − 1. Ne segue che, per ogni intero a, non divisibile per p, si ha ([a]

_p

)

^p−1

= [1]

_p

, ossia a

^p−1

≡ 1 (mod p).

(3.5) Esempio

37

⁷⁰

≡ 1 (mod 71), 48

⁹⁶

≡ 1 (mod 97).

4 Il Teorema cinese del resto

Sia Dd l’ideale principale generato da d ∈ D. In conformit` a con (2.1) del Capitolo 1, per ogni a, a

⁰

∈ A si ha

a ≡ a

⁰

(mod Dd) ⇐⇒ (a − a

⁰

) ∈ Dd ⇐⇒ d|(a − a

⁰

).

D’ora in poi, anzich` e scrivere a ≡ a

⁰

(mod Dd), scriveremo pi` u semplicemente a ≡ a

⁰

(mod d)

in analogia con le notazioni usate quando D = Z.

Per il Lemma 2.3 del Capitolo I la congruenza (mod d) ` e una relazione di equiv- alenza in D, compatibile con somma e prodotto. Ossia:

( a ≡ a

⁰

(mod d) b ≡ b

⁰

(mod d) =⇒

( a + b ≡ a

⁰

+ b

⁰

(mod d) ab ≡ a

⁰

b

⁰

(mod d)

(4.1) Definizione Siano a, b, d ∈ D. Una soluzione della congruenza lineare

(4.2) ax ≡ b (mod d)

`

e un elemento c ∈ D tale che ac ≡ b (mod d).

16 CAPITOLO II. DOMINII A IDEALI PRINCIPALI

(4.3) Teorema (cinese del resto) Siano d

₁

, . . . , d

_n

elementi a due a due coprimi di un dominio a ideali principali D. Scelti comunque b

₁

, . . . , b

_n

∈ D, esistono in D soluzioni del sistema di congruenze lineari

(4.4)







x ≡ b

₁

(mod d

₁

) . . . . . . x ≡ b

_n

(mod d

_n

).

Detta c una soluzione, le altre sono tutti e soli gli elementi c

⁰

∈ D tali che c

⁰

≡ c (mod

n

Y

`=1

d

_`

).

Dimostrazione.

Per 1 ≤ i ≤ n, poniamo t

_i

:= Q

`6=i

d

_`

. Risulta

M.C.D.(t

i

, d

i

) = 1

D

, 1 ≤ i ≤ n.

Infatti se fosse, ad esempio, M.C.D.(t

1

, d

1

) 6= 1

D

, esisterebbe un primo p che divide sia t

₁

sia d

₁

. Ne segue che p dovrebbe dividere uno dei fattori di t

₁

= d

₂

· · · d

_n

. A meno dell’ordine possiamo supporre che p|d

₂

, in contrasto con l’ipotesi M.C.D.(d

₂

, d

₁

) = 1

_D

.

Per 1 ≤ i ≤ n, esistono pertanto y

i

, z

i

∈ D tali che t

_i

y

i

+ d

i

z

i

= 1

D

. Ne segue :

(4.5) t

i

y

i

≡ 1

_D

(mod d

i

) 1 ≤ i ≤ n t

_j

y

_j

≡ 0

_D

(mod d

_i

) 1 ≤ i 6= j ≤ n . Posto

c =

n

X

j=1

t

j

y

j

b

j

,

verifichiamo che c ` e soluzione di (4.4). Infatti, fissato un qualunque indice i, si ha : c = t

i

y

i

b

i

+ X

j6=i

t

j

y

j

b

j

≡ b

_i

(mod d

i

).

Determiniamo ora le altre soluzioni, ponendo d = Q

n

1

d

_`

. Sia c

⁰

≡ c (mod d). Ne segue

c

⁰

≡ c (mod d

_i

) per i ≤ n, quindi c

⁰

` e soluzione del sistema. Viceversa, sia x ∈ D una

soluzione di (4.4). Si ha x ≡ b

_i

≡ c (mod d

_i

) per 1 ≤ i ≤ n. In altre parole d

_i

divide

(x − c) per 1 ≤ i ≤ n. Si conclude che m.c.m.(d

₁

, . . . , d

_n

) = d divide (x − c), ossia che

x ≡ c (mod d).

5. LA DECOMPOSIZIONE PRIMARIA 17

5 La decomposizione primaria

Dati due anelli A e B, il loro prodotto cartesiano A × B :=

 a b



| a ∈ A, b ∈ B



risulta un anello rispetto alle operazioni definite ponendo:

(5.1)

 a

₁

b

1

 +

 a

₂

b

2

 :=

 a

₁

+ a

₂

b

1

+ b

2

 ,

 a

₁

b

1

  a

₂

b

2

 :=

 a

₁

a

₂

b

1

b

2

 . La verifica ` e lasciata per esercizio.

(5.2) Definizione Il precedente anello si dice la somma diretta di A e B e si indica con A ⊕ B.

(5.3) Teorema Sia D un dominio a ideali principali e siano d, d

₁

, d

₂

∈ D tali che d = d

₁

d

₂

con M.C.D.(d

₁

, d

₂

) = 1

_D

. Allora:

D

Dd ∼ D

Dd

1

⊕ D

Dd

2

.

Dimostrazione.

Consideriamo l’applicazione f : D →

_Dd^D

1

⊕

_Dd^D

2

definita ponendo, per ogni a ∈ D:

f (a) :=

 Dd

1

+ a Dd

₂

+ a

 .

Si ha che f (1

_D

) :=

 Dd

₁

+ 1

_D

Dd

₂

+ 1

_D



` e l’ unit` a moltiplicativa di

_Dd^D

1

⊕

_Dd^D

2

. Inoltre, per ogni a, b ∈ D :

f (a + b) :=

 Dd

₁

+ a + b Dd

₂

+ a + b



=

 Dd

₁

+ a Dd

₂

+ a

 +

 Dd

₁

+ b Dd

₂

+ b



= f (a) + f (b).

f (ab) :=

 Dd

1

+ ab Dd

₂

+ ab



=

 Dd

1

+ a Dd

₂

+ a

  Dd

1

+ b Dd

₂

+ b



= f (a)f (b).

Pertanto f ` e un omomorfismo di anelli.

Verifichiamo ora che Ker f = Dd. Infatti a ∈ Ker f se e solo se

 Dd

₁

+ a = Dd

₁

Dd

2

+ a = Dd

2

⇐⇒ a ∈ Dd

₁

∩ Dd

₂

= Dd.

Infine f ` e suriettiva per il Teorema cinese del resto. A tale scopo, notiamo che l’ elemento

 Dd

₁

+ b

₁

Dd

₂

+ b

₂



18 CAPITOLO II. DOMINII A IDEALI PRINCIPALI

del codominio, ha come preimmagine in D una qualunque soluzione c del sistema

 x ≡ b

1

(mod d

1

) x ≡ b

₂

(mod d

₂

) . Infatti:

f (c) =

 Dd

1

+ c Dd

2

+ c



=

 Dd

1

+ b

1

Dd

2

+ b

2

 .

Per il Teorema fondamentale degli omomorfismi, f induce un isomorfismo f : D

Dd → D

Dd

1

⊕ D

Dd

2

.

(5.4) Corollario Sia d = p

^m₁¹

. . . p

^m_nⁿ

una fattorizzazione di d, dove p

1

, . . . , p

n

sono n ≥ 2 elementi irriducibili di D, a due a due coprimi (non associati). Allora

(5.5) D

Dd ∼ D

Dp

^m₁ ¹

⊕ · · · ⊕ D Dp

^mnⁿ

(decomposizione primaria).

Dimostrazione. Ragioniamo per induzione su n, ponendo d

1

= p

^m₁¹

, d

2

= p

^m₂²

. . . , p

^m_nⁿ

. Dall’ipotesi che i p

_i

sono a due a due coprimi, segue che M.C.D.(d

₁

, d

₂

) = 1

_D

. Pertanto, per il Teorema 5.3, si ha

D

Dd ∼ D

Dp

^m₁¹

⊕ D

D (p

^m₂²

. . . , p

^m_nⁿ

) .

Per n = 2 l’asserto si ottiene direttamente. Per n > 2 l’asserto si ottiene per induzione.

(Conviene tener presenti gli Esercizi 6.15 e 6.16).

(5.6) Esempio Z

300

∼ Z

4

⊕ Z

3

⊕ Z

25

. (5.7) Esempio

_hx^Q[x]2−1i

∼

_hx−1i^Q[x]

⊕

_hx+1i^Q[x]

.

6 Esercizi

(6.1) Esercizio Si verifichi che

 a ≡ a

⁰

(mod d) b ≡ b

⁰

(mod d) =⇒

 a + b ≡ a

⁰

+ b

⁰

(mod d)

ab ≡ a

⁰

b

⁰

(mod d)

6. ESERCIZI 19

(6.2) Esercizio Si dimostri che le congruenze x ≡ 8 (mod 5) e x ≡ 23 (mod 5) sono equivalenti, ossia hanno le stesse soluzioni in Z.

(6.3) Esercizio Si dimostri che le congruenze

X ≡ x + 1 (mod x

²

+ 4), X ≡ 3x

³

− x

²

+ 13x − 3 (mod x

²

+ 4) sono equivalenti, ossia hanno le stesse soluzioni in Q[x].

(6.4) Esercizio Si determinino tutte le soluzioni intere del sistema (6.5)

 x ≡ 3 (mod 5) x ≡ 0 (mod 7).

(6.6) Esercizio Si determinino tutte le soluzioni intere del sistema

(6.7)







x ≡ 1 (mod 14) x ≡ −1 (mod 15) x ≡ 4 (mod 11).

(6.8) Esercizio In Q[x] si determinino tutte le soluzioni del sistema (6.9)

 X ≡ 2x (mod x

²

− 1) X ≡ 2x (mod x

²

+ 1).

(6.10) Esercizio In Q[x] si determinino tutte le soluzioni del sistema (6.11)

 X ≡ 0 (mod x + 2) X ≡ x + 1 (mod x

⁴

+ 3).

(6.12) Esercizio Si calcoli l’ordine e la decomposizione primaria di ciascuno dei seguenti anelli

Z

15

, Z

45

, Z

15

⊕ Z

45

, Z

28

⊕ Z

2

⊕ Z

2

⊕ Z

135

.

(6.13) Esercizio Si trovi la decomposizione primaria dei seguenti anelli C[x]

hx

²

+ 1i , C[x]

hx

³

− 1i , C[x]

hx

⁴

− 2x

²

+ 1i .

(6.14) Esercizio Si calcoli l’ordine e la decomposizione primaria di ciascuno dei seguenti anelli

Z

3

[x]

hx

³

i , Z

5

[x]

hx

²

+ 1i , Z

2

[x]

hx

³

+ x + 1i .

20 CAPITOLO II. DOMINII A IDEALI PRINCIPALI

(6.15) Esercizio Siano A, B, C anelli. Si dimostri che A ⊕ (B ⊕ C) ∼ (A ⊕ B) ⊕ C.

(6.16) Esercizio Siano A, B, A

⁰

, B

⁰

anelli, con A ∼ A

⁰

, B ∼ B

⁰

. Si dimostri che A ⊕ B ∼ A

⁰

⊕ B

⁰

.

(6.17) Esercizio Siano A, B anelli. Si dimostri che A ⊕ B ∼ B ⊕ A.

Capitolo III

Matrici

In questo capitolo R indica un anello commutativo.

1 Operazioni sulle matrici

Per ogni m, n ≥ 1, indichiamo con Mat

m,n

(R) l’insieme delle matrici m × n a elementi in R. Se n = m, tale insieme si indica anche con Mat

_n

(R). Se C = (c

_ij

) ∈ Mat

_m,n

(R), la sua trasposta C

^t

` e la matrice le cui righe sono le colonne di C. Quindi C

^t

= (c

_ji

) ∈ Mat

_n,m

(R). La somma e il prodotto in R inducono, in modo naturale, le seguenti oper- azioni componente per componente fra matrici di Mat

m,n

(R). Precisamente, per ogni:

C =





c

₁₁

. . . c

_1n

. . . . . . . . . c

m1

. . . c

mn



 , D =





d

₁₁

. . . d

_1n

. . . . . . . . . d

m1

. . . d

mn



 ,

e per ogni r ∈ R, si pone

(1.1) C + D :=





c

₁₁

+ d

₁₁

. . . c

_1n

+ d

_1n

. . . . . . . . . c

m1

+ d

m1

. . . c

mn

+ d

mn



 , rC :=





rc

₁₁

. . . rc

_1n

. . . . . . . . . rc

m1

. . . rc

mn



 .

Si definisce il prodotto di un elemento di Mat

1,s

(R) per un elemento di Mat

s,1

(R), ossia di un vettore riga per un vettore colonna con s componenti, mediante:

(1.2) a

₁

. . . a

_s



 b

1

. . . b

_s



 := a

₁

b

₁

+ · · · + a

_s

b

_s

=

s

X

k=1

a

_k

b

_k

.

Questo consente di definire il prodotto righe per colonne di due matrici A = (a

_ij

) ∈ Mat

_m,s

(R), B = (b

_ij

) ∈ Mat

_s,n

(R)

21

22 CAPITOLO III. MATRICI

come la matrice AB ∈ Mat

_m,n

(R), la cui componente di posto (i, j) ` e il prodotto della riga i-esima di A per la colonna j-esima di B. In simboli:

(1.3) AB =

s

X

k=1

a

ik

b

kj

! .

Segue facilmente che (AB)

^t

= B

^t

A

^t

.

Per semplificare le notazioni converr` a scrivere 0 per 0

_R

e 1 per 1

_R

. In Mat

_s,1

(R), consideriamo i vettori colonna:

(1.4) e

₁

:=







 1 0 . . .

0









, e

₂

:=







 0 1 . . .

0









, . . . , e

_s

:=







 0 0 . . .

1







 .

Per ogni A ∈ Mat

_m,s

(R), la sua prima colonna coincide con Ae

₁

, la seconda con Ae

₂

, ecc... Quindi, suddividendo A nelle sue colonne:

A = Ae

1

. . . Ae

s

. Analogamente, suddividendo B nelle sue righe:

B =







 e

^t₁

B

. . . e

^t_s

B







 .

Si noti che le colonne di AB sono combinazione lineare di quelle di A. Precisamente:

AB = b

11

(Ae

1

) + . . . + b

s1

(Ae

s

) . . . b

1n

(Ae

1

) + . . . + b

sn

(Ae

s

)
. Analogamente le righe di AB sono combinazione lineare di quelle di B. Precisamente:

AB =









a

11

e

^t₁

B
+ · · · + a

_1s

e

^t_s

B
. . . .

a

_m1

e

^t₁

B
+ · · · + a

_ms

e

^t_s

B







 .

(1.5) Esempio

A =

 3 −1 0

4 0 2

 , B =



 2 2 3 −1 4 6



 , AB =

 3 7

16 20



.

1. OPERAZIONI SULLE MATRICI 23

A =

 3 −1 0

4 0 2



= Ae

₁

Ae

₂

Ae

₃

, infatti:

A



 1 0 0



 =

 3 4

 , A



 0 1 0



 =

 −1 0

 , A



 0 0 1



 =

 0 2

 .

B =









2 2

3 −1

4 6









=







 e

^t₁

B e

^t₂

B e

^t₃

B









, infatti:

1 0 0
B = 2 2
, 0 1 0
B = 3 −1
, 0 0 1
B = 4 6
.

AB =

 3 7

16 20



= 2Ae

1

+ 3Ae

2

+ 4Ae

3

2Ae

1

− Ae

₂

+ 6Ae

3

=

3 7

16 20

!

= 3 e

^t₁

B
− e

^t₂

B
+ 0 e

^t₃

B
4 e

^t₁

B
+ 0 e

^t₂

B
+ 2 e

^t₃

B

! . Infine:

B

^t

A

^t

=

 2 3 4

2 −1 6







3 4

−1 0

0 2



 =

 3 16 76 20



= (AB)

^t

.

Spesso ` e utile eseguire il prodotto di matrici a blocchi, con le regole fornite dal (1.6) Teorema Date A ∈ Mat

_m,s

(R), B ∈ Mat

_s,n

(R) e fissate delle partizioni

m = m

1

+ m

2

, s = s

1

+ s

2

, n = n

1

+ n

2

si suddividano A e B in blocchi

A =

 A

1

A

2

A

₃

A

₄



, B =

 B

1

B

2

B

₃

B

₄



dove A

₁

, A

₂

, A

₃

e A

₄

hanno rispettivamente ordini m

₁

× s

₁

, m

₁

× s

₂

, m

₂

× s

₁

, m

₂

× s

₂

; B

1

, B

2

, B

3

e B

4

hanno rispettivamente ordini s

1

× n

₁

, s

1

× n

₂

, s

2

× n

₁

e s

2

× n

₂

. Allora:

AB = A

1

B

1

+ A

2

B

3

A

1

B

2

+ A

2

B

4

A

3

B

1

+ A

4

B

3

A

3

B

2

+ A

4

B

4

! .

Tale regola ` e utile soprattutto quando qualcuno dei blocchi A

_i

oppure B

_i

` e nullo.

(1.7) Esempio

 X 0

0 Y

  Z 0 0 T



=

 XZ 0

0 Y T



24 CAPITOLO III. MATRICI

(1.8) Esempio

 X 0

U Y

  Z 0

V T



=

 XZ 0

U Z + Y V Y T

 .

(1.9) Esempio Chiamiamo v

1

= Be

1

, · · · , v

n

= Be

n

le colonne di una matrice B ∈ Mat

s,n

(R). Per ogni A ∈ Mat

m,s

(R) si ha AB = A (v

1

| · · · |v

_n

) = (Av

1

| · · · |Av

_n

).

Le propriet` a delle operazioni fra matrici sono riassunte dal seguente Teorema, la cui dimostrazione ` e basata sul calcolo diretto.

(1.10) Teorema

1) Mat

m,n

(R) ` e un gruppo abeliano rispetto alla somma di matrici;

2) Mat

_n

(R) ` e un anello rispetto alla somma e al prodotto di matrici;

3) per ogni A, A

₁

, A

₂

∈ Mat

_m,s

(R), B, B

₁

, B

₂

∈ Mat

_s,n

(R), C ∈ Mat

_n,`

(R):

• (A

₁

+ A

₂

) B = A

₁

B + A

₂

B;

• A (B

₁

+ B

2

) = AB

1

+ AB

2

;

• (AB)C = A(BC).

2 Il gruppo GL

₂

(R) e alcuni suoi sottogruppi

(2.1) Definizione Data A =

 a b c d



∈ Mat

₂

(R), poniamo:

det A := ad − bc (determinante di A).

Un calcolo diretto mostra che, per ogni A, B ∈ Mat

₂

(R), si ha:

det(AB) = (det A)(det B).

(2.2) Lemma Il gruppo Mat

₂

(R)

^∗

delle matrici che hanno inversa in Mat

₂

(R) ` e costi- tuito dalle matrici il cui determinante appartiene a R

^∗

, ossia ha inverso in R.

Dimostrazione. Sia A =

 a b c d



∈ Mat

₂

(R).

Se ad − bc ha inverso ρ ∈ R, allora la matrice dρ −bρ

−cρ aρ

!

∈ Mat

₂

(R)

e si verifica direttamente che ` e inversa di A. Viceversa, se A ha inversa, da AA

⁻¹

= I

segue (det A)(det A

⁻¹

) = det I = 1

_R

. Si conclude che det(A

⁻¹

) ` e l’inverso di det A.

2. IL GRUPPO GL

2

(R) E ALCUNI SUOI SOTTOGRUPPI 25

(2.3) Definizione Mat

2

(R)

^∗

si dice il gruppo generale lineare di grado 2 su R e si indica con GL

2

(R).

Analizziamo ora alcuni sottogruppi di tale gruppo.

(2.4) Lemma L’insieme delle matrici di permutazione:

 1 0 0 1

 ,

 0 1 1 0



`

e un sottogruppo di GL

₂

(R), isomorfo al gruppo simmetrico Sym(2).

(2.5) Lemma Le matrici della forma

 1 0 r 1



| r ∈ R



formano un sottogruppo di GL

₂

(R), isomorfo al gruppo additivo (R, +, 0).

Dimostrazione.

L’applicazione f : R → GL

2

(R) tale che, per ogni r ∈ R:

r 7→

 1 0 r 1



`

e un monomorfismo di gruppi. Infatti:

f (r

₁

+ r

₂

) =

 1 0

r

₁

+ r

₂

1



=

 1 0 r

₁

1

  1 0 r

₂

1



= f (r

₁

)f (r

₂

).

Conviene introdurre la seguente notazione:

(2.6) E

11

:=

 1 0 0 0



, E

12

:=

 0 1 0 0



, E

21

:=

 0 0 1 0



, E

22

:=

 0 0 0 1

 . In tal modo, il sottogruppo del Teorema 2.5 si denota mediante:

{I + rE

₂₁

| r ∈ R} .

Tale sottogruppo e il suo trasposto {I + rE

₁₂

| r ∈ R} ` e si dicono sottogruppi radicali.

(2.7) Lemma Le matrici diagonali del tipo:

 ν

₁

0 0 ν

₂



| ν

_i

∈ R

^∗



costituiscono un sottogruppo di GL

2

(R), detto diagonale.