Analisi Matematica 1 10 aprile 2017 COMPITO 1 1. Il luogo degli z 2 C tali che |e

Analisi Matematica 1 10 aprile 2017 COMPITO 1

1. Il luogo degli z2 C tali che

|e^z2| + Im(z²+ ¯z²) =|e^7i|z||

`e dato da

Risp.: A : l’unione di due rette B : un punto C : una parabola D : l’unione di una retta e una parabola

2. Il limite

n!+1lim

(n + 1)!(n + 2)ⁿlog(1 + sin_n¹) n!(nⁿ+ e²n²)

vale

Risp.: A : e ² B : 1 C : +1 D : e²

3. Il limite

xlim!0

log cos²(p 2x) sin x + 1 e^x vale

Risp.: A : 0 B : 1 C : 4 D : 2

4. Sia f : [0, 1]! R data da

f (x) = 7x²+ 2x.

Allora il punto dato dal teorema di Lagrange `e

Risp.: A : 1 B : non `e applicabile il teorema di Lagrange C : ¹₂ D : ¹₃

5. Sia ↵2 R. La serie

+1

X

n=1

(2 ↵)ⁿ log(1 + 7ⁿ) converge se e solo se

Risp.: A : 1 < ↵ < 3 B : 1 < ↵  3 C : 1  ↵ < 3 D : ↵ > 1

6. L’integrale Z 1

1

⇥x²+ x + arctan x³⇤ dx vale

Risp.: A : ⁵₃ B : ^⇡₄ C : ^⇡₂ D : 1

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ 4y = ( 3x²+ 4x + 2)e^x y(0) = 1

limx!+1e ^2xy(x) = 0.

Allora ˜y(1) vale

Risp.: A : e ² B : e C : e ²+ e D : e²

8. Sia data la funzione

f (x) = log

✓

1 + | tan x|

tan²x + 2

◆

Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {^⇡₂ + k⇡, k2 Z} V F (b) f `e periodica e dispari V F

(c) lim_x!^⇡

2 f (x) = log 2 V F (d) f `e crescente su [0, arctanp

2] V F

(e) f ammette massimo e minimo assoluti V F (f) x = 0 `e punto di cuspide V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.