Secondo Esonero - 7 Giugno 2019 Soluzione Esercizio 1
Per calcolare l’accelerazione angolare del sistema dobbiamo considerare l’equazione del moto:
M0 = I0α (1)
dove M0 `e il momento esplicato dal motore, I0 il momento di inerzia (iniziale) del sistema e α la sua accelerazione angolare. Essendo il momento di inerzia una quantit`a additiva, il momento di inerzia totale del sistema sar`a dato dalla somma dei momenti di inerzia dei singoli costituenti del sistema:
I0 = 1
12M L2+ m L 4
2
+ m L 4
2
= 0.1 kg m2 (2)
L’accelerazione angolare del sistema sar`a quindi data da:
α = M0
I0 = 2 rad/s2 (3)
La velocit`a angolare massima che pu`o sopportare il filo prima di spezzarsi pu`o essere ricavata eguagliando la tensione massima alla forza centripeta delle masse m, che in questo caso si pu`o scrivere come:
Tmax = mω2L
4 (4)
Da cui si ricava:
ω =
r4Tmax
mL = 30 rad/s (5)
Il tempo t∗ in cui questa velocit`a viene raggiunta pu`o essere ricavata dalle equazioni del moto uniforme- mente accelerato:
ω = αt∗ (6)
Da cui si ricava:
t∗= ω
α = 15 s (7)
Infine, per ricavare la velocit`a angolare all’istante in cui i due corpi raggiungono l’estremit`a dell’asta possiamo applicare la conservazione del momento angolare; dopo l’istante t∗, infatti, il momento esterno M0 cessa di agire. Avremo allora:
I0ω = Iω0 (8)
dove I0`e il momento di inerzia del sistema poco prima che il filo si spezza; ω la velocit`a angolare massima calcolata prima; I0il momento di inerzia del sistema quando le due masse si trovano all’estremit`a dell’asta;
ω0 la nuova velocit`a angolare raggiunta. Il momento di inerzia I0 sar`a dato da:
I0 = 1
12M L2+ m L 2
2
+ m L 2
2
= 0.25 kg m2 (9)
Ma allora la velocit`a angolare ω0 sar`a data da:
ω0 = I0ω
I0 = 12 rad/s (10)
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Soluzione Esercizio 2
Il calore scambiato nel corso della trasformazione pu`o essere ricavato dal primo principio della termodi- namica:
QAB = LAB+ ∆UAB (11)
Il lavoro prodotto nel corso della trasformazione pu`o essere calcolato facilmente tenendo conto che la trasformazione AB pu`o essere rappresentata nel piano P − V come una retta di pendenza generica:
Quindi il lavoro sar`a l’area sottesa dalla retta:
LAB= (VB− VA)(PB− PA)
2 + (VB− VA)PA= 21273 J (12)
La variazione di energia interna sar`a invece data dalla solita formula:
∆UAB = ncV(TB− TA) (13)
dove, essendo il gas biatomico, cV = 5/2 R, mentre le temperature possono essere ricavate dall’equazione di stato dei gas perfetti:
TA= PAVA
nR = 243.9 K TB = PBVB
nR = 1626 K (14)
Avremo allora:
∆UAB = 86139 J (15)
Il calore scambiato dal gas nella trasformazione AB sar`a allora:
QAB = 107412 J (16)
Per calcolare l’entropia utilizziamo la definizione:
∆SAB = Z B
A
dQ T =
Z B A
pdV T +
Z B A
ncV dT T =
Z B A
nRT V T +
Z B A
ncV dT
T = nR ln VB VA
+ncV ln TB TA
= 148.01 J (17) Per quanto riguarda il ciclo, esso pu`o essere rappresentato nel piano P − V come in figura:
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Lo stato C sar`a allora caratterizzato dalle seguenti variabili termodinamiche:
VB, PA, TC = VBPA
nR = 813 K (18)
Il rendimento del ciclo `e dato dal rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e il calore assorbito nel corso del ciclo:
η = L
Qass (19)
Il lavoro sar`a l’area sottesa dalla curva chiusa che rappresenta il ciclo:
L = (VB− VA)(PB− PA)
2 + (VB− VA)PA− (VB− VA)PA= 7091 J (20) Per calcolare il calore assorbito durante il ciclo, consideriamo le singole trasformazioni:
• Trasformazione BC (isocora)
QBC = ∆UBC = ncV(TC− TB) = −50670.22 J (calore ceduto) (21)
• Trasformazione CA (isobara)
QCA= LCA+ ∆UCA= (VA− VB)PA+ ncV(TA− TC) = −49469 J (calore ceduto) (22) Il calore assorbito sar`a allora solo quello del tratto AB. Il rendimento del ciclo sar`a quindi dato da:
η = L QAB
= 0.066 (23)
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