Fisica Generale LA Prof. Nicola Semprini Cesari
Prova Scritta del 21 Giugno 2018
Meccanica
Q1) Un punto materiale si muove come indicato dal vettore posizione r r t i( ) ( ( ))R jt z t k( ) dove
0 0
( ) , ( ) , ( )
r t r jt wt z t z t. Calcolare i vettori velocità ed accelerazione.
Q2) Un corpo materiale di massa m si muove attorno alla terra lungo un’orbita circolare di raggio r.
Esprimere l’energia meccanica del corpo materiale in funzione del raggio dell’orbita.
Q3) Un corpo materiale, inizialmente fermo, cade lungo la verticale soggetto all’azione della forza peso fp mg e della forza di attrito viscoso fa l . Determinare la velocità del corpo materiale v in funzione del tempo e la velocità di regime.
Q4) Calcolare il momento d’inerzia di una corona circolare (raggio interno r/2, raggio esterno r, omogenea ed uniforme con densità superficiale di massa se massa complessiva M) rispetto ad un asse normale al piano della corona e passante per un punto del bordo esterno.
Q5) Dimostrare il teorema di Huygens-Steiner.
Q6) Discutere le proprietà delle forze conservative.
Q7) Dimostrare il secondo teorema del centro di massa (primo teorema di Konig o teorema del momento della quantità di moto).
Termodinamica
Q1) Un pendolo di massa m=0.1 Kg, scostato dalla posizione di equilibrio ad un quota h=10 cm rispetto al punto più basso della sua traiettoria, oscilla fino a fermarsi all’interno di un contenitore adiabatico contenente una mole di gas perfetto. Trascurando gli scambi di calore della massa del pendolo ed ipotizzando una temperatura iniziale del gas pari a T=293K, calcolare i) la temperatura finale del gas; ii) la variazione di entropia del sistema.
Q2) Data un trasformazione adiabatica reversibile calcolare l’espressione della relazione esistente tra pressione e temperatura.
Q3) In relazione al teorema di Carnot calcolare l’espressione del rendimento del ciclo reversibile.
SOLUZIONI Q1
0
0
0 0
0 0 0 0 0
( ) ( ( )) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ( ) ( ( )) ( ) ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( ))
( ( ( )) ) ( ( )) ( )
R
R
R R
r r t i t z t k r t r
t t
z t z t
d di d t
v r t i t z t k r t i t r t z t k r i t z k
dt d dt
d d d d
a r i t z k r i t r i r
dt dt d dt
j
j j j
j
j w
j j j j w j
j
w j w j w j j
j
2 ir( )
w j
Q2
2
2 2
1 2 1 1
2 2 2
Mm v M
F ma G n m n v G
r r r
Mm M Mm GMm
E mv G mG G
r r r r
Q3
0
( )
0
0 0
0
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
ln( ) ( ) ( )
( )
( ) ( 1)
z t
t t
m z
t t
m m
F ma
d g z
dz dz m
mg z mz g z dt dt
m dt g z m g z
m m
d g z g z t
m m
dt t g z t g z e
m g z m g z m m
m m
z t mg e z e
l
l l
l l l
l l l
l l
l l l l
l l
l
tenendo conto delle condizioni iniziali si ottiene ( ) mg( mt 1)
z t e
l
l
con una velocità di regime
( ) mg
z l
Q4
Il momento d’inerzia rispetto all’asse normale al piano della corona e passante per il centro di massa vale
2 4 4
2 4 4
/2 0 /2
2
2 2
2
2 | ( ) 15
4 2 16 32
( ) 3
4 4
5 8
R
R R R
r R
I rd dr r R R
M R R R
I MR
p ps
s j s p ps
sp ps
applicando ora il teorema di Huygens-Steiner otteniamo il risultato richiesto
2 2 2
5 13
8 8
I MR MR MR
Termodinamica Q1)
L’energia meccanica del pendolo mgh viene trasferita interamente alla energia interna del gas
3
( ) 3 ( )
2
2 293.008
3
ln
3 2
ln(1 ) 3.35 10 /
2 3
f f
i i
f f
i i
U T
v v f i v f i f i
U T
f i
S T
v f
v f i v
S T
f i
i
