Corso di Laurea in Ingegneria Informatica- Gruppo 4

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corso di Laurea in Ingegneria Informatica- Gruppo 4

III Appello di Fisica Generale 1 – 3 Settembre 2021

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Un’asta di lunghezza ℓ = 0.5 m e massa 𝑚!= 2 kg si muove di moto traslatorio uniforme con velocità 𝑣"= 7.5 m/s su un piano orizzontale senza attrito. All’istante 𝑡"= 0 un’estremità dell’asta colpisce un perno, posto nel punto O, e vi si aggancia istantaneamente. Determinare:

1) la velocità angolare 𝜔! dell’asta immediatamente dopo l’aggancio Il perno esercita un momento d’attrito di modulo 𝑀#$$= 4 Nm.

2) Quanto tempo 𝑡% impiega l’asta a compiere una rotazione di 𝜋 2⁄ ?

All’istante 𝑡% l’asta viene colpita all’estremità libera da punto materiale di massa 𝑚 = 0.2 kg che si muove con velocità 𝑣⃗ normale all’asta. Il punto materiale rimane attaccato all’asta e l’arresta immediatamente. Determinare:

3) l’impulso 𝚤⃗ esercitato dal vincolo nell’urto

1) L’urto col perno è perfettamente analastico, per cui si conserva il momento angolare rispetto ad O 𝑚_!𝑣_"ℓ

2= 𝐼_&𝜔_! con 𝐼_&=1

3𝑚_!ℓ^%= 0.167 kgm^% per cui

𝜔_!=𝑚!𝑣"ℓ

2𝐼_& = 22.5 rad/s

2) Dopo l’urto il moto è circolare uniformemente accelerato con accelerazione α = −𝑀_#$$

𝐼& = −24 rad/s^%

La velocità angolare dopo un quarto di giro si ottiene dal bilancio energetico per esempio 1

2𝐼_&𝜔_%^%−1

2𝐼_&𝜔_!^%= −𝑀_#$$𝜋 2 ricavando

𝜔%= F𝜔_!^%−𝑀_#$$𝜋

𝐼& = G𝜔_!^%+ 𝛼𝜋 = 20.76 rad/s oppure dalla legge oraria della velocità angolare risolvendo

𝛼 =𝑑𝜔 𝑑𝑡 =𝑑𝜔

𝑑𝑡 𝑑𝜃

𝑑𝜃= 𝜔𝑑𝜔

𝑑𝜃 ⟹ M 𝛼𝑑𝜃

'/%

" = M 𝜔𝑑𝜔

)_! )_"

La legge oraria della velocità

𝜔_%= 𝜔_!+ 𝛼𝑡_% pertanto porge

m

m v O

ℓ

x y

v

𝑡_%=𝜔_%− 𝜔_!

𝛼 = 72.6 ms

3) Anche il secondo urto è perfettamente anelastico per cui si conserva di nuovo il momento angolare rispetto ad O 𝐼_&𝜔_%− 𝑚𝑣ℓ = 0

ottenendo la velocità del punto materiale

𝑣 =𝐼_&𝜔_%

𝑚ℓ = 34.6 m/s

L’impulso esercitato dal vincolo è dato dalla variazione di quantità di moto del sistema 𝚤⃗ = ∆𝑝PPPPP⃗_*+$*+ ∆𝑝PPPPP⃗_,-.$/

che si riduce, essendo ambedue le velocità dirette lungo y, ma con verso opposto, a 𝚤⃗ = QR0 − 𝑚_!𝜔_%ℓ

2S + (0 + 𝑚𝑣)V 𝑢P⃗₀= (−3.46 Ns)𝑢P⃗₀

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corso di Laurea in Ingegneria Informatica- Gruppo 4

III Appello di Fisica Generale 1 – 3 Settembre 2021

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 2

Ai vertici di un quadrato di lato ℓ = 10 𝑐m si trovano 4 corpi puntiformi di identica massa m = 2 kg. Un quinto corpo con la stessa massa m si trova a distanza 3/2ℓ dal centro O del quadrato (vedi figura), libero di muoversi con velocità iniziale nulla. Calcolare

1) il modulo dell’accelerazione subita inizialmente dalla quinta massa F

2) la velocità con cui la quinta massa transita per il centro del quadrato 𝑣 3) il minimo impulso iniziale da trasferire alla quinta massa nella posizione iniziale

per permetterle di sfuggire all’attrazione gravitazionale delle masse del quadrato 𝑖

1) Le distanze fra la quinta massa e quelle del quadrato più vicine e fra la quinta massa e quelle del quadrato più lontane sono rispettivamente

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧𝑑!= FRℓ 2S

%

+ ℓ^%= F5

4ℓ = 11.18 cm

𝑑%= FRℓ 2S

%

+ (2ℓ)^%= F9

4ℓ = 15 cm e il loro angolo con l’asse x

`𝜃_!= tan^1!ℓ 2⁄

ℓ = tan^1!1

2= 26.57°

𝜃_%= tan^1!ℓ 2⁄

2ℓ = tan^1!1

4= 14.04°

Inoltre le componenti y della forza gravitazionale si annullano per ogni coppia di masse, per cui la forza è diretta lungo l’asse x e l’equazione del moto della quinta massa è quindi

2 c𝐺𝑚𝑚

𝑑_!^% e cos 𝜃!+ 2 c𝐺𝑚𝑚

𝑑_%^% e cos 𝜃%= 𝑚𝑎 che subisce quindi l’accelerazione

𝑎 = 2𝐺𝑚 ccos 𝜃!

𝑑_!^% +cos 𝜃%

𝑑_%^% e = 3.06 × 10¹² m/s^%

2) Applicando la legge di conservazione dell’energia fra la posizione iniziale e il centro del quadrato

−2𝐺𝑚𝑚

𝑑_! − 2𝐺𝑚𝑚 𝑑_% =1

2𝑚𝑣^%− 4𝐺𝑚𝑚 ℓ√22 per cui

m

ℓ

O x

m y

m m

m

ℓ

m

x m

m m

m d1

d2 1

2

𝑣 = F4𝐺𝑚 c 4 ℓ√2− 1

𝑑_! − 1

𝑑_%e = 8.23 × 10¹³ m/s 3) L’impulso è pari alla quantità di moto impressa al quinto corpo, per cui

1

2𝑚𝑣^%= 𝑝^% 2𝑚= 𝑖^%

2𝑚

la legge di conservazione dell’energia, ipotizzando di imprimere la velocità di fuga, porge

−2𝐺𝑚𝑚

𝑑_! − 2𝐺𝑚𝑚 𝑑_% + 𝑖^%

2𝑚= 0 e il minimo impulso iniziale da trasferire è quindi

𝑖 = F4𝐺𝑚⁴c 1 𝑑_! + 1

𝑑_%e = 1.83 Ns

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corso di Laurea in Ingegneria Informatica- Gruppo 4

III Appello di Fisica Generale 1 – 3 Settembre 2021

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 3

Una macchina termica lavora con n = 2 moli di gas ideale monoatomico che compie il seguente ciclo:

• AB compressione adiabatica reversibile

• BC espansione isobara irreversibile

• CD espansione adiabatica reversibile

• DA compressione isoterma reversibile

Sapendo che le temperature dei serbatoi di calore a disposizione sono 𝑇#= 300 K, 𝑇5= 350 K e 𝑇6 = 400 K, , calcolare:

1) il rapporto 𝑉7⁄ 𝑉#

2) il redimento h della macchina

3) la variazione di entropia dell’universo Δ𝑆- in un ciclo

1) Consideriamo le equazioni che descrivono le trasformazioni AB, BC e CD

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝑇^#𝑉_#^81!= 𝑇5𝑉₅^81!

𝑉5

𝑇₅ =𝑉6

𝑇₆

𝑇6𝑉₆^81!= 𝑇7𝑉₇^81!

Dividendo membro a membro la prima e la terza equazione si ottiene 𝑇₆𝑉₆^81!

𝑇₅𝑉₅^81!=𝑇₇𝑉₇^81!

𝑇_#𝑉_#^81!

ovvero, osservando che 𝑇_#= 𝑇₇,

R𝑉₇ 𝑉#S

81!

=𝑇₆ 𝑇5R𝑉₆

𝑉5S

81!

mentre dalla seconda equazione otteniamo 𝑉₆ 𝑉5=𝑇₆

𝑇5

che sostituita nella precedente porge R𝑉7

𝑉_#S

81!

=𝑇6

𝑇₅R𝑇6

𝑇₅S

81!

= R𝑇6

𝑇₅S

8

per cui infine

𝑉₇ 𝑉# = R𝑇₆

𝑇5S

8

81!= 1.396 2) Calore viene scambiato dal gas solo in BC e DA

A

B C

V p

D

p

Q₅₆ = 𝑛𝑐_,(𝑇₆− 𝑇₅) = 2077.5 J > 0 assorbito Q7#= 𝑛𝑅𝑇#ln𝑉_#

𝑉7 = −1663.4 J < 0 ceduto per cui

𝜂 = 1 +𝑄7#

𝑄₅₆ = 0.199

3) La variazione dell’entropia dell’universo in un ciclo è pari alla somma delle variazioni di entropia dell’ambiente nel ciclo per cui, considerando che è nulla per le adiabatiche, si ha

Δ𝑆_-= Δ𝑆₅₆^*9:+ Δ𝑆_7#^*9:= −𝑄₅₆ 𝑇₆ −𝑄_7#

𝑇_# = 0.351 J/K