Z z ds dove `e la curva '(t

11. ESERCIZI su INTEGRALI CURVILINEI

Calcolare i seguenti integrali curvilinei lungo la curva indicata

1.

Z

x x³ds essendo la curva '(t) = (t³, t²),2 [ 1, 1].

2.

Z

(x²+ y²)²ds dove `e la curva di equazione polare ⇢(✓) = e ^2✓, ✓2 [0, 2⇡].

3.

Z

y sin x ds dove `e l’elica cilindrica '(t) = (cos t, sin t, t), t2 [0, 2⇡].

4.

Z

z ds dove `e la curva '(t) = (cos t sin t, sin²t, cos t), t2 [0,^⇡2].

. Risolvere gli esercizi 1-12 del capitolo 5 del libro di testo

Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti corpi filiformi disposti lungo il sostegno delle curve indicate.

5. La curva semplice di per sostegno la frontiera dell’insieme D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1, x 0, y 0} di densit`a di massa (x, y) = x²+ y²

6. L’elica cilindrica '(t) = (2 cos t, 2 sin t, 4t), t2 [0, 2⇡], di densit`a di massa (x, y, z) = x²+ y²+ z²; 7. La curva semplice avente per sostegno l’intersezione del cono x²+ y² = 9z² con x = 3z² nella regione

y 0, 0 z  1 di densit`a di massa (x, y, z) = y

. Risolvere gli esercizi 13-18 del capitolo 5 del libro di testo

12. ESERCIZI su INTEGRALI DOPPI

Stabilire se i seguenti insiemi risultano domini normali e nel caso esprimerli come tali 1. D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 4, x y + 2}

2. D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 2, y x²} 3. D ={(x, y) 2 R²| x² y  1 |x|}

4. D ={(x, y) 2 R²| 2x²+ y² 2, 0  y  1}

5. D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1, x²+ y² 2x, y 0} 6. D ={(x, y) 2 R²| 1  x²+ y² 4, y |x|}

Calcolare i seguenti integrali doppi nel dominio indicato 7.

ZZ

D

x²y + 2yx dx dy essendo D il triangolo di vertici (1, 1), (1, 2) e (2, 2).

8.

ZZ

D

cos x cos ydx dy dove D ={(x, y) 2 R²| sin x  y  x, x 2 [0,^⇡2]} 9.

ZZ

D

xy dx dy dove D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 2, x  y², y 0};

10.

ZZ

D|x 1| dx dy dove D = {(x, y) 2 R²|p

2y y² x  2 y, y 0};

11.

ZZ

D x

(x²+y²)²dx dy dove D ={(x, y) 2 R²| 1  x²+ y² 4x, 0  y p 3x};

12.

ZZ

D

x dx dy dove D ={(x, y) 2 R²| |2y x|  2, |2y + x|  2};

13.

ZZ

D

log x dx dy dove D `e la regione del primo quadrante compresa tra la retta 2x + 2y = 5 e l’iperbole xy = 1.

Calcolare l’area delle seguenti regioni 14. D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1, y x² 1};

15. D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 4, x  1};

16. D `e il settore ellittico individuato dall’ellisse ^x₃² + y²= 1, la bisettrice y = x e l’asse delle ascisse;

17. D `e la regione del piano delimitata dalla curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, 2⇡] (un petalo della rodonea a 4 petali).

Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti corpi piani della densit`a di massa indicata.

18. D ={(x, y) 2 R²| 4x²+ y² 4, 0  y  2x}, di densit`a di massa costante;

19. D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1, y p

3x,} di densit`a di massa (x, y) = |y|

20. D ={(x, y) 2 R²| 1  ^x4² + y² 4, x 0}, di densit`a di massa (x, y) = x;

21. D ={(x, y) 2 R²| 1  x²+ y² 2y, x 0}, di densit`a di massa costante;

22. D `e un settore circolare di apertura 2↵ e raggio r, di densit`a di massa costante.

Calcolare il volume dei seguenti solidi 23. S ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, z 1}

3 p _{2 2}

13. ESERCIZI su INTEGRALI di SUPERFICIE

Calcolare i seguenti integrali di superficie 1.

ZZ

S

x d essendoS la superficie (u, v) = (2uv, u² v², u²+ v²), u²+ v² 1 2.

ZZ

S

z d essendoS la superficie avente per sostegno il cono z = 1 p

x²+ y² con z 0.

3.

ZZ

@T

y d essendo T ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² 1, x²+ y²+ z² 4, z 0}.

Calcolare l’area delle seguenti superfici

4. La superficieS avente per sostegno la porzione di paraboloide z = x²+ y² con z2 [0, 4];

5. La superficieS avente per sostegno la calotta sferica x²+ y²+ z²= 1 di altezza ¹₂. 6. La superficieS avente per sostegno la regione della sfera x²+ y²+ z²= 1 con z2 [0,¹2].

7. La superficie ottenuta dalla rotazione dell’arco di circonferenza (x 2)²+ z² = 1 con z 0, x 2 attorno all’asse z di un angolo di ⇡ radianti.

8. L’elicoide (t, s) = (as cos t, as sin t, bt) con (t, s)2 [0, 4⇡] ⇥ [0, 2].

Determinare il baricentro delle seguenti superfici

9. La superficie S ottenuta dalla rotazione della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la spezzata congiungente i punti (0, 0, 0), (1, 0, 1) e (0, 0, 3) del piano y = 0 attorno all’asse z di un angolo pari a

⇡ di densit`a di massa costante.

10. La superficie rigata S avente come direttrice la circonferenza (t) = (cos t, sin t, 0) e generatrici le rette passanti per il vertice (0, 0, 1) nella regione z2 [0,¹2] di densit`a di massa (x, y, z) = _x2+y^{1 2}.

14. ESERCIZI su INTEGRALI TRIPLI

Dopo aver disegnato i seguenti solidi, esprimerli nella forma

E ={(x, y, z) 2 R³| (x, y) 2 D, ↵(x, y)  z  (x, y)} e E = {(x, y, z) 2 R³| z 2 [↵, ], (x, y) 2 D^z} 1. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+^y₄²  z  4}

2. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, x²+ y² 1}

3. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+^z₄²  1, |z|  1}

4. E ={(x, y, z) 2 R³| (x 1)²+ y²+ z² 1, x²+ y² 1, z 0} 5. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 5, z p

x²+ y² 1} Calcolare i seguenti integrali tripli nel dominio indicato 6.

ZZZ

E

x²+ y²dxdydz essendo E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² 1, 0  z p

4 x² y²};

7.

ZZZ

E

x + 2y dxdydz dove E `e il tetraedro determinato dai tre semipiani cartesiani positivi e dal piano x + y + z = 1;

8.

ZZZ

E

xy dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| 0  2x  y, 2z 1, x²+ y²+ (z ¹₂)² 1};

9.

ZZZ

E

x²z dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| 0  z  x²+ y² 4};

10.

ZZZ

E

p 1

x²+y²dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 4, z 1}.

Calcolare il volume dei seguenti solidi

11. E ={(x, y, z) 2 R³| 3(x²+ y²) z  1 + x²+ y²};

12. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² z  2 p

x²+ y²}.;

13. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y²+ z² 1, x²+ y² ³2z}.;

14. E ottenuto dalla rotazione di D ={(x, z) 2 R²| |z|  x, x²+ z² x} attorno all’asse z di un angolo giro.

Determinare le coordinate del baricentro dei seguenti solidi di densit`a di massa indicata.

15. E ={(x, y, z) 2 R³| 0  z  1 p

x²+ y²} di densit`a di massa (x, y, z) = z;

16. E ottenuto dall’intersezione del cono z  1 p

x²+ y² con il paraboloide z x²+ y² 5, di densit`a di massa costante;

17. E delimitato dai paraboloidi z = x²+ y² e z = 4 x² y², di densit`a di massa costante;

18. E ={(x, y, z) 2 R³| x²+ y² z  6 p

x²+ y²} di densit`a di massa costante;

19. E ={(x, y, z) 2 R³| 1  x²+ y² z  2} di densit`a di massa (x, y, z) = z;

20. E ={(x, y, z) 2 R³| 1 p

x²+ y² 4 z, z 0} di densit`a di massa (x, y, z) = z.

15. ESERCIZI su CAMPI VETTORIALI

Calcolare il lavoro dei seguenti campi vettoriali lungo la curva assegnata 1. F(x, y) = (xy, x²y) lungo di equazione cartesiana x =p

1 + y², y2 [ 2, 2];

2. F(x, y) = (2x + 1, xy) lungo la curva semplice avente per sostegno la frontiera positivamente orientata del dominio D ={(x, y) 2 R²| x²+ y² 1,p

3y x + 1};

3. F(x, y, z) = (x, 0, z²) lungo curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro x²+z²= 1 con il piano x + y + z = 1 nella regione z 0 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P (0, 0, 1) verifichi T· j > 0;

4. F(x, y, z) = (x, z², y+z 1) lungo la curva semplice avente per sostegno l’intersezione del cilindro x²+9y²= 2x con il piano z = y + 2 nella regione x 1, orientata in modo tale che nel punto P (2, 0, 2) verifichi T· k > 0.

Dopo aver stabilito se i seguenti campi vettoriali risultano irrotazionali e conservativi nel loro dominio, determinarne, se esiste, un potenziale e calcolarne il lavoro lungo la curva data.

5. F(x, y) =⇣

2x

(y+x²)², 2y + _(y+x¹2)²

⌘, lavoro lungo la curva di equazione cartesiana y = 1 x², x2 [ 1, 1];

6. F(x, y) = (1 + 3x²+py

x, 2 + 2y +q_x

y), lavoro lungo la curva '(t) = (t²+ 1, t + 2), t2 [0, 1];

7. F(x, y) =⇣ _y2x

x² 1+ x², y log(x² 1)⌘

, lavoro lungo la curva '(t) = (3 + cos t, sin t), t2 [0, ⇡];

8. F(x, y, z) = (xz², yz², z(x²+ y²+ z²)), lavoro lungo la curva '(t) = (cos t, sin t, t), t2 [0, 2⇡];

9. F(x, y, z) =⇣

sin x

z ,^{cos y}_z ,cos x sin y z²

⌘, lavoro lungo la curva '(t) = (t, 2t, 1 + t), t2 [0, ⇡];

10. F(x, y, z) =⇣

2x

z ,^2y_z,^{z x}_z²2 ^y2

⌘, lavoro lungo la curva '(t) = (cos t, sin t, 1), t2 [0,^⇡2].

Calcolare il flusso dei seguenti campi vettoriali attraverso la superficie indicata

11. F(x, y, z) = (y², x, z) uscente dalla superficie S avente per sostegno il paraboloide {(x, y, z) 2 R³| z = x²+ y², 1 z  4};

12. F(x, y, z) = (xy², x²z, z(y²+ x)) uscente dalla superficie semplice S frontiera del solido T = {(x, y, z) 2 R³| 0  z  3 (x²+ y²), z 2};

13. F(x, y, z) = (0, yz, x) uscente dalla superficie avente per sostegno la frontiera del solido T = {(x, y, z) 2 R³| x²+ y² z  2};

14. F(x, y, z) = yz³, xz², z attraverso la superficie S ottenuta dalla rotazione della curva di equazione cartesiana x =p

1 + z², z2 [ p 3,p

3], attorno all’asse z di un angolo pari a ⇡ e orientata in modo tale che nel punto P (0, 1, 0) risulti N· j < 0.

15. F(x, y, z) = (yz, x, x + z) uscente dalla superficie rigata S la superficie avente come generatrice la circon- ferenza '(t) = (cos t, sin t, 0), t2 [0, 2⇡], e come vettori direttori i vettori w = (0, 1, 1) nella regione z 2 [0, 4].

16. ESERCIZI su EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni di↵erenziali

1. y⁰= ^{log x}_2y 2. y⁰= y³log x 3. y⁰= _1+x^xy2 + x² 4. y⁰= ^{xy 1}_x2

5. y⁰= _1+x^2x2y + xy³

6. y⁰ = _6x^y +_2y^x5

7. y⁰ 2y tan x = py 8. y⁰⁰ 4y⁰+ 4y = e^2x 9. y⁰⁰+ 3y⁰ 4y = e^xcos x 10. y⁰⁰+ 4y⁰ 5y = 3 + e ^x

Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy.

11.

(y⁰= _xy¹ y( 1) = 1

12.

(y⁰= ^y_x²tan log x y(1) = 1

13.

(y⁰= y tan x +_{cos x}¹ y(0) = ⇡

14.

(y⁰= _1+x^xy2 + x³ y(0) =¹₃

15.

(y⁰= ^y_x+^3x_y y( 1) = 1

16.

(y⁰= ^x3_xy^+y2³

y(1) = 1

17.

8>

<

>:

y⁰⁰ 5y⁰+ 6y = e^x+ 11e^2x y(0) =³₂

y⁰(0) = ¹₂

18.

8>

<

>:

y⁰⁰+ 2y⁰+ y = (x 1)e ^x y(0) = 0

y⁰(0) = 0

19.

8>

<

>:

y⁰⁰+ y = cos x + x y(0) = 0

y⁰(0) = 1

20.

(y⁰⁰ 2y⁰+ y = _x+2^ex + xe^x y(0) = y⁰(0) = 1

17. ESERCIZI di RIEPILOGO

1. Data la curva '(t) = (1 + cos t, 1 sin t, cos(2t)), t 2 [0, ⇡], stabilire se risulta semplice e regolare.

Determinarne versore tangente, normale, binormale, curvatura e torsione nel punto P = (1, 0, 1).

2. Determinare versore tangente, versore normale orientato, curvatura orientata e circonferenza osculatrice della curva piana di equazione cartesiana y = sin²x, x2 [0, ⇡], nel punto P = (^⇡2, 1). Stabilire per quali x2 [0, ⇡] risulta ˜k(x) = 0.

3. Calcolare Z p

1 xz ds essendo la curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro x²+ z²= 1 con il piano x + y + z = 1.

4. Data la funzione f (x, y) = ( _x2y

x²+y² (x, y)6= (0, 0)

0 (x, y)6= (0, 0 stabilire se nell’origine (i) risulta continua e derivabile parzialmente;

(ii) ammette derivata direzionale nella direzione ⌫ = (^p1₂,^p1₂);

(iii) risulta di↵erenziabile.

5. Data la funzione f (x, y) = y²(x + 1) 2x, determinarne, se esistono, i punti di massimo e di minimo relativo nel suo dominio. Determinare i punti di massimo e di minimo assoluto nell’insieme D ={(x, y) 2 R²|p

1 + y² x  2}.

6. Determinare le coordinate del baricentro del corpo piano D ={(x, y) 2 R²| 0  y p

3x, x²+ y² 2x}

di densit`a di massa costante.

7. Calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (x, y, 0) attraverso la superficie S di equazione cartesiana z = ^x₉² +^y₄² con x²+ y² 4, orientata in modo tale che N(0, 0, 0) · k < 0.

8. Calcolare ZZZ

E

ze^x2+y2dxdydz dove E ={(x, y, z) 2 R³| 0  x²+ y² z  1}.

9. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (¹_z, 2y +pz,₂^py_{z z}^x2), dire dove risulta conservativo e determinarne un potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva '(t) = (t², t, t + 1) con t2 [0, 1].

10. Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy

(y⁰= ²_xy ^y_x²log x

y(1) = 2 specificandone il do- minio.

11. Determinare la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰+ y = _{cos x}¹ + cos x y(0) = 1

y⁰(0) = 0

.

RISPOSTE 1. k =p

17, ⌧ = 0

2. (x ^⇡₂)²+ (y ¹₂)²=¹₄, x = ^⇡₄ e x = ³₄⇡ 3. 2p

2⇡

4. Risulta continua e derivabile parzialmente, ammette derivata direzionale nella direzione ⌫ = (p¹ 2,p¹

2);

non risulta di↵erenziabile

5. Non esistono punti di massimo e di minimo relativo, P = (2, 0) `e punto di minimo assoluto in D mentre Q_±= (2,±p

3) sono punti di massimo assoluti in D 6. x(B) =²_{3 ⇡} ¹

3+^p₄³

⇣p 3

16 +^⇡₂ +^3p₈³⌘

= ¹₂⁷₃^pp3+8⇡_3+4⇡ ⇡ 1, 05, y(B) = ⁵8 1

⇡

3+^p₄³ =⁵_24⇡+3^3p₃ ⇡ 0, 42 7. ¹⁰₉⇡

8. ^⇡₂

9. L = ³₂+p 2

10. y(x) = _2x2log x x^{4x2 2}+3

11. y(x) = (1 + log(cos x)) cos x +³₂x sin x