Compito di Fisica Matematica, 17/7/2003
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+5y0(t)+6y(t) = 0, con le condizioni iniziali y(0) = 5 e y0(0) = 2 usando la tecnica delle trasformate di Laplace.
(2) Lo studente ottenga gli zeri della funzione f (z) = ezz−1 e ne determini l’ordine.
(3) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(x) = rect(x −12) + rect(x +12).
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione ϕ(x) introdotta nell’esercizio precedente. Ottenere l’uguaglianza di Parceval.
(5) Dopo avere verificato che la funzione f (x) =
( 1
2a, |x| < a;
0, altrove
appartiene ad L2(R), a > 0, lo studente ne calcoli la trasformata di Fourier.
(6) Calcolare l’integrale I²= 1
√2π Z ∞
−∞
µ 1
2a√ 2π
eipa− e−ipa i(p + i²)
¶ eipxdp,
con ², a ∈ R+. Verificare poi che lim²→0+I²coincide con la funzione f (x) dell’esercizio precedente.
Commentare.
(7) Studiare la regione di convergenza della serieP∞
n=−∞ zn π|n|.
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