COMPITI DI ANALISI MATEMATICA AA. 2018/19
Prova Intermedia 2018
I M 1) Calcolare le radici cubiche del numero D œ /
" 3
log#31%
.
I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , determinare se la
B C C B
B C À Bß C Á !ß !
! À Bß C œ !ß !
# #
# #
funzione, nel punto !ß ! , risulta continua e poi se risulta differenziabile.
I M 3) Data la funzione 0 Bß C œ B /CB /C BC e il versore @œcosαßsenα , determina- re i valori di α tali per cui la derivata direzionale H 0@ !ß ! è nulla, e per tali valori di α si calcoli H#@ß@0 !ß ! .
I M 4) L'equazione 0 Bß C œ C/ B B# B/CC# œ !, soddisfatta nel punto "ß ", definisce una funzione implicita che presenta un punto stazionario. Determinare la natura di tale punto stazionario.
I M 5) Dato il sistema log log ed il punto P
0 Bß Cß D œ B C C D B D œ !
1 Bß Cß D œ B C C D BD " œ !$ $ $ œ !ß "ß "
che lo soddisfa, determinare una funzione implicita con esso definibile e di questa calcolare le derivate prime e l'equazione della retta tangente nel punto opportuno.
I Appello Sessione Invernale 2019
I M 1) Determinare le radici cubiche del numero complesso D œ /"$ 31 .
I M 2) Analizzare la differenziabilità della funzione 0 Bß C œ B B C# # nel punto !ß ! . I M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B senC CcosD B D œ !# , soddisfatta nel punto
T œ "ß !ß ! , determinare le derivate parziali del primo ordine dell'unica funzione implicita definibile con tale equazione avente l'opportuna variabile dipendente.
I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B /CB ed il versore @œcosαßsenα, si determinino i valori del parametro per i quali risulta α H 0@ "ß " œ !.
II M 1) Risolvere il problema Max min .
s v Î 0 Bß C œ B C Þ Þ B Ÿ C Ÿ " B# #
II M 2) Data la matrice Hessiana ‡ œ 5 ! calcolata in un certo punto stazionario,
! 5 "
determinare, al variare del parametro , la natura di tale punto stazionario.5 II M 3) Risolvere il problema di Cauchy: .
C † " B œ BC C ! œ "
w #
II M 4) Calcolare d d con
H
B C H œ Bß C À " Ÿ C à B C Ÿ #C B
B C
# # # # .
II Appello Sessione Invernale 2019 I M 1) Calcolare la somma delle radici dell'equazione B B œ !' # .
I M 2) Verificare se la funzione risulta differenzia-
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
$ $
2 2
bile nel punto !ß ! .
I M 3) Dato il sistema: , si determini una
0 Bß Cß Dß A œ B / C / D / A / œ ! 1 Bß Cß Dß A œ BCD CDA BDA BCA œ !
C D A B
funzione implicita definibile con esso in un intorno del punto P! œ "ß "ß "ß " e di questa funzione si calcolino le derivate prime.
I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B /CB C /BC ed il versore @œcosαßsenα, si deter- minino i valori del parametro per i quali risulta α H 0@ "ß " œ H 0@ !ß ! .
II M 1) Risolvere il problema Max min
s v Î 0 Bß C œ BC B C . Þ Þ B C Ÿ "
# # #
# #
II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ C >
C œ > B
w #
w
II M 3) Determinare le soluzioni dell'equazione differenziale: C œ Cwww .
II M 4) Calcolare sen d d , dove : , ,
B † C B C œ Bß C − ! B Ÿ " B Ÿ C Ÿ B
C ‘2 2
verificando preliminarmente l'integrabilità della funzione stessa.
Appello Sessione Straordinaria I 2019 I M 1) Se D œ " 3 $, calcolare D .
I M 2) Data la funzione determinare per quali valori
0 Bß C œ
B C
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
α
2 2
del parametro essa risulta differenziabile nel punto α !ß ! .
I M 3) Dato il sistema: , si determini una funzio-
log log log
0 Bß Cß D œ B / C / #/BD œ ! 1 Bß Cß D œ BC CD BD œ !
C D
ne implicita definibile con esso in un intorno del punto P! œ "ß "ß " e di questa funzione si calcolino le derivate prime.
I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B C B # C#, sia il versore di A "ß " e preso poi il versore
@œcosαßsenα , determinare i valori del parametro per i quali risulta α H@ßA# 0 " ß " œ !.
II M 1) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
0 Bß Cß D œ B C D C D B C D œ "
B C D œ "
# # #
II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ B C " . C œ B C "
w w
II M 3) Risolvere il problema di Cauchy:
C C œ / C ! œ "
C ! œ !
ww B
w
.
II M 4) Calcolare d d , dove : .
#BC B C œ Bß C −‘2 ! Ÿ B Ÿ "à ! Ÿ C Ÿ B " 2
II Appello Sessione Estiva 2019
I M 1) Se D œ / e D œ / cos$ 3sen$ , calcolare D † D .
% %
" "$ 31 # " #
1 1
I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ B C # # determinare se essa risulta differenziabile nel punto !ß ! .
I M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B / CD C /BD œ !, soddisfatta in T œ !ß !ß ! , de- terminare le derivate parziali del primo ordine di una funzione implicita definibile con tale equazione avente l'opportuna variabile dipendente. Di tale funzione implicita si determini poi il differenziale totale del II ordine.
I M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B / C C /B, e dato il versore @œcosαßsenα, determi- nare i valori di per i quali risulta α H 0 "#@ß@ ß " œ !.
II M 1) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
0 Bß C œ B C
$C B $ Ÿ !
!
!
#
Ÿ B Ÿ C
II M 2) Risolvere il sistema di equazioni differenziali: B œ B C > . C œ B >
w w
II M 3) Risolvere il problema di Cauchy: B %B " C œ B # " C C ! œ "
# w #
.
II M 4) Calcolare d d , dove : .
BC B C œ Bß C −‘2 " B Ÿ C à B C Ÿ "# #
II Appello Sessione Autunnale 2019
I M 1) Calcolare .
# " 3 # $3
& 3 " 3
I M 2) Determinare se la funzione risulta differen-
sen 0 Bß C œ
BC
B C Bß C Á !ß !
! Bß C œ !ß !
#
# #
ziabile nel punto !ß ! .
I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B C BC #C œ ! $ # ed il punto P! œ "ß " che la soddi- sfa, determinare derivata prima e seconda della funzione implicita B Ä C B definibile con esso e l'espressione del polinomio di Taylor di II grado nel punto opportuno.
I M 4) Data 0 Bß C œ B C $B $B #C $ # e T œ "ß #! , calcolare W@0 !ß ! , dove @ rappresenta la direzione che dall'origine !ß ! porta a .T!
II M 1) Risolvere il problema .
Max/min s.v.:
0 Bß C œ C B "
B C " Ÿ ! C Ÿ !
#
II M 2) Determinare, al variare del parametro , la natura dei punti stazionari della funzione5 0 Bß C œ B 5BC C $ #.
II M 3) Risolvere il problema di Cauchy:
C $C #C œ B / C ! œ !
C ! œ "
ww w B
w
.
II M 4) Calcolare d d , dove : .
B C B C# œ Bß C −‘2 B Ÿ C à B C Ÿ "# #
