Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di liberty.

Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di libertY.

) { e m o r i a eli L v ~ a I @~ASSI (a Pisa).

Sunto. - Si studia il moto libero smorzato dei sistemi a clue gradi di libertd~, dapprima i n un caso particotare e se ~e fa l'applicazione al pendolo di BLACKBI,'R~. Si passa poi al caso generale giungendo ad enunciate condizioni sufficienti per poter rieonovce~'e la nctt~ttra del moto del sistema. Shrine si studiano: in modo completo, atcuni casi part@o.

lari di specicde interesse.

P r e m e s s a .

I sistemi considerati sono ad un n u m e r o finite di gradi di libertY., olonomi ed a vinceli indipendenti dal tempo; le forze interne derivano da u n a funzione potenziale; le resistenze passive vengono compendiate nel lore effetti dalta funzione di dissipazione di Lord R~_¥LEmH. P e r i moti vibratori~ di questi sistemi, che si svolgono i n t e r n e ad u n a configurazione di equilibrio stabile, la forza viva T, l ' e n e r g i a potenziale - - V e la funzione di dissipaziom~ F si possono c o n s i d e r a t e come forme q u a d r a t i c h e definite positive a coeff[cienti costanti.

Le equa~ioni del moto libero smorzato costi~uiscono u n sistema di equa- zioni differenziali del secondo ordine, omogenee a coefficienti costanti, uguali in n u m e r o al grado di liberth del sistema considerato; e, data ]a ]oro li- nearit~, vale il prineipio della sovrapposizione dei piccoli movimenti. Inte- grando questo sistema (.on i rnetodi noti si cade nella sua equazione caxatte.

ristica, di grado uguale at doppio del grado di libert~ del sistema materiale.

Ogni radice complessa d/~ Inogo, con la sua coninga~a, ad u n moto vibratorio smorzato periodieo, ogni eoppia di radiei reali ad un moto smorzato aperiodico.

I1 moto pifi generale del sistema risulta, quindi, dalla sovrapposizione di vi.

brazioni smorzate, a l c u n e periodiche ed altre aperiodiche. Siamo cosl rieoudotti, nello studio del moto, ad u n a questione p u r a m e n t e algebriea.

D ' a l t r a p a r t e l'integrazione delle equazioni del moto sarebbe u n a cosa immediata se si potesse, con u n ' u n i c a sostituzione lineare sulle coordinate lagrangiane, r i d u r r e a forma canonica la forza viva~ l ' e n e r g i a potenziale e la funzione di dissipazione.

t08 L. GRASSI: Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di libert5

I n f a t t i si avrebbero cosl le equa.zioni del moto in coordinate normali, eiascuna delle quali, contenendo u n a sola coordinata, s ' i n t e g r e r e b b e separa- tamente. Ma tale riduzione s i m u t t a n e a non 6, in generale, possibile.

P e r un sistema a due gradi di libert'~ si ha un sistema di due equazioni differenziali, la cut equazione earatteristica, essendo di quarto grado, pub avere due eoppie di radiei complesse coniugate, oppure tutte e quattro le radiei reali, oppure u n a eoppia di radici complesse coniugate e due radiei reali.

Si hanno, quindi, due moti f o n d a m e n t a l i ehe possono essere, rispettiva- mente, entrambi di tipo aperiodieo, oppure entrambi di tipo periodieo, oppure uno di tipo aperiodieo ed uno periodieo. La n a t u r a del moto pifl generale del sistema dipende, dunque, da quella delle radiei dell' equazione caratteristiea.

Nella presente Memoria ho ridotto, in un ca,so partieolare, simultanea- m e n t e a f o r m a canoniea le ire forme q u a d r a t i e h e che esprimono T, - - V e _i91 L ' e q u a z i o n e earatteristiea si spezza eosi in due equazioni di seeondo grado, le cut radiei si h a n n o i m m e d i a t a m e n t e . U n eonereto sistema a due gradi di libert/~ in cut, avendo T e - - V i coeffieienti proporzionali, si verifiea questo easo partieolare, b il pendolo sempliee. A1 § 2 ho studiato un sistema alquanto pig complesso in cut si possono aneora r i d u r r e s i m u l t a n e a m e n t e a forma eano- niea le tre forme q u a d r a t i e h e T, - - V e F : il eosidetto pendolo di Blackburn.

P a s s a n d o al easo generale, ho ridotto s i m u l t a n e a m e n t e a forma eanoniea la forza viva e la funzione di dissipazione. Si hanno eosi le equazioni del moto in coordinate normali, senza ottenere perb un vantaggio deeisivo.

L ' e q u a z i o n e earatteristiea a s s u m e la forma:

( ~ + ~ + b,)(~ ~ + ~ + b~) = b~ ;

ed b, quindi, un'eqttazione di quarto grado avente negative le radiei reali e le patti reali delle radiei complesse; eiob b u n ' e q u a z i o n e di HURWITZ (').

U n a diseussione generale delle eondizioni sotto cut le radiei di u n ' e q u a z i o n e b i q u a d r a t i e a sono negative od a parte reale negativa si trova nel ROUT~ (~t.

Si possono eonsultare a proposito anehe i noti lavori di CHz~aum~o.

Mettendomi da un punto di vista piil generale ho studiato, nella presente Memoria, le eondizioni di realit~ o complessiti~ d e l l ' e q u a z i o n e caratteristiea.

Ora per esprimere, in tutta eompletezza, tali eondizioni si andrebbe ineontro a formule t a t m e n t e complicate da r e n d e r l e p r a t i e a m e n t e inapplieabili. D ' a l t r a

(') Cfr. L. O~tLANDO, S*~.t problema di H~,rwitz relativo alle p a t t i reali delle ~'adici di un'equazione algebrica, <¢ 5!lath. A n n . % 71 (19tl), pp. 241-2~:2. Cfr. unche il classico l a v o r o 'di HURWITZ che si t r o v a net ,< ~lath. A n n . % 46 (1895), pp. 273-284.

(~) J. ROUTH, The advancecl part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, Vol. 2 °, Cap. ¥ I (§§ 286-289).

L. Cx~AssI: Moto libero s m o r z a t o dei s i s t e m i a d u e g r a d i di libert~ 109

parte, per i problemi che si presentano in pratiea, non ha grande importanza giungere ad u n a discussione completa. I n f a t t i tall problemi o sono casi par- ticolari del problema g e n e r a l e , o si ottengono da esso sotto certe ipotesi semplificative.

Un problema di questo tipo ~ quello delle scariche di un condensatore secondo due fill in parallelo (~). L a carica q ~ espressa da:

q -~- A e at + B e ~t -I- Ce et

essendo A, B e C costanti arbitrarie e a, b e ~ radici d e l l ' e q u a z i o n e earatte- ristiea delle equazioni del problema:

(1 + m~ ~ m;)D ~ + It,(1 + m~) + r~(1 + m,)]D ~ + + (l~ + l~ + r f ~ ) D - P r~l~ + r~l, --= 0,

ore r~, r~, l,, l~, +n.~ e m 2 indieano 6 costanti. Ora la discussione della n a t u r a delle radici di questa equazione di terzo grado porta condizioni molto com- plesse, dalle quali difficihnente si pu6 r i c a v a r e un significato fisico chiaro.

Si riconosee, per6, ehe, se s ' i n t r o d u c o n o certe ipotesi, la condizione affineh~

due radici siano complesse coniugate ~ sempre verificata; inoltre si possono studiare casi particolari di speeiale interesse.

Tornando al nostro problema, ho discusso, con un metodo di tipo grafieo- differenziale, la n a t u r a delle radici d e l l ' e q u a z i o n e earatteristiea giungendo ad e n u n c i a r e eondizioni s u f f i c i e n l i affinch~ abbia quattro radici reali per

~ ~ 4b~, ~ ~ 4b~ (§ 4); oppure due eoppie di radici complesse conjugate per

~ ~ 4b~, s ~ 4b~ (§ 5); oppure due radiei reali ed u n a eoppia di radici eom- plesse conjugate (§ 6). F r a i easi parti eolari in cui si pub giungere alla con- dizione necessaria e sufficiente ~ interessante, per il suo significato flsico, quello in cui lo smorzamento 5 espresso da un sol coefficiente (z,--_~ ~2 == a).

I n f i n e (§ 8) ho trattato, brevemente, con metodo p e r f e t t a m e n t e analogo a quello usato per T e F , il caso della riduzione simuttanea a forma canonica delle forme q u a d r a t i e h e che esprimano T e --IT.

Similmente potrebbe trattarsi il caso di - - V e F.

§ 1. R i d u z i o n e s i m u l t a n e a d i T , - - V e F a f o r m a c a n o n i c a . P e r un sistema a due gradi di liberth la forza viva T, la energia po- tenziale - - V, e la funzione di dissipazione F prendono la forma (indieando

(t) Oft. A-NTONIO ~xAF~BASSO, Le scariche oscillanti nei sistemi di conduttori complessi e lc~ teoria elettromagnetica dell'otnalisi spettrate, Cap. III, ~ Nuovo Cimento ,,, 1904.

1%0 L. C~n~ss~: Moto tibero smorzato dei sistemi a due gradi di libertd

con qi e q.2 coordinate lagrangiane):

2 T - - a~q~ '~ + 2a,~q~ q~ + .~q.,

~ b

dove le costanti a, per essere T, - - V e F forme q u a d r a t i c h e definite positive, devono soddisfare alle disuguaglianze:

e analoghe per le b e le ~.

Le equazioni del moto libero smorzato sono:

(1) i ~ pl r! !

P e r integrarle poniamo:

con k~, k~ e ~t eostanti da determinarsi.

Le (1) diventan% dopo aver diviso per el~t:

t (a~,~ ~ + ~,t~ + b~)),~ + ( a , # + s,~l~ + b,.~)~.~ = 0 i (a,,t~ ~ + ~ , ~ + b ~ ) L + ( a ~ # + % ~ + b ~ ) ~ = 0 ;

da eui eliminando ),~, k 2 si rieava per ~ l ' e q u a z i o n e di quarto grado:

(2) D-=--i a~,~ ~ + s , ~ + b , ~ , a'~-~ + ~"~P'-~-b~'2 = 0 .

t a~,~ ~ + % ~ + b , ~ , , a ~ ~ %~,,--t-b~ I

Ora la n a t u r a del moto pi~ generale del sistema dipende da quella del- F integrale g e n e r a l e delle (1), e questo, a sua volta, dipende dalla n a t u r a delle radici della (2), ehe ~ l'equazione earatteristiea del sistema (1).

Trasformiamo, quindi, o p p o r t u n a m e n t e la (2). Costruiamo con i coeffi- cienti di T, - - V e F le tre forme q u a d r a t i c h e definite positive:

(3) g ( x ) = b~x~ + 2b~2x~x~ + b ~ ]

2

e vediamo se ~ possibile, m e d i a n t e la sostituzione lineare propria S definita dalle formule :

(4) x~ = c.~y, + c~y~,

L. Gnxss~: Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di libert5 l l t

r i d u r l e s i m u l t a n e a m e n t e alle forme c a n o n i c h e : G(x) = G'(y) = a'~ ,y~ -~ a'2~y ~

(5) = H ' ( y ) = b,,y + b

Affinch~ tale riduzione simult~nea sia possibile oecorre e basra t h e una delle (3) sia eombinazione l i n e a r e omogenea delle altre due. Infatti~ in tal caso, la sostituzione lineare propria S, definita dalle (4), che r i d u c e simalta- n e a m e n t e a f o r m a canonica due delle tre forme quadratiche G(x), H(x), e L(x) riduce a n c h e la terza. Possiamo, dunque, a f f e r m a r e :

Condizione necessaria e sufficienle affineh~ esista u n a sostituzione lineare p r o p r i a S definita dalle (4) che r i d u m s i m u l l a n e a m e n t e le tre f o ~ n e q u a d r a .

liche (3) alle forme canoniche (5) ~ ci%e si abbia :

(6) A ~ b~ b~ b~ = 0 .

Supposto verificata la (6), sia:

So 2~__ tcti c~21

,~G2t C2~/

la sostituzione lineare ohe riduoe s i m u l t a n e a m e n t e le forme quadratiche (3) alle forme canoniche I5), e cambiamo le coordinate qf e q~ in altre ,~ e P2 m e d i a n t e S 0; cio~ poniamo :

qi == c ~ i + Cl~P:: ; q~ i C~tpi + C~2~2 ; da cui derivando rispetto al tempo:

ql' -~ C~i~' -t- Ci2~' ~ q2' == C~Q~' + C,2~2'.

Con cib possiamo scrivere in definitiva, indicando con bt, b~, %, % nuove costanti :

- 2 v = 5m7

Le equazioni del moto diventano:

(l') i ~," + ~ ' + b,~, = 0

t 9-2" + %~-~' + b~2 - - O.

Le (1') si seindono, eosi, in due equazioni, ciaseuna delle quali contiene u n a sola ~, ed o g m m a si i n t e g r a separatamente.

112 L. G~AssI: Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di libert4

Le (1'), seritte in coordinate normali p, e p~, equivalgono alle (1) seritte in coordinate q u a l u n q u e q~ e q~; per cut le propriet'X fondamentali del moto si potranno studiare sulle (1').

L ' e q u a z i o n e c a r a t t e r i s t i e a del sistema (i'1 a t t u a h n e n t e si spezza nelle due equazioni c a r a t t e r i s t i c h e delle due (1').

§ 2. P e n d o l o d i B l a e k b u r n .

In pratica si possono p r e s e n t a r e dei eoncreti sistemi a due gradi di libert'h in cut, verificandosi il easo particolare del § precedente, si pub ri- d u r r e s i m u t t a n e a m e n t e a forma eanonica le tre forme q u a d r a t i e h e che espri- mano T, - - V e F. Un primo esempio 6 fornito dal pendolo semplice; in fatti per tale sistema le forme q u a d r a t i e h e che esprimano T e - - V hanno i coefficienti proporzionali. U n altro sistema vibrante del medesimo tipo 6 il eosidetto pendolo di BI,~OKBURN.

U n filo inestendibile A CB 6 fissato agli estremi A e B posti al medesimo livello, mentre un peso 20, attaeeato al punto medio C, mediante un filo CP, distende i due tratti A C e CB seeondo segmenti rettilinei.

A s s u m i a m o una terna di assi cartesiani ortogonali con l ' o r i g i n e nel punto 0 e con l ' a s s e delle z vertieale volto in basso. P e r le piceole oseilla- zioni, che avvengono nel piano della fig. 1, cio~ nel piano yz, il punto di

sospensione

A ' 0 B y

P} @'

Nig. 1

p r a t i e a m e n t e C, quando

2 ~P

Fig. 2

si s u p p o n g a il peso P a b b a s t a n z a grande per tenere ben test i due tratti A C e CB.

Indiehiamo con )~ l ' a n g o l o ehe CP' forma con F asse z, si ha per le coordinate x, y e z di P ' :

x : 0 , y = b s e n ) ~ , z = b cos ), -4- a, indicando con a e b i due tratti OC e CP.

L. GRASSy: Moto tibero s m o r z a t o dei s i s t e m i ct due g radi di libert(~ 113

F a c c i a m o o r a o s c i l l a r e P nel p i a n o ~z (fig. 2): esso t r a s e i n a con s~ t u t t o il [ilo A B C eel il p u n t o di sospensione d i v e n t a O, e si ha, a n a l o g a m e n t e al caso p r e e e d e n t e :

x - - (a +- b) s e n % y = 0 , z = (a t- b) c o s ?.

C o m p o o e n d o i m o v i m e n t i , le c o o r d i n a t e di P a l t e m p o l, nel moto risul- tante, sono :

x - - ~ ( a o t - b ) s e n % y = b s e n ) ~ , z --= (a 4- b) c o s ~ ~ b c o s ) ~ - - b . L~t forza viva. e ta f u n z i o n e potenziale sono d a t e d a :

T = ~ m ( x '~" + y'~ + z'~), 1 V - = m g i z - - (a -t- b}],

e q u i n d i si h a :

2 1 ' = m[(a + b) ~ cos qo.~ '~ + b 2 cos ~ ),-~,'~ + (ct + b)" sen 2 ~-~'- -t- q- b ~ s e n ~ k. k ''2 -t- 2b(a + b) s e n ~. sen )~- ~'. ),'],

V = mg[(a + b) cos ~ + b cos I - - b] - - m g ( a + b).

T e n e n d o p r e s e n t e che gli a n g o l i ~ e ), si m a n t e n g o n o p i c c o l i s s i m i d u r a n t e il moto abbiamo, nei soliti l i m i t i di a p p r o s s i m a z i o n e :

2 T : m[(a + b ) ~ '~ + b~),"~],

V _ ~ m g [ ( a + b ) _ (a_t_b)~ ~ 2 -~ -t- b b V 2 b - - m g ( a -t- b). ]

D u n q u e la [orza v i v a e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e p r e n d o n o la f o r m a :

t 2 T = m ( a + b)~? '~ -I- mb~), '~

t - - 2 V = m g ( a + b)"~ ~ + mgb)(q

L a f u n z i o n e di d i s s i p a z i o n e /~, n e i soliti l i m i t i di a p p r o s s i m a z i o n e , p r e n d e la f o r m a :

2 F .... s(a d - b)~p '~ + ~b'~X '',

s u p p o n e a d o t h e l ' a z i o n e d e l l a r e s i s t e n z a i n c o n t r a t a dal p u n t o i°, m u o v e n d o s i nell' aria, si possa r a p p r e s e n t a r e m e d i a n t e u n a forza opposta a l l a s u a velocith e proporzionale, in grandezza, a q u e s t ' u l t i m a . L a forza (R) cosi a p p l i c a t a al p u n t o P h a p e r proiezioni c a r t e s i a n e :

R ~ ~-- - - k x ' , od a n c h e , p o n e n d o - - k = s:

R x = ea3'~

.4~¢~ii di ,~f(~e~ct~{cc% S e r i e 1V, Tomo X-VI,

R ~ -= - - ky', R z --= - - k z ' ;

R y -= sy', R ~ - - ez'.

15

114 L. G ~ . s s ~ : Mote libero smo.~'z.t~) dei sistcmi a due gradi di libertS.

L e equazioni del mote smorzato sono:

t m(a ~- bf~" + s(a + b)~ ' + mg(a + b)+ ~- 0 i m b ~ '' + s6~k ' + mgb)~ = O;

od anche:

i m C + ~ ' + a ~ - b ~ ~ 0 mg

t mg

,~ m)." + s?~' -d- ~-- ~ - - 0 , che sono equazioni del ripe (i').

A seconda dei segni di U a + - b e 4m~g U 4m'-'g il mote, n a t u r a l m e n t e b ' smorzato, eorrispondente alle coordinate ~? e ), ha carattere periodico o ape- riodieo; siech6 il mote pifl generale del sistema si compone di clue vibcazioni smorzate, e n t r a m b e poriodiche, o e n t r a m b e aperiodiche, oppure una periodica ed una aperiodiea.

§ 3. R i d u z i o n e s i m u l t a n e a d i T e F a f o r m a c a n o n i c a .

Come si ~ visto al § 1 non si pub, in generale, ridurre s i m u l t a n e a m c n t e a forma canonica le tre forme q u a d r a t i c h e T , - V e F ; possiamo, perb, s e m p r e e f f e t t u a r e tale riduzione simultanea per due q u a l u n q u e di esse. Sia:

So ~ ( c't c~ 1

~V~i tee ]

la sostituzione lineare p r o p r i a a coefficienti reali che riduce simultanea.

m e n t e a forma canonica le forme q u a d r a t i c h e T e F, e cambiamo le coor- dinate qi e q~ in altre ~l e ~ mediante S,,.

P o t r e m o serivere le ire forme fondamentali nel seguente mode:

2T +

i ,== ~(2 ~.2'2

- - 9 - - ~ b 2

Le equazioni del mote d i v e n t a n o :

la cui equazione caratteristica ~:

(7) --- b~2 i = 0.

t ~ -~= ~2~ - t b~ !

L. C~RASSI: x]{OtO libero smorzato dei sistemi a due gradi di tibertg 115

La (7), essendo di quarto grado, pub avere due coppie di radici complesse conjugate, u n a coppia di radici complesse conjugate e due radici reali, o tutte e quattro le radici reali. Vediamo sotto quali condizioni possiamo assi- c u r a r c i della presenza di uno eli questi casi.

Scritta la (7) sotto la f o r m a :

(p? + s,~ -t- b~)(~d + so~ + b~) = b~, poniamo :

(s) (9)

y , = (re- + s , ~ + b~)it~ ~ 4 - ~ + b.~), y.~ ----

b~,

zi = ~ + s, p. + bi, z~ - - ~'-' + salt -+- b~.

La 1 a delle (S) r a p p r e s e n t a u n a eurva del 4 ° ordine; la 2 ~ u n a tetra paxallela a ll'asse ~ e distante da esso di b~; le ( 9 ) r a p p r e s e n t a n o due pa- rabole. Le radici di yi = 0 sono:

It, i = 2 ' ~41 = 2 ;

quelte reali sono negative; per ~ t = O si ha y ~ = b t b ~; per ~ t > O , Y I > Y ~ , essendo b , b ~ - - b ~ > O; quindi se y, = 0 ha radici reali, y, =y.~ ha, a sua volta (fig. 3), ahueno due radici r e a l i ; ciob, se sono verificate le due condi-

Fig. 3

zioni e ~ 4 b i , a~>4b~, od almeno u n a di esse, siamo sicuri che le radici d e l F e q u a z i o n e caratteristica (7) non sono tutte complesse. D u n q u e :

Condizione necessariw affinch~ l' equazione caratteristica abbia due coppie di radici complesse coniugate ~ che siano verificate le condizioni s~ < 4b~, s~ < 4b~.

La condizione precedente non ~ perb sufficiente potendo essere ~ ~ 4b,, e~ < 4b~ e la (7) avere radici r e a l i .

Questa condizione necessaria ~ p a r t i c o l a r m e n t e interessante in quanto fornisee un limite superiore per i coefficienti di smorzamento, affinch~ questi coefficienti consentano ancora moti fondamentali di tipo periodico.

4. C o n d i z i o n i s u f f i c i e n t i a f l i n c h 6 , p e r e~ ~ 4:b~, s~ ~ 41,~, l' e q u a z i o n e e a r a t t e r i s t i c a a b b i a q u a t t r o r a d i e i r e a l i . Esaminiamo, separatameute, i seguenti quattro casi che si possono pre- sentare fra le costanti b e e.

it6 L. Gnz~ss~: Moto tibero smorzato dei s i s t e m i a d,ne gracti di libertd~

I. C_~so :

b, ~ b : , ~ > ~,.

Dalle (9) segue z~ > z.~ in tutto l'intervallo ( - - ~ , 0) (eseluso al pi~

il secondo cstremo); lc radici di y , : 0 s o d d i s f a n o alle disuguaglianze:

Fig.

I1 massimo 4 ' 2 ' essendo,

) (

per a _ 4: ' y~ erescente , od anche n e l l ' i n t e r v a l l o ~2, ---~- , ehe ~ pifi o meno ristretto del p r e c e d e n t e secondo ehe ~ % +4 ~ ° ~ [ ~ 2 1 "

di y, ~ compreso n e l l ' i n t e r v a l l o (

Se il valore che assume y, nel punto ~ - -

, -]- %

2 6 ~ di b;~ vi seno (fig. 5)

Y

Fig. 5

quattro intersezioni fra le curve (8), e quindi altrettante radici reali de]- l ' e q u a z i o n e caratteris~ica (7). D u n q u e :

C o n d i z i o n e s u f f i c i e n t e a f f i n c h ~ la (7) abbia q u a t t r o r a d i c i r e a l i ~ t h e sia : (10) ( ~ - 4bJ(2e,e 2 - - ~ - 4 b ~ ) ~ 16b~.

II. Caso :

b2 ~ b~ , ~ > ~.~ .

Vale a n c o r a tutto quanto s ' 6 visto at caso precedente, biare b~ con b~ e ~ con s.~.

III. CAso :

ba.sta scam-

L. Gi~,ss~: Moto libero smorzato dei sislemi a due gradi di libert& 117

- b~ -- b.~

Dalla (9} si ha z~ > z.~ nell' i n t e r v a l l o (-- 0% ~), e s s e n d o p e r t ~ = I ~ = - -

E t - - E 2 '

~ = z~; z, > ~ n e l l ' i n t e r v a l l o (~, 0). V e d i a m o le d i s u g u a g l i a n z e ehe si pos- sono p r e s e n t a r e fra le r a d i e i di Yt-~-0. P e r :

eio~ p e r [ bt4 I > I ~.~ [ o p e r I ~a I > [ ~ I, valgono a n e o r a i r i s u l t a t i o t t e n u t i a,i casi I e II. Bisogna, perb, n o t a r e ehe nel I caso si s u p p o n e v a % > s~ m e n t r e ora si s u p p o n e E , > % ; q u i n d i , p e r t l ~ ] > t b t ~ l - > - [ ~ t t ! > I ~ : , i , il m a s s i m o di y, b e o n t e n u t o n e l l ' i n t e r v a l l o ( - - ~ , t~,), ehe b pifi o m e n o ristretto del-

l

l

X /

glianze (11) n o n sono v e r i f i e a t e deve e s s e r e :

112) o

P e r il verificarsi del p r i m o .gruppo di q u e s t e d i s u g u a g l i a n z e occorre e b a s t a che sia I I ~ l > l ~ t ~ l ; p e r il v e r i f i e a r s i del s e e o n d o : (b,--b~) ~q- -t-(e~ %}~b~q - - b,%) < 0. Sia Verificato il p r i m o g r u p p o delle d i s u g u a . glianze 02) (fig. 6). II m a s s i m o valore di y~ b e o n t e n u t o n e l l ' i n t e r v a l l o (~, I%),

Fig. 6

o n e l l ' i n t e r v a l l o (~,, ~) s e c o n d o che ~ E~ - - 4b~ ~ E~-- 4b~; essendo y, rispet- t i v a m e n t e e r e s e e n t e o d e c r e s c e n t e p e r ~t ~ ~.

Sia ora verifieato il s e c o n d o g r u p p o delle {12) {fig. 7). P e r e~-- 4b, > e~-- 4b~

\

l~ig, 7

iI m a s s i m o di 9t b e o n t e n u t o n e l l ' i n t e r v a l l o [ - - s~ + %

\ _{4 '}

easi p o s s i a m o sostituirgli u n i n t e r v a l l o pitt ristretto.

E~ 1 , °

~- ma in certi P r e e i s a m e n t e per

i18 L. ORASSI: Moto libero smorzato dei sisteml a due gradi di tibert~

r 2

l'intervallo ( s , - t - % - 4 ' ~) ; infine per siA- s.~ 4 > { ~ 4 [ e t ~ I < 3 % l'intervallo

( ' )

( ) ~, -1- % s,

tenuto nell'intervallo - s~ z ~ + % . per [ ~ i l > - e [ ~ I < nel-

2 ' 4 ' 4 3

l'intervallo (~, t~t); per [ ~ 1 t > ~ i + % 4 e I ~-I > nell'intervallo - - 2 ' ~' ; ( ~' ) infine per % + ~° 4 " > I ~t~ t e ~ > I ~t nell'intervallo ~' (~, ~' + ~ ) 4 "

- b, - - b~

Se il valore ehe assume y~ per ~ - - ~ maggiore od uguale

$~ - - E,2

a b~ siamo sicuri cite la (7) ha quattro radici reali. Si ha quindi: condizione sufficiente affinchO l' equazione caratteristica abbia, per t ~2 I ~ t ~ 1 > t t~ 1 ->~- 1 t~.~ I o per I ?~ 1 > I ~t4 t > t 9~ t > I ~a t, quattro radici reali ~ che sia:

Per 1 ~ I > l I ~ 4 t > l i h J > l ~ % t possono anche essere verificate le con- dizioni suffieienti viste ai easi I e II. Di queste due condizioni b prefe- 4b~ > ~ 4b~" quella del I I easo per ribite quella del I easo per % - - s t - - ,

a~ - - 4b~ > s~ -- 4b~, essendo:

4 b ~ ~ 4b~. P e r I~[ > 3 alla eondizione suffieiente secondo che b % - - $~--

(13) ~ preferibile quella vista al I easo, per -ff > t~] quella del I I case, IV. C~so :

b ~ > b ~ , % > s ~ .

Vale aneora tutto quanto s'b visto al easo preeedente, basra scambiare

b~ c o n b~ e ~ c o n ~.~.

§ 5. C o n d i z l o n i s u f l i c i e n t i a f l i n c h ~ , p e r % < 4 b ~ , ~ % < 4 b ~ 2 , l ' e q u a - z i o n e c a r a t t e r i s t i c a a b b i a d u e c o p p i e d | r a d i c i c o m p l e s s e c o n j u g a t e .

Se l'equazione y ~ - - 0 ha due coppie di radiei eomplesse conjugate il prodotto dei minimi valori di z~ e z.~, nell'intervallo in cui ~ contenuto il

L. ( ~ A s s : : Moto tibero smorzato dei sistemi ct due gradi di tibert(~ 119

m i n i m o valore di y~, 6 m i n o r e di questo m i n i m o w l o r e . Ora il m i n i m o valore di y~ ~ c o m p r e s o nell' intervallo [ % % -[- ~ o nell' intervallo

\ 2 ' 4 ] '

( ~ ' + % 4 ' -~) secondo che b 4 b , - - ~ 2 ~ 4 b i - - z : . ~ Infatti i w l o r i c h e as-

- - - + a e ~ = - - - - a (essendo

c~ u n a quantit~ positiva arbitraria) h a n n o la stessa somma, e quindi y~

maggiore in quello di quei due p u n t i in eui I z~--z~l ~ minore. D u n q u e , se il m i n i m o valore di yt ~ compreso n e l l ' i n t e r v a l l o ( ~' ¢ t - i - ~ ' )

2 ' 4 ] ' u n a eondizione sufficiente affinchb l ' e q u a z i o n e caratteristica (7) abbia due coppie di radici complesse c o n i u g a t e ~ espressa da:

4 ' ~ espressa da:

OSSE~VAZIONE. - - Se yt ha un sol minimo, eib ehe aeeade e e r t a m e n t e se 6 verifieata la (15) (§ 6~ I I I ease}, possiamo restringere a piaeere l ' i n t e r . vallo in eui 6 e o n t e n u t o il m i n i m o di y~, bastando, in tal ease, eonoseere il segno di Yi in p u n t i e o n v e n i e n t i ; e quindi possiamo ottenere eondizioni suf- fieienti pit: restrittive.

§ 6. C o n d i z i o n i s u i l i c i e n t l a f l i n c h / ~ l ' e q u a z i o n e c a r a t t e r i s t i c a a b b i a d u e r a d i c i r e a l i e d u n a c o p p i a d i r ~ t d i c i c o m p l e s s e c o n j u g a t e .

A seeonda del segno dei d i s e r i m i n a n t i delle equazioni z i -=. 0, z. 2 - - 0 si possono p r e s e n t a r e i seguenti easi:

I. CAse :

~ ~ 4b~, ~~ .~ ~ 4b~

Se b~ ~ maggiore del massimo di Yi vi sono due sole intersezioni fra le curve (8)' Ora quest° m a s s i m ° 6 sempre c ° m p r e s ° nell' intervall° ( ~' 2 ' ~ )

120 L. Ga~ssI: Mote libero smorzato dei sistemi a due gradi di libert5

simo valore di y~ ~ minore del prodotto dei valori ehe assumono z~ e z 2 ri- spe~tivamente per t~-- % 2 ' '~ - - s~. 2 ' se le disuguaglianze precedent i fra le radiei di Yt = 0 non sono verificate dobbiamo, inveee, considerate il prodotto dei valori ehe assumono z~ e z2 rispettivamente per ~ = - - ~ , p.-- 2"

Quindi, se g verifieato uno dei due gruppi di disuguag!ianze:

una eondizione su/fieiente affinehg la (71 abbia una eoppia di radiei eomplesse eoniugate e due radiei reali g espressa da:

altrimenti ~ espressa da:

0SSERVAZlO~E. - - Si possono ottenere condizioni pifl restrittive in quei in cui all' intervallo ( % %)

e a s i

(§

di y~, si pub sostituire un intervallo pii~ ristretto.

II. C A s o :

~

L ' e v e n t u a l e massimo di y~ 6 sempre eompreso nell' intervallo ( % %)

I %

Si ha: condizione sufficiente affinch~ l' equazione caratteristiea abbia due radiei reali ed u n a cop_pin di radici complesse conjugate ~ ehe sin:

(t4) 16b~2 ~ (e~ + 4b~ - - 2s&2)(e ~ + 4b~ ^{- -} 2e,%).

Anehe in questo ease possiamo ottenere eondizioni pifi restrittive sosti- tuendo all'intervallo ( ~2' %'~2]' eontenente il massimo di y~, intervalli pifl ( P e r es. (§ 5 ) u n o degli intervalli ( % % -+ %~ _ ( z' -4-% ~ ) )

ristretti. _{\ k 2 ' 4} ] ' - - - T - ' '

Se y~ ha tin sol minimo, affinehb l'equazione caratteristica abbia due radiei reali ed una eoppia di radici eomplesse coniugate basta ehe b~+ sin maggiore di nn q n a l u n q u e vatore eli y~.

III. CAse :

L. G ~ a s s r : Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di libert~ 121

Sussiste a n c o r a la condizione s u f f i c i e n t e (14) del caso p r e c e d e n t e ; condi- zi°ni Pifi r e s t r i t t i v e si ° t t e r r e b b e r ° r e s t r i n g e n d ° 1' i n t e r v a | l ° ( ~ 2 ' ~ ) con- t e n e n t e il m a s s i m o di y~.

P e r ' ) . ~L% > % - 4 - 4 b ~ ~ ( eio6 p e r l ~ l > ~ - > I ~ , l % ) e ~ ~ < 4 b ~ , o p e r 2%% .> ~; -4- 4b~, cio~ p e r ~ , l > g > l l x : ~ l e ~ < 4 b ~ , la (14) ~ s e m p r e veri.

f i e a t a ; q u i n d i vi sono d u e sole r a d i c i reali per l ' e q u a z i o n e earatteristica,.

Infatti, da s~-t- s~ > 2%% segue ~ q - 4 b ~ > 2s,s., o s~-4- 4b, > 2s~% secondo che b 4b., > % o 4 b , > ~ . 2

Vediamo, ora, u n ' a l t r a condizione s u f f i c i e n t e affinch~ Ia (7) abbia d u e r a d i c i reati ed u n a e o p p i a di r a d i c i e o m p l e s s e conjugate. S e y~ ha u n sol m i n i m o vi sono d u e sole in~ersezioni f r a le c u r v e (8). D e r i v a n d o d u e volte y, si ha :

y," = 12~ 2 + 6(s~ + %)F + 2(%% + b~ -t- b.2), e le r a d i c i di y / ' = O sono:

w, i = - - 3(~, + %) ± V9(% + %)2 __ 24(s,% + b, + b~).

w. z I. 12 '

q u i n d i p e r 3(z~ A- e.~) ~ < 8(e~% + b~ -f- b~) i' equa, zione y / ~ - 0 h a u n a sola r a d i c e reMe e y~ u n sol m i n i m o . D u n q u e :

Condizione sufficiente affinch~ la (7) abbia due radici reali ed u n a coppia di radici complesse cortiugate d che sia :

(15) 2(4b~ - - z~ + 4b~ - - s~) > (~, - - ~)~.

§ 7. A l c u n i c a s i p a r t i c o l a r i .

- - 4b~ = ~ 4b~.

" £ I £~ - -

, - b~ - - b~ s~ + %

I n questo caso b s e m p r e y~ ~ 0 p e r ~ = ~ _ ~ . . . - - _ _ _ _ ~ .

St - - ~2 4

P e r ~ > 2 4b~, % > 4b.2, essendo y / ' < O, y, ha il m a s s i m o nel punto ~t = ~-. Si he~ q u i n d i :

Condizione necessaria e sufficiente affinch~ 1 ~ equazione caratteristica abbia quattro radici reah; ~ the sia :

Annctli di M a t e m a t i c a , S e r i e I V . T o m o XV][.

16

i22 L. GRassy: ~oto libero smorzato dei sistemi a due gvadi di libert4

Segne che per:

[(% - - %}~ --t- 16b~ - - 4~1 < 16 i b,.~ ]

la (7) ha due radiei reali ed u n a eoppia di radiei eomplesse eoniugate.

Sia,

y, ha,, rispetfivamente, il m a s s i m o od il m i n i m o nel p u n t o ~t = ~. Quindi per -~ < 4 b ~ - a~ la (16) esprime la eondizioae neeessaria e suffieiente affineh~ l ' e q u a z i o n e earat~eristiea (7) abbia due radiei reali ed u n a eoppia di radiei eomplesse eoniuga~e. Se la 06) non ~ verifieata si h a n n o due coppie di radiei eomplesse eoniugate. P e r \ ~ y - ] > 4b~--e~ si h~: condizione ne- eessaria e s.ufficiente a ffinch~ l'equazione ectratteristica (7) abbia due radiei reali ed u n a coppia di radici complesse conjugate ~ ehe sia :

16 i b,~ I >" (z, - - % ) ~ + 16b, - - 4 ~ .

In partieolare per ¢~--~ 4b~, ¢~ = 4b~ la (16) si riduee a:

~

II. % = % , b~=~b~.

P e r a ~ 4 b , , ~ _ 4 b 2 , y~ ha il massimo per t ~ - - - ~ ; per ~ < 4 b , ,

~* Si ha q u i n d i : a~ < 4b. 2, y~ non ha massimo, ed ha u n sol m i n i m o per t~ - - 2 "

Condizione necessaria e su['ficiente affinch~, per ~ ~ 4 b , , a~ ~ 4be, l' equa- zione oaratteristioa (7) abbia quattro radici reali, o, per ~ < 4b,, ~ < 4be, abbia due coppie di radici complesse coniugate ~ che sia :

( ~ - 4 b ~ ) ( ~ - 4b~) > 16b~.

Se questa disuguaglianza, non ~ verifieata la (7) h a due radiei reali ed u n a eoppia eli radiei eomplesse conjugate.

Infine, p.er e~ ~ 4b,, s~ < 4b~,, o p e r ~ < 4bi, ~ ~ 4be, l ' e q u a z i o n e earat- teristiea {7) h a due radiei reMi ed u n a eoppia eli radiei eomplesse eoniugate.

OSSEt~VAZIONE. - - Quest~o easo partieolare g i n t e r e s s a n t e anehe p e r il suo signifieato fisieo; infatti si p r e s e n t a quando lo smorzamento ~ espresso da u n sol eoeffieiente (%-= % == s).

L. G ~ s s ~ : Moto libero smorza, to dei sistemi a due gradi di libert& t23

§ 8. R i d u z i o n e s i m u l t a n e a , d i T e - - V a f o r n ~ a e a n o n i e a .

Similmente a quanto si 6 fat~o per la riduzione s i m u l t a n e a a f o r m a canonica delte forme qnadratiche T e F, si pub trattare il caso della ridu- zione s i m u l t a n e a di T e - - V, o di - - V e F.

~[i limito al caso, p r a t i c a m e n t e pi/~ notev01e, della, forza viva e del- l' energia ' potenziale. P e r queste forme quadratiche si h a (~):

i 2 T ~--- p,2 q.. p2,~

to ~ t t ]2

Le e q u a z i o n i . d e l moto diventano:

gg t t

t l f ~ f

la cui equazione c a r a t t e r i s t i c a ^6:

(17) f( t) + + b, ---- 0.

e ~ ~t ~ -~- %t~ -t- b. z Scritta la precedente sotto ta f o r m a :

poniamo : (is)

(19)

L a prima delle (18) r a p p r e s e n t a una eurva del q u a r t ' o r d i n e ; la seconda una retta parallela a l l ' a s s e } e distante da questo di a~. Le (19) rappre.

sentano due iperboli.

Ora, con metodo p e r f e t t a m e n t e analogo a que]lo usato precedentemente, si ottengoao risultafi analoghi a quelli ottenuti riducendo s i m u l t a n e a m e n t e a forma eanonica T e F.

3~i limito, quindi~ ad esporre i principati risultati:

1 °) Condizione necessa/rict (ma non sufficiente) affinch~ l'equazione ca.

(t) N a t u r a l m e n t e ~ le a t t u a l i c o s t a n t i b e e s m l o diverse d a q u e l l e o t t e n u t e r i d u e e n c l o s i m u l t a n e a m e n t e a f o r m a c a n o n i c a T e F .

124 L. GRASSI: Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di Iibert&

ratteristica (17) abbia due topple di radici complesse coniugate ~ the sia:

~ < 4b,, e~ < 4b~.

2 °) Condizioni s u f f i c i e n t i affinchb, p e r ~ > 4b~, ~ > 45.2, l'equazione c a r a t t e r i s t i c a (17) a b b i a quart:to radici reali.

P e r % ~ s~, b, > b~, una, c o n d i z i o n e sufficiente b e s p r e s s a d a : (20) (< - 2 V ~ ) ~ - Vb, . . .

p e r ~, ~ %, b.~ > b~, d a :

(21) (s~ - - 2 V ~ ) ( < - - \"~b~ - - - -

\

Et2

Sia ora. e, > %, b~ > b~. P e r [ bt4 { > [ ~ [ o [,% { > I~t~ I(~) valgono a n c o r a l.e condizioni (20) e {21).

Se le p r e c e d e n t i d i s u g u a g l i a n z e fra le radioi di y~ == 0 non sono veri- ficate u n a c o n d i z i o n e s u f f i o i e n t e 6 e s p r e s s a d a :

t22) b , - bo - - - - ' + %b~ - - e~b., - >1~,21"

, % - - q b, - - b~ - - N o t i a m o che p e r :

(b~ - b ~ ) ~ + (~ - - ~ l { b ~ - - b,%) < 0

p o s s o n o a n c h e e s s e r e v e r i f i c a t e le eondiaioni s u f h m e n t l (,,0) e (21). P e r [~1 > ¥'b~ (~) alla ( 2 2 ) b p r e f e r i b i l e la (20), p e r V g > t ~-I l~ (2,). e~r ~ . > < , b~ > b, ~ t , a n c o r a q u a n t o s ' o visto p e r % > %, b~ > b~; ba,sta scambia,re b~ con b e e

¢t COil ¢2"

< 4b~, ~ < 4b2, l' equazione 3 °) Condi~ione sufficiente affinch~, per q

caratteristica (17) ctbbia due coppie di radici comptesse coniugate ~ che sia.:

4 o) Condizioni s u f f i c i e n t i affinch~ l ' e q u a z i o n e c a r a t t e r i s t i c a a b b i a d u e radici reMi ed u n a c o p p i a di r a d i c i c o m p l e s s e c o n j u g a t e . S i a d a p p r i m a : a~ ~ . 4b,, e~ ~ 4b.2. P e r :

u n a c o n d i z i o n e sufficienle ~ e s p r e s s a d a :

{') Con !ixi{, lge{, !~al e !I~41 i n d i c h i a m o , r i s p e t t i ~ , a m e n t e , i v M o r i asso]uti delle r a d i e i delle e q u a z i o n i z~ -= O, z 2 = O.

(-z) P o s t o ~ b~--b2

L. C~aAssI: Moto libero smorzato dei sistemi a due gradi di libert5 t25

altrimenti da :

o /

% - 2 - - 2 b t.

P e r s~ ~ 4b~, ~C~ 4b.,_, o per a~ C 4b~, a~_ ~ 4b.~._. vale ancora la (23).

5 °) Sia:

Condizione necessaria e sufficiente a f f i n c h G p e r e~ ~ 4b~, e-~ ~ 4b~, l' equo~.

2 ~ 4b~ e ~ 4 b i zione caratteristica (17) abbia quattro r a d i c i reali, o p e r ~ , , abbia due coppie d i r a d i c i complesse coniugate ~..che sia :

Se questa condizione non 6 verificata F equa,~ione caratteristica ha due radici reali ed u n a coppia di radici complesse coniugate.

Infine per e~ ~ 4b,, ~ ~ 4b,, o per e~ ~ 4b~, ~ ~ 4b,, si h a n n o due radici reali ed u n a coppia di radici complesse coniugate.

B I B L I O G R A F I A

Lord RAVL~ZI~H, The theory of Sound.

!~HO~ISO~ and TA~T, Treatise an Natural _Philosophy.

LEVJ-CIVITA O :~,'~[ALDI~ Lezioni di mec, c~nica razionale.

DANIELE, Lezioni di fisica-matematica. R. Universit~ di Pisa. Anno 19'25-~6.