Funzioni - Parte II. 1 Composizione di Funzioni. Antonio Lazzarini. Prerequisiti: Funzioni (Parte I).

Funzioni - Parte II

Antonio Lazzarini

Prerequisiti: Funzioni (Parte I).

1 Composizione di Funzioni

Sappiamo che é possibile denire diverse operazioni fra i numeri: addizione, sottrazione, moltiplicazione, elevamento a potenza...

Possiamo denire allo stesso modo anche svariate operazioni tra le funzioni:

addizione,sottrazione,moltiplicazione...

Tuttavia l'operazione piú importante che si puó denire tra le funzioni é quella di composizione.

Iniziamo con un esempio.

Esempio 1. Immaginiamo due banchi vicini. Ai banchi sono seduti due ra- gazzi: Alex e Laura. Alex riceve dall'insegnante questo compito: ogni volta che io sceglieró un numero tu dovrai calcolare il doppio di questo numero.

Laura riceve invece dall'isegnante questo compito: ogni volta che Alex avrá calcolato il doppio del numero scelto da me tu dovrai aggiungere 1 a quel numero e poi elevare il risultato al quadrato.

L'insegnante sceglie il numero 3. Alex, come da istruzioni, ne calcola il dop- pio. Il numero che ha ottenuto, il 6, viene fornito a Laura che, ubbidendo all'insegnante, aggiunge 1 al numero e poi eleva il risultato al quadrato. Il numero ottenuto da Laura è dunque 49.

Cerchiamo adesso di generalizzare questi passaggi. L'insegnante sceglie un numero; chiamiamolo x. Il numero viene indicato ad Alex che ne calcola il doppio. Dopo questo passaggio il ragazzo fornisce il nuovo numero, 2x a Laura. Ella aggiunge uno al numero ed eleva il risultato al quadrato. Il numero ottenuto é dunque (2x + 1)².

Possiamo pensare alla situazione descritta come ad una sorta di catena di montaggio fra l'insegnante, Alex e Laura.

Il meccanismo che abbiamo descritto puó essere rappresentato usando due funzioni: una ci servirá per indicare il comportamento di Alex, l'altra quello di Laura.

La funzione che descrive il comportamento di Alex é la seguente: f : x → 2x che ha come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali (l'insegnan- te sceglie un numero qualsiasi). La funzione che usiamo per descrivere il

comportamento di Laura é invece la g : y → (y + 1)² ed anche essa ha come dominio R e come codominio R. La catena di montaggio puó essere rappresentata, usando le funzioni, in questo modo:

x7−→ 2x^f 7−→ (2x + 1)^{g 2}

Immaginiamo adesso che la mamma di Alex, che si trova fuori dall'aula comunichi un numero all'insegnante. La donna non vede quello che accade nell'aula. L'insegnante entra in classe, comunica il nuero ad Alex. Egli ne calcola il doppio e su questo numero Opera Laura. Il risultato ottenuto dalla catena di montaggio viene comunicato da Laura alla mamma di Alex.

La donna non sa come il numero nale sia stato ottenuto. Per lei conta solo il numero che ha fornito all'insegnante ed il numero ottenuto da Laura.

Possiamo descrivere la situazione ricorrendo ad una nuova funzione h : x → (2x + 1)² che ha come dominio e codomonio R. Questa funzione produce lo stesso risulatato della catena di montaggio saltando il passaggio intermedio (il compito di Alex). La funzione h si chiama funzione composta di f e g).

Denizione 1 (Composizione di Funzioni). Siano S, T e V tre insiemi qual- siasi. Consideriamo due funzioni: f : S → T tale che x7−→ f (x)^f e g : T → V tale che x 7−→ g(x)^g . Chiamiamo funzione composta di f e g la funzione h cosí denita:

h : S → V x → g(f (x)) Scriveremo h = g ◦ f.

Osservazione 1. Attenzione: h = g◦f signica che prima dobbiamo applicare f e poi g ! Quando si scrive la compisizione ad una sequenza di funzioni le funzioni si applicano in ordine da destra a sinistra!

Osservazione 2. Attenzione: Il codomonio della funzione f deve coincidere con il dominio della funzione g. In caso contrario le due funzioni non si possono comporre.

Denizione 2 (Funzioni Uguali). Due funzioni f e g si dicono uguali se : 1. Hanno lo stesso dominio

2. Hanno lo stesso codominio

3. Operano allo stesso modo sugli elementi del dominio (cioé ad ogni elemento del dominio associano lo stesso elemento del codomonio) Teorema 1.1 (Proprietá Associativa della Composizione di Funzioni). Siano S, T, V e W quattro insiemi. Siano f : S → T , g : T → V e h : V → W tre

In altre parole: la compizione di funzioni é una operazione che gode della proprietá associativa.

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che due funzioni sono uguali. Quindi, in base alla denizie di funzioni uguali dobbiamo dimostrare 3 cose.

1. . Le due funzioni hanno lo stesso dominio.

h ◦ (g ◦ f )

Analizziamo prima la funzione g ◦ f. Essa ha come dominio S e come codominio V (applichiamo prima f : S → T e poi g : T → V , quindi ci spostiamo da S a V). Poi applichiamo h e quindi da V ci spostiamo a W. Quindi h ◦ (g ◦ f) ha come dominio S e come codominio W.

(h ◦ g) ◦ f

La funzione (h ◦ g) ci fa spostare da T (dominio di g a W (codomonio di h). Come abbiamo detto dobbiamo peró applicare prima f e poi la funzione (h ◦ g). f ci fa spostare da S a T, mentre (h ◦ g) ci fa spostare da T a W, quindi (h ◦ g) ◦ f ha come dominio S e come codominio W.

Le due funzioni hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio 2. . Le due funzioni hanno lo stesso codominio.

Dimostrato sopra.

3. Le funzioni operano allo stesso modo sugli elementi.

h ◦ (g ◦ f )

Analizziamo prima la funzione g ◦ f. Per essa si ha x 7−→ f (x)^f 7−→^g g(f (x)). A questo punto si applica la funzione h : g(f(x))7−→ h(g(f (x)))^h . Quindi

x^{h◦(g◦f )}7−→ h(g(f (x))) (h ◦ g) ◦ f

La funzione (h ◦ g) é tale che x 7−→ g(x)^g 7−→ h(g(x))^h .Come abbia- mo detto dobbiamo peró applicare prima f e poi la funzione (h ◦ g).

x7−→ f (x)^{f (h◦g)}7−→ h(g(f (x)))(in questo caso infatti g agisce sull'elemen- to f(x)). É chiaro quindi che le due funzioni agiscono allo stesso modo sugli elementi.

Il teorema é dimostrato

Denizione 3 (Funzione Inversa). Sia f : S → T una biiezione x 7−→ f (x)^f

La funzione f⁻¹: T → Sche associa ad ogni elemento y di B l'unico elemento x di A tale che y = f(x) si dice funzione inversa di f

In altre parole: la funzione f prende un elemento del dominio e ad esso associa un unico elemento del codominio. La funzione inversa, una volta scelto un elemento del codomonio, ci dice qual'é l'elemento del dominio che ha come immagine l'elemento che abbiamo scelto.

Teorema 1.2. Siano f : S → T e g : T → S sono biiettive allora (g◦f)⁻¹ = f⁻¹◦ g⁻¹

Esercizio 1. Prova a dimostrare il teorema. Ricorda che per dimostrare che due funzioni sono uguali devi far vedere tre cose...

Esempio 2. Dopo aver dimostrato che la funzione f : R → R x7−→ 3x + 1^f é biiettiva determinare la sua inversa.

Soluzione

L'iniettivitá e la suriettivitá possono essere dimostrate per esercizio. Cer- chiamo ora l'inversa. Fissiamo un elemento del codomonio, cioé scegliamo un numero reale qualsiasi y. La funzione inversa ci deve dire qual'é il numero reale x tale che f(x) = y. Possiamo allora scrivere questa equazione

3x + 1 = y

dove l'incognita é x, mentre y é noto (lo abbiamo scelto noi). Risolvendo si ha

x = y − 1 3

Quindi f(^y−1₃ ) = y. Detto altrimenti: l'elemento del dominio di f che ha come immagine y é ^y−1₃ . Quindi

f⁻¹ : R → R y ^f

−1

7−→ y − 1 3

Esercizio 2. Di ogni coppia di funzioni determinare la composta:

• f : R → R x7−→ 3x + 1^f g : R → R x7−→ x^{g 3}

• f : R → R x7−→ x^{f 4} g : R → R x7−→^g _x+1⁵

Esercizio 3. Dopo aver dimostrato che le seguenti funzioni sono biiettive determinarne l'inversa.

• f : R → R x7−→ 2 − x^f

• f : R⁺→ R x7−→^f _x¹

• f : R⁺→ R x7−→ x^{f 2}

Nota: R⁺ é l'insieme dei numeri reali positivi.