2. Serie geometriche. Esempi. L. Mereu A. Nanni Serie numeriche. Serie geometrica, di ragione q, è la serie del tipo. La serie è:

1

2. Serie geometriche

Serie geometrica, di ragione 𝑞, è la serie del tipo

∑ 𝑞^𝑘 = 1 + 𝑞 + 𝑞²+ ⋯

∞

𝑘=0

La serie è:

a) convergente se −1 < 𝑞 < 1 e ha somma

𝑆 = 1

1 − 𝑞 b) divergente a +∞ se 𝑞 ≥ 1 c) indeterminata o irregolare se 𝑞 ≤ −1

Si osservi che se il primo valore di 𝑘 è 1, allora si ha

∑ 𝑞^𝑘 = 𝑞 ∑ 𝑞^𝑘

∞

𝑘=0

∞

𝑘=1

e se |𝑞| < 1 ha somma

𝑆 = 1

1 − 𝑞− 1 = 𝑞 1 − 𝑞

Esempi

Stabilire il carattere delle seguenti serie geometriche e, nel caso siano convergenti, calcolarne la somma S :

1) ∑ (−^𝜋

4)^𝑘

∞𝑘=1 è una serie geometrica con 𝑎₁ = −^𝜋

4 e ragione 𝑞 = −^𝜋₄ ∊ (−1; 1), quindi converge e ha somma 𝑆 = −^𝜋₄ ¹

1−(−^𝜋₄) = −_4+𝜋^𝜋

2) ∑^∞_𝑘=0(√3 − 3)^𝑘 è una serie geometrica con 𝑎₀ = 1 e ragione𝑞 = √3 − 3 < −1 , quindi è irregolare o indeterminata.

3) ) ∑^∞_𝑘=0√(𝑥 + 1)^{4 𝑘} è una serie geometrica con 𝑎₀ = 1 e ragione 𝑞 = √𝑥 + 1⁴ . La serie è convergente se −1 < √𝑥 + 1⁴ < 1 ⇒ −1 ≤ 𝑥 < 0 e ha somma 𝑆 = ¹

1− √𝑥+1⁴ ; se 𝑥 ≥ 0 la serie diverge positivamente.

2

Esercizi

( gli esercizi con asterisco sono avviati )

Stabilire il carattere delle seguenti serie geometriche e, nel caso siano convergenti, calcolarne la somma S :

1. ∑ (³

4)^𝑘

∞𝑘=1 2. ∑ (³

4)^𝑘

∞𝑘=0

*3. ∑ (⁵

6)^𝑘

∞𝑘=1 ; *4. ∑ (¹

3)^2𝑘

∞𝑘=1

*5. ∑ ^(−1)𝑘

4^𝑘

∞𝑘=2 6. ∑ ( ^√2

√2+1)

∞ 𝑘

𝑘=0 7. ∑^∞_𝑘=0(𝑒)^−𝑘 8. ∑ (𝑡𝑔^𝜋

6)^𝑘

∞𝑘=0

*9. ∑^∞_𝑘=0(1 − 𝑙𝑜𝑔2)^𝑘 10. ∑^∞_𝑘=0𝑒^−2𝑘

11. ∑ ²

10^𝑘

∞𝑘=1 12. ∑^∞_𝑘=0(3 − 𝜋)^𝑘

13. ∑ ^3𝑘

(𝑒+2)^𝑘

∞𝑘=0 14. ∑^∞_𝑘=0(√3 − 𝜋)^𝑘

*15. ∑ ^{cos (𝑘𝜋)}

5^𝑘

∞𝑘=0 16. ∑ [𝑙𝑜𝑔 (³

4)]^𝑘

∞𝑘=0

*17. ∑^∞_𝑘=0^3𝑘₆⁺⁴_𝑘^𝑘 18. ∑ (−1)^𝑘(²

3)^𝑘

∞𝑘=1

*19. ∑^∞_𝑘=0¹⁻²_8𝑘^𝑘 20. ∑ [ ¹

𝑒²−1]^𝑘

∞𝑘=0

21. ∑ [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (¹

2)]^𝑘

∞𝑘=0 *22. ∑^∞_𝑘=0[𝑠𝑖𝑛2 − 𝑐𝑜𝑠3]^𝑘

*23. ∑^∞_𝑘=0(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−3))^𝑘 24. ∑ (¹

𝑒− 1)^−𝑘

∞𝑘=0

3 Determinare per quali valori del parametro reale la serie data è convergente, divergente,

indeterminata o irregolare; nel caso della convergenza calcolare la somma S :

25. ∑^∞_𝑘=0(1 − 𝑥)^𝑘 26. ∑^∞_𝑘=0(4 + 𝑥)^𝑘 27. ∑^∞_𝑘=0(𝑥² + 2)^𝑘 28. ∑^∞_𝑘=0(𝑥²− 2𝑥)^𝑘 29. ∑^∞_𝑘=0(1 + 𝑥)^2𝑘 30. ∑ (^1−𝑥

1+𝑥)^𝑘

∞𝑘=0 31. ∑^∞_𝑘=0(1 + 𝑒^𝑥)^𝑘 32. ∑^∞_𝑘=0(2 + log 𝑥)^𝑘 33. ∑^∞_𝑘=0[1 + 𝑙𝑜𝑔𝑥]^𝑘 34. ∑^∞_𝑘=0(1 − 2^𝑥)^𝑘 35. ∑^∞_𝑘=0𝑒^−2𝑘𝑥 36. ∑ (^2𝑘

3^𝑘)

∞ 𝑥

𝑘=0 37. ∑^∞_𝑘=0(2 + |𝑥|)^𝑘 38. ∑ ( ¹

1+|𝑥|)^𝑘

∞𝑘=0

39. ∑^∞_𝑘=0(√1 − 𝑥 − 3)^𝑘 40. ∑^∞_𝑘=0[𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 1]^𝑘 41. ∑ ( ^2𝑥

2^𝑥−1)^𝑘

∞𝑘=0 *42. ∑^∞_𝑘=0(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)^𝑘

43. ∑^∞_𝑘=0(2 − |𝑥 + 3|)^𝑘 44. ∑ (^1+2𝑎

3 )^𝑘

∞𝑘=0 45. ∑^∞_𝑘=0(𝑝²− 4)^𝑘,

Soluzioni

1. S. S = 3; 2. S. 𝑆 = 4 ;

*3.S 𝑆 = 5; ( ∑ (⁵

6)^𝑘

∞𝑘=1 = ∑ (⁵

6)^𝑘− 1 = 5

∞𝑘=0 );

*4. S. S= ¹₈ ; (∑ (¹

3)^2𝑘

∞𝑘=1 = ∑ (¹

9)^𝑘 = ∑ (¹

9)^𝑘− 1

∞𝑘=0

∞𝑘=1 … );

*5.S. S= ₂₀¹ ; (∑^∞_𝑘=2⁽⁻¹⁾_4𝑘^𝑘 = ∑ (−¹

4)^𝑘− 1 − (−¹

4) = ⋯

∞𝑘=0 );

4 6. S. 𝑆 = √2 + 1 ; 7. S. S = _𝑒−1^𝑒 ; 8. S. 𝑆 =^√3+3₂ ;

*9. S. S = log₂𝑒 ; ( ricordiamo che _{𝑙𝑜𝑔2}¹ = 𝑙𝑜𝑔₂𝑒 );

10. S. 𝑆 =_𝑒^𝑒₂₋₁² ; 11. S. S = ²₉ ; 12. S. S= _𝜋−2¹ ; 13. S. S = ^𝑒+2

𝑒−1 ; 14. S. irregolare ;

*15. S. S= ⁵₆ ; ( poichè 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜋) = { 1 𝑠𝑒 𝑘 è 𝑝𝑎𝑟𝑖

−1 𝑠𝑒 𝑘 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 la serie coincide con la serie ∑^∞_𝑘=0⁽⁻¹⁾_5𝑘^𝑘 );

16. S. 𝑆 = ¹

1−𝑙𝑜𝑔(³₄) ;

*17. S. S = 5 ; ( la serie è la somma delle due serie geometriche ∑ (¹

2)^𝑘

∞𝑘=0 e ∑ (²

3)^𝑘

∞𝑘=0 entrambe convergenti di somme rispettive 2 e 3 , quindi anche la serie data è

convergente e ha per somma 𝑆 = 2 + 3 = 5 , vedi paragrafo 4.Combinazioni lineari di due serie );

18. S. 𝑆 = −²

5 ;

*19. S. S = − ⁴

21; ( vedi esercizio 17 );

20. S. 𝑆 = ^𝑒_𝑒²₂⁻¹₋₂ ; 21. S. 𝑆 =_6−𝜋⁶ ;

*22. S. diverge a +∞ ; ( poiché la ragione è 𝑞 = 𝑠𝑖𝑛2 − 𝑐𝑜𝑠3 ≅ 0,90 − (−0,99) = 1,88 > 1 la serie diverge a +∞ );

*23. S. irregolare ; ( poiché la ragione è 𝑞 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−3) ≅ −1,25 < −1 la serie è irregolare );

24. S. irregolare ;

25. S. converge per 0 < 𝑥 < 2 con somma 𝑆 =¹_𝑥 ; diverge positivamente per 𝑥 ≤ 0;

indeterminata per𝑥 ≥ 2;

26. S. converge per −5 < 𝑥 < −3 con somma 𝑆 =_−3−𝑥¹ ; diverge positivamente per 𝑥 ≥ −3; indeterminata per𝑥 ≤ −5;

27. S. ∀𝑥 ∈ ℝ divergente a +∞;

5 28. S. 1 − √2 < 𝑥 < 1 + √2 ∧ 𝑥 ≠ 1 converge con somma 𝑆 = ¹

1−𝑥²+2𝑥 ; 𝑥 = 1 irregolare ; 𝑥 ≤ 1 − √2 ∨ 𝑥 ≥ 1 + √2 diverge positivamente;

29. S. converge per −2 < 𝑥 < 0 con somma 𝑆 =_1−(1+𝑥)¹ ₂ ; diverge positivamente per 𝑥 ≤ −2 ∨ 𝑥 ≥ 0;

30. S. 𝑥 > 0 converge con somma 𝑆 =^𝑥+1_2𝑥 ; −1 < 𝑥 ≤ 0 diverge positivamente ; 𝑥 < −1 irregolare ;

31. S. diverge positivamente ∀𝑥;

32. S. converge per 𝑒⁻³< 𝑥 < 𝑒⁻¹ con somma 𝑆 =_{−1−𝑙𝑜𝑔𝑥}¹ ;

diverge positivamente per 𝑥 ≥ 𝑒⁻¹; indeterminata per 0< 𝑥 ≤ 𝑒⁻³ ;

33. S. 𝑒⁻² < 𝑥 < 1 converge con somma 𝑆 = −_{𝑙𝑜𝑔𝑥}¹ ; 𝑥 ≥ 1 diverge positivamente ; 0 < 𝑥 ≤ 𝑒⁻² irregolare ;

34. S. converge per 𝑥 < 1 con somma 𝑆 =₂¹_𝑥 ; indeterminata per 𝑥 ≥ 1 ;

35. S. converge per x > 0 con somma 𝑆 =_𝑒^𝑒_2𝑥^2𝑥₋₁ ; diverge positivamente per 𝑥 ≤ 0 36. S. 𝑥 > 0 converge con somma 𝑆 = ^3𝑥

3^𝑥−2^𝑥 ; 𝑥 ≤ 0 diverge positivamente ; 37. S. diverge positivamente ∀𝑥 ;

38. S. converge∀𝑥 ≠ 0 con somma 𝑆 =_|𝑥|¹ + 1 ; diverge positivamenteper 𝑥 = 0 ; 39. S. −15 < 𝑥 < −3 converge con somma 𝑆 = ¹

4−√1−𝑥; 𝑥 ≤ −15 diverge positivamente; −3 ≤ 𝑥 ≤ 1 irregolare;

40. S. 𝑥 < 0 converge con somma 𝑆 =_{𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥}¹ ; 𝑥 ≥ 0 diverge positivamente ; 41. S. 𝑥 < −1 converge con somma 𝑆 = 1 − 2^𝑥 ;

𝑥 > 0 diverge positivamente; −1 ≤ 𝑥 < 0 irregolare;

6

*42. S. 𝑐𝑜𝑠(1) < 𝑥 ≤ 1 converge con somma 𝑆 = ¹

1−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ;

−1 ≤ 𝑥 ≤ cos (1) diverge positivamente;

43. S. −6 < 𝑥 < −4 ∨ −2 < 𝑥 < 0 converge con somma 𝑆 =_|𝑥+3|−1¹ ; −4 ≤ 𝑥 ≤ −2 diverge positivamente ; 𝑥 ≤ −6 ∨ 𝑥 ≥ 0 irregolare ; 44. S. 𝑎 ≤ −2 irregolare; −2 < 𝑎 < 1 convergente con somma 𝑆 = ³

2−2𝑎; 𝑎 ≥ 1 diverge positivamente ;

45. S. −√3 ≤ 𝑝 ≤ √3 irregolare ; −√5 < 𝑝 < −√3 ∨ √3 < 𝑝 < √5 convergente con somma 𝑆 = ¹

5−𝑝² ; 𝑝 ≤ −√5 ∨ 𝑝 ≥ √5 divergente positivamente;