1 Il teorema di Rolle

Teoremi sulle funzioni derivabili

prof. G. Surace Roma, 19 Febbraio 2009

1 Il teorema di Rolle

Teorema 1 (di Rolle). Se una funzione f (x) ´e continua e derivabile in un in- tervallo chiuso [a, b] e se i valori della funzione sono uguali all’estremo dell’intervallo, cio´e f (a) = f (b), allora ci sar´a almeno un punto x = c all’interno dell’intervallo in cui la derivata della funzione si annulla, cio´e f ⁰ (c) = 0.

Proof : primo passo: prima di passare alla dimostrazione analitica del teo- rema cerchiamo, innanzitutto, di individuare le ipotesi e la tesi del teorema.

Le ipotesi sono sostanzialmente tre:

1. f (x) continua in [a, b];

2. f (x) derivabile in [a, b];

3. f (a) = f (b)

La tesi da dimostrare ´e che esite almeno un punto x = c al’interno dell’intervallo [a, b] tale che f ⁰ (c) = 0.

Secondo passo: cerchiamo di dare una interpretazione geometrica del teorema che ci aiuti ad apprezzarne la sua essenza.

Il teorema di Rolle ha un semplice significato geometrico. Per ipotesi, in- fatti, f (a) = f (b), cio´e le ordinate della curva y = f (x) corrispondenti agli estremi dell’intervallo [a, b] sono uguali ed inoltre all’interno di questo inter- vallo la derivata di f (x) esiste, cio´e la curva ´e dotata di tangente in ogni suo punto. Il teorema di Rolle afferma che all’interno di questo intervalo vi ´e almeno un punto in cui la derivata si annulla, in cui cio´e la tangente alla curva ´e parallela all’asse x (vedi figura 1).

Terzo passo: la dimostrazione analitica di questo teorema affonda le basi nel noto (!) teorema di Weierstrass. Infatti, in base al teorema di Weierstrass una funzione continua in un intervallo [a, b] ammette massimo, M , e minimo, m.

Distinguiamo allora due casi:

• m = M , cio´e massimo e minimo coincidono, ovvero la funzione f (x) ´e costante in [a, b]. Tuttavia, se una funzione f (x) ´e costante allora la sua derivata sar´a nulla. Questo significa che non vi sar´a un unico punto in cui la derivata si annulla bens´ı essa si annuller´a in tutti i punti dell’intervallo [a, b], quindi anche per x = c. Il teorema ´e, in questo caso, dimostrato.

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(a) a)Funzione f (x) con f (a) = f (b) ed un punto x = c tale che f

(c) = 0; b)Funzione f (x) costante nell’intervallo in (a, b) [a)Funzione f (x) con f (a) = f (b) e pi´ u punti in cui si annulla la derivata

(b) d)Funzione discontinua per x = c; e)Funzione non derivabile per x = c (punto angoloso); f) funzione con f (a) 6= f (b)

Figure 1: Interpretazione geometrica del Teorema di Rolle

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• se m < M , poich´e f (a) = f (b), questo significa che la funzione deve as- sumere un valore minimo o massimo all’interno dell’intervallo [a, b]. Sup- poniamo sia il punto x = c il punto in cui la funzione assume un massimo.

Questo significa che in un intorno sinistro di x = c la funzione ´e crescente mentre nell’intorno destro di x = c la funzione ´e decrescente. Per x = c succede proprio che f ⁰ (c) = 0. Questo dimostra il teorema. (c.v.d).

1.0.1 Remarks

1. All’interno dell’intervallo [a, b] possono essere presenti pi´ u punti in cui si annulla la derivata (vedi figura 1c))

2. se cade una delle tre ipotesi del teorema esso non risulta pi´ u valido: in particolare se f (x) risulta discontinua in [a, b], la funzione potrebbe non vere max o minimi in base al teorema di Weiestrass e quindi in nessun punto dell’ intervallo la tangente alla curva potrebbe risultare parallela all’asse x (vedi Figura 1 d)); se f (x) risulta non derivabile in [a, b] potrebbe capitare che in nessun punto dell’intervallo la tangente alla curva si dispone parallelamente all’asse x (vedi 1 e)); stessa cosa potrebbe accadere se f (x) risulta continua e derivabile in [a, b] ma f (a) 6= f (b) (vedi 1 f)).

3. il teorema di Rolle esprime una condizione sufficiente (ma non nec- essaria) affinch´e all’interno di un intervallo chiuso e limitato vi sia almeno un punto in cui la derivata si annulla.

Di fatti potrebbere esserci un punto stazionario (cio´e in cui si annulla la derivata) anche se mancano le ipotesi del teorema di Rolle.

4. Esercizio: stabilire se la funzione f (x) = 1 − √

x ² verifica il teorema di Rolle nell’intervallo [−1, +1].

2 Teorema di Lagrange 3 Teorema di Cauchy

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