Limiti di funzioni
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica
Intorno di un punto
Definizione (Intorno di x0 ∈ R)
Un intorno U di x0∈ R `e un intervallo (aperto) del tipo
(x0− δ, x0+ δ) cio`e
U := (x0− δ, x0+ δ) := {x ∈ R : |x − x0| < δ}.
Definizione (Intorno di +∞)
Un intorno U di +∞ `e un intervallo (aperto) del tipo (a, +∞) cio`e U := (a, +∞) := {x ∈ R : x > a}.
Definizione (Intorno di −∞)
Intorno di un punto
Intorno di un punto
Definizione (Definitivamente per x → c)
La funzione f ha una certa propriet`a definitivamente per x → c se esiste un intorno U di c tale che la propriet`a vale per ogni x ∈ U, x 6= c.
Nota.
x ∈ Ux0 = (x0− δ, x0+ δ) se e solo se |x − x0| < δ.
x ∈ U+∞= (a, +∞) se e solo se x > a.
Limite di funzione
Definizione (Intorni di ±∞, c)
Con la scrittura
U−∞intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di −∞del tipo
U−∞,b= (−∞, b)
al variare di b;
U+∞ intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di +∞del tipo
Ua,+∞= (a, +∞)
al variare di a;
Uc intendiamo l’insieme degliintorni (aperti) di cdel tipo
Uc,δ= (c − δ, c + δ)
Limite di funzione
Nota.
Ricordiamo che per una successione f (n) := an era
lim
n→∞f (n) = L
se e solo se
per ogni > 0 esiste N() tale che per ogni n > N() si ha |f (n) − L| < .
In termini di intorni, la si pu`o trascrivere come se e solo se per ogni
VL= (L − , L + ) ∈ UL, esiste
U+∞= (N(), +∞) ∈ U+∞
Limite di funzione
Definizione (Limite (via intorni))
Sia R∗= R ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Sia f definita (almeno) definitivamente per x → c. Sia L ∈ R∗. La scrittura
Limite di funzione: c, L ∈ R
Nel caso c, L ∈ R la scrittura
lim x →cf (x ) = L significa che per ogni VL= (L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < } esiste Uc= (c − δ(), c + δ()) = {x ∈ R : |x − c| < δ()}
tale che se x ∈ Uc\c, allora f (x) ∈ VL. Nota.
Notiamo che siccome gli intervalli Uc, VL dipendono solo da e δ() (oltre che
Limite di funzione: c, L ∈ R
Definizione (Limite finito per x → c) Siano c, L ∈ R. Con la scrittura
lim
x →cf (x ) = L
intendiamo cheper ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x) − L| <
per ogni x tale che
Limite di funzione
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Figura : Si vede che limx →π/6sin(x ) = 0.5. Descrizione degli intorni
V0.5= (0.5 − , 0.5 + ) (rosso), Uπ/6= (π/6 − δ, π/6 + δ) (magenta),
Limite di funzione
δ() 1.0e − 01 8.896e − 02 1.0e − 02 8.685e − 03 1.0e − 03 8.663e − 04 1.0e − 04 8.661e − 05 1.0e − 05 8.660e − 06 1.0e − 06 8.660e − 07 1.0e − 07 8.660e − 08 1.0e − 08 8.660e − 09 1.0e − 09 8.660e − 10 1.0e − 10 8.660e − 11 1.0e − 11 8.660e − 12 1.0e − 12 8.660e − 13 1.0e − 13 8.665e − 14 1.0e − 14 8.660e − 15 1.0e − 15 8.327e − 16Limite di funzione
Nota.
Se cambio , allora cambio δ().
Non si richiede di conoscere f (x ) per x = c.
Limite di funzione: esempio
Esercizio Mostrare che lim x →0x 2 = 0. Svolgimento.L’asserto limx →0x2 = 0 significa che per ogni > 0 esiste δ() > 0
tale che |x2− 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Ma |x2| < implica − < x2 < , ovvero per la non negativit`a di
Limite di funzione
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Figura : Il limite di x2per x → 0 `e 0. Descrizione degli intorni U
c (rosso),
VL (magenta), per c = 0, per = 0.2. Dalla teoria si evince che per tale
Limite di funzione
δ() 1.0e − 01 1.000e − 02 1.0e − 02 1.000e − 04 1.0e − 03 1.000e − 06 1.0e − 04 1.000e − 08 1.0e − 05 1.000e − 10 1.0e − 06 1.000e − 12 1.0e − 07 1.000e − 14 1.0e − 08 1.000e − 16 1.0e − 09 1.000e − 18 1.0e − 10 1.000e − 20 1.0e − 11 1.000e − 22 1.0e − 12 1.000e − 24 1.0e − 13 1.000e − 26 1.0e − 14 1.000e − 28 1.0e − 15 1.000e − 30Limite di funzione: esercizi.
Esercizio Verificare che lim x →1 x2+ 6x + 5 x + 5 = 2. Svolgimento.Per prima cosa osserviamo che
f (x ) = x
2+ 6x + 5
x + 5 =
(x + 5)(x + 1)
x + 5 = (x + 1).
Di conseguenza dobbiamo mostrare che
per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 1| < δ() allora |(x + 1) − 2| ≤
Limite di funzione: esercizi.
δ() 1.0e − 01 1.000e − 01 1.0e − 02 1.000e − 02 1.0e − 03 1.000e − 03 1.0e − 04 1.000e − 04 1.0e − 05 1.000e − 05 1.0e − 06 1.000e − 06 1.0e − 07 1.000e − 07 1.0e − 08 1.000e − 08 1.0e − 09 1.000e − 09 1.0e − 10 1.000e − 10 1.0e − 11 1.000e − 11 1.0e − 12 1.000e − 12 1.0e − 13 9.992e − 14Limite di funzione: esercizi.
Esercizio Verificare che lim x →2x 2− 8 = −4. Svolgimento.Dobbiamo mostrare che
per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 2| < δ() allora |(x2− 8) − (−4)| ≤
A tal proposito, visto che |(x2− 8) − (−4)| = |x2− 4|, basta mostrare che
per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che se |x − 2| < δ() allora |x2− 4| ≤ .
Con facili conti, |x2− 4| ≤ se e solo se
Limite di funzione: esercizi.
Risolvendo le disequazioni, abbiamo cos`ı ⇔
√
4 − < x <√4 +
−√4 + < x < −√4 −
Poich`e (√4 − ,√4 + ) `e un intervallo aperto contenente 2 al suo interno,
esiste di sicuro un intervallo simmetrico aperto di 2, cio`e un intorno U2di 2
tale che se x ∈ U2\{2} allora |(x2− 8) − 4| < .
Per determinare δ(), basta porre δ() = min(2 −√4 − ,√4 + − 2). Infatti,
con tale scelta, l’intervallosimmetrico apertoU2= (x − δ(), x + δ()) verifica
(x − δ(), x + δ()) ⊆ (√4 − ,√4 + )
Limite di funzione: esercizi.
Nota. (Facoltativa)
Si noti che, razionalizzando, con facili conti
δ1:= 2 − √ 4 − = (2 −√4 − ) ·(2 + √ 4 − ) (2 +√4 − )= 4 − (4 − ) 2 +√4 − = 2 +√4 − δ2:= √ 4 + − 2 = (√4 + − 2) ·( √ 4 + + 2) (√4 + + 2)= (4 + ) − 4 2 +√4 + = 2 +√4 + e pure, da 2 +√4 − < 2 +√4 + , abbiamo δ2= 2 +√4 + < 2 −√4 − = δ1.
In altre parole, nell’esercizio precedente
Limite di funzione: esercizi.
δ() 1.0e − 01 4.100e − 01 1.0e − 02 4.010e − 02 1.0e − 03 4.001e − 03 1.0e − 04 4.000e − 04 1.0e − 05 4.000e − 05 1.0e − 06 4.000e − 06 1.0e − 07 4.000e − 07 1.0e − 08 4.000e − 08 1.0e − 09 4.000e − 09 1.0e − 10 4.000e − 10 1.0e − 11 4.000e − 11 1.0e − 12 4.000e − 12 1.0e − 13 3.997e − 13 δ() teorico 1.0e − 01 4.100e − 01 1.0e − 02 4.010e − 02 1.0e − 03 4.001e − 03 1.0e − 04 4.000e − 04 1.0e − 05 4.000e − 05 1.0e − 06 4.000e − 06 1.0e − 07 4.000e − 07 1.0e − 08 4.000e − 08 1.0e − 09 4.000e − 09 1.0e − 10 4.000e − 10 1.0e − 11 4.000e − 11 1.0e − 12 4.000e − 12 1.0e − 13 3.997e − 13Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞
Nel caso c ∈ R, L = +∞, la scrittura lim
x →cf (x ) = +∞
indica che per ogni intorno V+∞ di +∞ del tipo
V+∞= (K , +∞) = {y ∈ R : y > K } esiste Uc intorno di c ∈ R del tipo
Uc = (c − δ(K ), c + δ(K )) = {x ∈ R : |x − c| < δ(K )} tale che f (x ) ∈ V+∞ per ogni x ∈ Uc\c. Notiamo che gli intorni
dipendono, oltre che da c, solo da K e δ(K ). In virt`u di questa osservazione possiamo dare una definizione di limx →cf (x ) = +∞
Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞
Definizione (Limite +∞ per x → c) Siano c, L ∈ R. Con la scrittura
lim
x →cf (x ) = +∞
intendiamo cheper ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K , per ogni x tale che |x − c| < δ(K ), con x 6= c.
Nota.
Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio
Esercizio Mostrare che lim x →1 1 (x − 1)2 = +∞. Svolgimento.Bisogna mostrare cheper ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che 1
(x −1)2 > K , per
Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio
δ(K ) K 1.0e − 01 4.752e + 00 1.0e − 02 4.975e + 01 1.0e − 03 4.998e + 02 1.0e − 04 5.000e + 03 1.0e − 05 5.000e + 04 1.0e − 06 5.000e + 05 1.0e − 07 5.000e + 06 1.0e − 08 5.000e + 07 1.0e − 09 5.000e + 08 1.0e − 10 5.000e + 09 1.0e − 11 4.994e + 10 1.0e − 12 4.901e + 11 1.0e − 13 4.320e + 12 1.0e − 14 5.004e + 13 1.0e − 15 4.504e + 14Tabella : Stime di δ(K ) relativamente a certi K , nel calcolo di
Limite di funzione
0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 105 Figura : Il limite di 1(x −1)2 per x → 1 `e +∞. Descrizione degli intorni Uc
(rosso), VL (magenta), per c = 1, per K = 20000. Dalla teoria si evince
che per tale K una buona scelta `e δ(K ) = q
1
K = 0.0022 . . . ed `e
Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R
Per quanto visto, se c = +∞, L ∈ R, con la scrittura
lim
x →+∞f (x ) = L
intendiamo che per ogni VL∈ UL esiste U+∞∈ U+∞ tale che
f (x ) ∈ VL per ogni x ∈ U+∞.
Notiamo che
per L ∈ R, VL∈ UL se e solo se del tipo
(L − , L + ) = {y ∈ R : |y − L| < }; U+∞∈ U+∞ se e solo del tipo
(K (), +∞) = {x ∈ R : x > K ()}.
Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R
Definizione (Limite L ∈ R a +∞) Sia L ∈ R. Con la scrittura
lim
x →+∞f (x ) = L
intendiamo cheper ogni > 0 esiste K () > 0 tale che |f (x) − L| < , per ogni x tale che x > K.
Nota.
Limite di funzione: c = +∞, L ∈ R
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5Limite di funzione: c ∈ R, L = +∞, esempio
K () 1.0e + 01 5.753e − 02 1.0e + 02 5.089e − 03 1.0e + 03 8.262e − 04 1.0e + 04 3.056e − 05 1.0e + 05 3.575e − 07 1.0e + 06 3.500e − 07 1.0e + 07 4.205e − 08 1.0e + 08 9.316e − 09 1.0e + 09 5.458e − 10 1.0e + 10 4.875e − 11 1.0e + 11 9.287e − 12 1.0e + 12 6.113e − 13 1.0e + 13 2.887e − 14 1.0e + 14 1.998e − 15 1.0e + 15 8.882e − 16Tabella : Stime di K () per certi , relativamente al limite
Limite di funzione: c = +∞, L = −∞
Per quanto visto, se c = +∞, L = −∞, con la scrittura
lim
x →+∞f (x ) = −∞
intendiamo che per ogni V−∞∈ U−∞ esiste U+∞∈ U+∞ tale che
f (x ) ∈ V−∞ per ogni x ∈ U+∞. Notiamo che
V−∞∈ U−∞ se e solo se del tipo
(−∞, M) = {y ∈ R : y < M}. U+∞∈ U+∞ se e solo del tipo
Limite di funzione: c = +∞, L = −∞
Definizione (Limite −∞ a +∞) Sia L ∈ R. Con la scrittura
lim
x →+∞f (x ) = −∞
intendiamo cheper ogni M esiste K (M) tale che f (x ) < M, per ogni x tale che x > K (M).
Nota.
Si sottolinea che K (M) varia con M.
Limite di funzione: c = +∞, L = −∞
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10Limite di funzione: note
Nota.
se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, con L ∈ R, allora
la retta y = L si chiamaasintoto orizzontale;
se limx →+∞f (x ) = L o limx →−∞f (x ) = L, notiamo che il K
della definizione dipende da ;
se limx →±∞f (x ) = ±∞ notiamo che il K della definizione
Limite di funzione: esercizio
Esercizio
Definire limx →cf (x ) = L nei casi non spiegati, ovvero
c ∈ R, L = −∞; c = +∞, L = +∞; c = −∞, L ∈ R; c = −∞, L = −∞; c = −∞, L = +∞. Esercizio
Dopo aver definito
lim
x →∞f (x ) = +∞
mostrare, utilizzando la definizione, che lim
x →+∞x 2
Limite di funzione: unicit`
a.
Valgono per funzioni tutti i teoremi gi`a visti sui limiti di successioni. Teorema
Limite di funzione: permanenza del segno.
Teorema (Permanenza del segno)
1 Se
limx →cf (x ) = L,
L > 0
allora f (x ) > 0 definitivamente per x → c.
2 Se
limx →cf (x ) = L,
L < 0
allora f (x ) < 0 definitivamente per x → c.
Teorema
Se f (x ) ≥ 0 definitivamente e lim
x →cf (x ) = L
Limite di funzione: teorema del confronto.
Limite di funzione: teorema del confronto.
Teorema Se h(x ) ≤ f (x ) (definitivamente, per x → c), limx →cf (x ) = −∞, alloralimx →ch(x ) = −∞. Corollario Se |h(x)| ≤ g (x) (definitivamente, per x → c), limx →cg (x ) = 0, alloralimx →ch(x ) = 0. Dimostrazione.Limite di funzione: infinitesime e limitate.
Teorema Se
limx →cf (x ) = 0,
g `e limitata (definitivamente, per x → c) allora
lim
x →cf (x ) · g (x ) = 0. Esercizio
Mostrare che limx →+∞sin (x )x = 0.
Esercizio
Limiti destro e sinistro (finiti).
Definizione (Limite L ∈ R a c+) Con la scrittura
lim
x →c+f (x ) = L, L ∈ R
indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale L e cio`e che per ogni > 0 esiste δ() > 0 tale che |f (x ) − L| < per ogni x ∈ (c, c + δ()).
Definizione (Limite L ∈ R a c−) Con la scrittura
lim
x →c−f (x ) = L, L ∈ R
Limiti destro e sinistro (+∞).
Definizione (Limite L ∈ +∞ a c+) Con la scrittura
lim
x →c+f (x ) = +∞
indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale +∞e cio`e che per ogni K > 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) > K per ogni x ∈ (c, c + δ(K )).
Definizione (Limite +∞ a c−) Con la scrittura
lim
x →c−f (x ) = +∞
Limiti destro e sinistro (−∞).
Definizione (Limite −∞ a c+) Con la scrittura
lim
x →c+f (x ) = −∞
indendiamo che ilil limite destro per x tendente a c vale −∞e cio`e che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che f (x ) < K per ogni x ∈ (c, c + δ(K )).
Definizione (Limite +∞ a c−) Con la scrittura
lim
x →c−f (x ) − +∞
Limiti destro e sinistro e limiti.
Teorema Sia c ∈ R. Allora lim x →cf (x ) = L se e solo se lim x →c−f (x ) = limx →c+f (x ) = L EsempioLa quantit`a limx →01x non esiste in quanto
Limiti destro e sinistro, esempio
Esempio Si consideri la funzione segno(x) = 1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 Allora limx →0−segno(x) = −1. limx →0+segno(x) = +1.La quantit`a limx →0segno(x ) non esiste in quanto
lim
Limiti destro e sinistro, esempio
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5Limiti: potenze.
Teorema Se α > 0 limx →+∞xα= +∞; limx →x0x α= xα 0 per x0∈ R+; limx →0+xα= 0. Se α < 0 limx →+∞xα= 0; limx →x0x α= xα 0 per x0∈ R+; limx →0+xα= +∞. Nota.Si osservi che per certi α, si pensi a numeri interi o particolari frazioni, tali
Limiti: esponenziali.
Teorema limx →−∞αx = +∞, se α ∈ (0, 1); limx →−∞αx = 0, se α ∈ (1, +∞); limx →x0α x = αx0, se x 0∈ R; limx →+∞αx = 0, se α ∈ (0, 1); limx →+∞αx = +∞, se α ∈ (1, +∞); −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 5 10 15 20 25 30 35Limiti: logaritmi.
Teorema
limx →0+loga(x ) = +∞, se a ∈ (0, 1);
limx →0+loga(x ) = −∞, se a ∈ (1, +∞);
limx →x0loga(x ) = loga(x0), se x0∈ R;
limx →+∞loga(x ) = −∞, se a ∈ (0, 1); limx →+∞loga(x ) = +∞, se a ∈ (1, +∞). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Limiti: funzioni trigonometriche.
Si mostra che Teorema
limx →x0sin(x ) = sin(x0), se x0∈ R;
limx →x0cos(x ) = cos(x0), se x0∈ R;
limx →x0tan(x ) = tan(x0), se x0∈ R\{
π 2+ kπ, k ∈ Z}. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Limiti: funzioni trigonometriche inverse.
Teorema
limx →−1+arcsin(x ) = −π/2; limx →1−arcsin(x ) = +π/2
limx →x0arcsin(x ) = arcsin(x0), se x0∈ [−1, 1];
limx →−1+arccos(x ) = π; limx →1−arccos(x ) = 0;
limx →x0arccos(x ) = arccos(x0), se x0∈ [−1, 1];
limx →−∞arctan(x ) = −π/2; limx →+∞arctan(x ) = +π/2
limx →x0arctan(x ) = arctan(x0), se x0∈ R;
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 acos asin
Limiti: funzioni iperboliche (facoltativo).
Teorema
limx →−∞sinh(x ) = −∞; limx →+∞sinh(x ) = +∞;
limx →x0sinh(x ) = sinh(x0), se x0∈ R;
limx →−∞cosh(x ) = +∞; limx →+∞cos(x ) = +∞;
limx →x0cosh(x ) = cosh(x0), se x0∈ R;
limx →−∞tanh(x ) = +1; limx →+∞tanh(x ) = −1.
limx →x0tanh(x ) = tanh(x0), se x0∈ R;
Limiti: continuit`
a.
Definizione
Sia x0 ∈ R e f definita in un intorno di x0. Tale funzione si dice
continuain x0 se e solo se
limx →x0f (x ) = f (x0). Esempio
Per quanto visto sono continue in x0∈ R
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Teorema
Si supponga che c ∈ R∗, L1, L2 ∈ R e che
limx →cf (x ) = L1;
limx →cg (x ) = L2.
Allora
limx →cK · f (x ) = K · L1 per ogni K ∈ R;
limx →cf (x ) + g (x ) = L1+ L2;
limx →cf (x ) − g (x ) = L1− L2;
limx →cf (x ) · g (x ) = L1· L2;
se L2 6= 0, limx →c f (x )g (x ) = LL12,
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Nota.
Si supponga che f , g siano continue in c ∈ R cio`e
limx →cf (x ) = f (c);
limx →cg (x ) = g (c).
Allora dall’algebra dei limiti
limx →cK · f (x ) = K · limx →cf (x ) = K · f (c) per ogni K ∈ R e quindi se
f `e continua in c allora lo `e K · f ;
limx →cf (x ) + g (x ) = limx →cf (x ) + limx →cg (x ) = f (c) + g (c) e quindi
somma di funzioni continue in c `e pure continua in c;
limx →cf (x ) − g (x ) = limx →cf (x ) − limx →cg (x ) = f (c) − g (c) e quindi
sottrazione di funzioni continue in c `e pure continua in c;
limx →cf (x ) · g (x ) = limx →cf (x ) · limx →cg (x ) = f (c) · g (c) e quindi
prodotto di funzioni continue in c `e pure continua in c;
se g 6= 0, limx →c f (x )g (x ) =limlimx →cx →cf (x )g (x ) =g (c)f (c) e quindi divisione di funzioni
continue in c `e pure continua in c a patto che il denominatore g (c) non
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Teorema
Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = +∞ allora
limx →cf (x ) + g (x ) = +∞;
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Teorema
Se limx →cf (x ) = +∞ e limx →cg (x ) = −∞ allora
limx →cf (x ) − g (x ) = +∞;
limx →c−f (x) + g (x) = −∞;
limx →cf (x ) · g (x ) = −∞;
Teorema
Se limx →cf (x ) = ±∞ e limx →cg (x ) = L 6= 0 ∈ R allora
lim
x →c
f (x )
Limite di funzione: algebra dei limiti.
Nota.
Le seguenti forme sono di indecisione +∞ − ∞ =?; ∞ ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; 0 · ∞ =? dove ∞ = +∞ o ∞ = −∞; 0 0 =? Nota.
Limite di funzione: algebra dei limiti,esempi.
Esempio
Sapendo che limx →−1x = −1, abbiamo
limx →−1x2 = (limx →−1x ) · (limx →−1x ) = (−1) · (−1) = 1;
limx →−15x = 5 · (limx →−1x ) = 5 · (−1) = −5;
limx →−11/x = (limx →−11)/(limx →−1x ) = 1/(−1) = −1;
limx →−1x
2−3x+1
2x3+7 = (limx →−1x2−3x +1)/(limx →−12x3+7) = (−1)2−3(−1)+1
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio
Mostrare che limx →+∞x2− 3x + 5 = +∞
Svolgimento.
Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non `e restrittivo supporre x > 0)
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Teorema Se an6= 0 allora lim x →±∞anx n+ . . . + a 1x + a0= segno(an) · (±)n∞ Dimostrazione.Osserviamo che per x 6= 0 (stiamo ragionando in un intorno di +∞, quindi non
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio Mostrare che lim x →−∞−3x 5+ 3x2− 8x + 1 = +∞. Svolgimento.Con la tecnica appena usata
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Teorema
Mostrare che se an6= 0 e bm 6= 0 allora
L = lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + n1x + b0 = an bm lim x →±∞x n−m. Dimostrazione. Per quanto visto
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
e quindi lim x →±∞ anxn+ . . . + a1x + a0 bmxm+ . . . + n1x + b0 = lim x →±∞ anxn bmxm = an bm lim x →±∞ xn xm. Nota.L’asserto dice che
se n > m allora L = (±)n−m· segno(an/bm))∞;
se n = m allora L = an/bm;
Limite di funzione: algebra dei limiti, esercizi.
Esercizio
Mostrare che limx →+∞ x
7+3x −8
2−5x2+3x = −∞. Svolgimento.
Eliminando i termini di grado pi`u alto
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Teorema
Se f `e limitata e g → ±∞ allora f + g → ±∞; Se f `e limitata di segno costante e g → ±∞ allora f · g → segno(f ) · (±∞);
Esempio
limx →+∞x3+ cos(3x ) = (+∞) + limitata = +∞;
limx →+∞−x2+ sin2(x ) = (−∞) + limitata = −∞;
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio (Facoltativo)
E’ possibile utilizzare il fatto che sin(1/x ) `e limitata per valutare lim
x →+∞x · sin(1/x )?
Traccia.
Se fosse possibile utilizzare il fatto che sin(1/x ) `e limitata per valutare limx →0x · sin(1/x ) avremo
lim
x →+∞x · sin(1/x ) = +∞ · limitata = +∞
Limite di funzione: algebra dei limiti, esempi.
Esempio Calcolare lim x →+∞x 2+ x sin(x ) Svolgimento.Notiamo che non `e chiaro come limite di una somma, poich`e x2→ +∞ mentre x · sin(x) non ha limite. Tuttavia
lim
x →+∞x
2+ x sin(x ) = lim
Cambio di variabile (successioni).
Teorema (Limite successioni composte) Siano
cnuna successione tale che limncn= c (con c ∈ R∗),
f una funzione definita in un intorno forato di c. Supponiamo sia
limt→cf (t) = L, con L ∈ R∗;
f sia continua in c o cn6= c definitivamente.
Allora il limite di f (cn) esiste e risulta
lim
Cambio di variabile (successioni). Esempi
Esempio (1)
Discutere la convergenza di bn= sin(1/n) + 1.
Svolgimento.
La successione an= 1/n converge a 0 e quindi per il precedente
teorema, visto che
lim
x →0sin(x ) + 1 = 1
risulta
lim
Cambio di variabile (successioni). Esempi
Esempio (2)
Discutere la convergenza di an= (1 + n3+log(n)1 n2 ) n3+log(n) n2 . Svolgimento. Osserviamo che n3+ log(n) n2 → +∞.
Discutere la sua monotonia pu`o non essere banale. Ciononostante, visto che
come vedremo tra breve lim x →+∞ 1 +1 x x = e cn→ +∞ definitivamente,
n |an− exp(1)| 1.0e + 01 1.3e − 01 1.0e + 02 1.4e − 02 1.0e + 03 1.4e − 03 1.0e + 04 1.4e − 04 1.0e + 05 1.4e − 05 1.0e + 06 1.4e − 06 1.0e + 07 1.3e − 07 1.0e + 08 3.1e − 09
Tabella : Valori per n = 10, 102, . . . , 108di |a
Cambio di variabile.
Teorema (Limite funzioni composte)
Cambio di variabile.
Nota.
Questo importante teorema ci permette di effettuare la sostituzione t = g (x ) ed invece di calcolare il limite
Cambio di variabile: esempio 1.
Esempio Calcolare lim x →+∞a 1/x per a ∈ R\{0}. Svolgimento. (Metodo 1)Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi lim
x →+∞a
1/x = lim t→0+a
Cambio di variabile: esempio 1.
Esempio Calcolare lim x →+∞a 1/x per a ∈ R\{0}. Svolgimento. (Metodo 2)Con riferimento al teorema sul limite di funzioni composte, a1/x= f (g (x )) con
Cambio di variabile: esempio 2.
Esempio Calcolare lim x →1(x − 1) 2 Svolgimento.Cambio di variabile: esempio 3.
Esempio (Facoltativo) Calcolare lim x →+∞sin (1/x ) Svolgimento.Poniamo t = 1/x . Se x → +∞ allora t → 0+. Quindi lim
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx →±∞ 1 +1x
x = e
Corollario
Vale il seguente limite notevole
limx →±∞ 1 +αx
Limite di funzione: limiti notevoli.
Dimostrazione.
Partiamo dal caso α 6= 0. Ragioniamo per sostituzione, e poniamo t = x
α, cio`e
x = αt. Dal limite notevole lim x →±∞ 1 +1 x x = e e dal fatto che se
Limite di funzione: limiti notevoli.
Per quanto riguarda il caso α = 0 abbiamo che per ogni x 6= 0 1 +α x x = 1 +0 x x = 1x = 1 e quindi lim x →±∞ 1 +α x x = lim x →±∞1 = 1 = e 0 = eα.
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx →0 log (1+x )x = 1 Dimostrazione facoltativa.
Effettuiamo la sostituzione y = 1/x , cio`e x = 1/y. Allora se x → ±0, si ha che y → ±∞ e da γ log(y ) = log(y )γ
Limite di funzione: limiti notevoli.
Nota.
Nella precedente dimostrazione, abbiamo prima osservato che limx →0(1 +y1)y = e,
limx →elog(x ) = 1,
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx →0e
x−1
x = 1
Svolgimento.
Posto y = ex− 1 (e quindi x = log(y + 1)), se x → 0, allora y → 0 e quindi da limy →0 log (1+y )y = 1
Limite di funzione: esercizi svolti, 1.
Esercizio Calcolare lim x →0 3x − 1 x . Svolgimento. Da 3x− 1 x = elog (3x)− 1 x = ex log (3)− 1 x · log (3) · log (3)abbiamo, posto y = x · log (3), da limx →0e
x−1 x = 1 lim x →0 3x− 1 x = x →0lim ex log (3)− 1 x · log (3) · log (3) = lim y →0 ey− 1
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx →0a
x−1
x = log(a).
Svolgimento.
Limite di funzione: limiti notevoli.
Esempio Mostrare che lim x →0 (1 + x )α− 1 x = α per ogni α ∈ R. Traccia.Se α = 0, il risultato `e di facile verifica.
Se α 6= 0, osserviamo che
(1 + x )α− 1
x =
eα log (1+x )− 1 x
visto il limite notevole limt→0e
t−1
t = 1, per avere un simile numeratore,
Limite di funzione: limiti notevoli.
Siccomet = α log (1 + x ), se e solo se x = eαt − 1, come detto
lim
x →0
ex− 1
x = 1,
e abbiamo, visto che yα= eα·log(y ),
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Lemma
Per x ∈ (0, π/2) si ha
sin x ≤ x ≤ tan (x ).
Figura : Aree relative al disco unitario: area OCH =12sin(x ), area settore circolare OCH=1
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Dimostrazione.
Le aree del disco unitario della precedente figura, sono
area triangolo OCH =1
2sin(x ), visto che |OH| = 1,
area settore circolare OCH=12x, visto che se x `e in radianti
area disco : (2π) = area settore circolare : x ⇔
π : (2 · π) = area settore circolare : x ⇔
area settore circolare = x
2.
area triangolo OBH=1 2tan(x ).
Essendo per x ∈ (0, π/2), l’area del triangolo rettangolo OCH minore dell’ area
del settore circolare OCH che a sua volta `e minore dell’area del triangolo
rettangolo OBH, abbiamo
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx →0sin (x )x = 1.
Dimostrazione.
Osservando che sin (x )x `e pari, basta mostrare che limx →0+sin (x )x = 1. Ma dal
lemma, per x ∈ (0, π/2),
sin x ≤ x ≤ tan (x ) = sin (x )
cos (x ).
e dividendo i membri per sin x abbiamo
1 ≤ x
sin (x ) ≤
1 cos (x )
e passando ai reciproci, poich`e 0 ≤ a ≤ b ≤ c implica 0 ≤ 1/c ≤ 1/b ≤ 1/a,
cos (x ) ≤sin (x )
x ≤ 1,
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx →01−cos (x )x2 = 1/2. Dimostrazione. Osserviamo che 1 − cos (x ) x2 = 1 − cos (x ) x2 · 1 + cos (x ) 1 + cos (x ) = 1 − cos 2 (x ) x2(1 + cos (x ))= sin2(x ) x2 · 1 1 + cos (x ) (3)
Da limx →0sin (x )x = 1 si halimx →0sin
2(x )
x2 = limx →0sin (x )x ·sin (x )x =1e quindi
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx →0tan (x )x = 1.
Dimostrazione facoltativa.
Dal limite notevole limx →0sin (x )x = 1, essendo limx →0cos(x )1 = 1,
lim x →0 tan (x ) x = limx →0 sin (x ) x · cos (x ) = limx →0 sin (x ) x | {z }=1 · lim x →0 1 cos(x ) | {z }=1
Limite di funzione: limiti notevoli trigonometrici.
Teorema
Vale il limite notevole
limx →0arcsin (x )x = 1. Dimostrazione.
Limite di funzione: limiti notevoli.
Nota. (Facoltativa)
I limiti notevoli finora visti dicono chesin (x ) ∼ x,tan (x ) ∼ x, arcsin (x ) ∼ x per x → 0. Vediamo l’effetto su un esempio.
x sin(x ) tan(x ) arcsin(x ) 1.0e + 00 8.4147098481e − 01 1.5574077247e + 00 1.5707963268e + 00 1.0e − 01 9.9833416647e − 02 1.0033467209e − 01 1.0016742116e − 01 1.0e − 02 9.9998333342e − 03 1.0000333347e − 02 1.0000166674e − 02 1.0e − 03 9.9999983333e − 04 1.0000003333e − 03 1.0000001667e − 03 1.0e − 04 9.9999999833e − 05 1.0000000033e − 04 1.0000000017e − 04 1.0e − 05 9.9999999998e − 06 1.0000000000e − 05 1.0000000000e − 05 1.0e − 06 1.0000000000e − 06 1.0000000000e − 06 1.0000000000e − 06 1.0e − 07 1.0000000000e − 07 1.0000000000e − 07 1.0000000000e − 07 1.0e − 08 1.0000000000e − 08 1.0000000000e − 08 1.0000000000e − 08 1.0e − 09 1.0000000000e − 09 1.0000000000e − 09 1.0000000000e − 09 1.0e − 10 1.0000000000e − 10 1.0000000000e − 10 1.0000000000e − 10
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx →+∞
(logγx )α
xβ = 0, α > 0, β > 0, γ > 1.
Nota.
Importante il caso particolare
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguenti limite notevole
limx →+∞x
β
αx = 0, α > 1, β > 0.
Nota.
Importante il caso particolare
limx →+∞ x
β
Limite di funzione: limiti notevoli.
Teorema
Vale il seguente limite notevole
limx →0+xα| logγ(x )|β = 0, α > 0, β > 0, γ > 1.
Nota.
Importante il caso particolare
Limite di funzione: limiti notevoli.
Esercizio Calcolare lim x →0+ √ x · log(sin(x )) Traccia.Posto t = sin(x ), abbiamo x = arcsin(t), e da x → 0+ che t → 0+. Quindi
Limite di funzione: limiti notevoli.
Nota.
Nel calcolare il limite
lim
t→0+
r
arcsin(t) t
abbiamo notato che l’argomento `e una funzione composta f ◦ g (x ) = f (g (x )) dove
f (x ) =√x , g (x ) = arcsin(t)t
e osservato che f (x ) =√x `e continua nel dominio. Quindi, visto che limt→0+ arcsin(t)
Limite di funzione: limiti notevoli.
Esercizio (Facoltativo) Calcolare lim x →0+ √ x · log4(sin(x )) Traccia.Osserviamo che da limx →0+
√ x
√
sin(x ) = 1 (perch`e?) abbiamo, posto t = sin(x )
lim
x →0+ √
x log4(sin(x )) = lim
x →0+ √
x p(sin(x))
p
sin(x ) log4(sin(x ))
= 1 · lim
x →0+ p
sin(x ) log4(sin(x ))
= lim
t→0+ √
t log4(t) = 0
Limite di funzione: potenze.
Nota.
Mancano da studiare i limite di funzioni del tipo f (x )g (x ). Al variare dei limiti di f , g , si possono incontrare per il calcolo di
lim
x →x0
f (x )g (x )
indeterminazioni del tipo
00, 1±∞, ±∞0. Da lim x →x0 f (x )g (x ) = lim x →x0 elog(f (x )g (x )) = lim x →x0 eg (x ) log(f (x ))
Limite di funzione: potenze, esempio 1.
Esercizio Calcolare lim x →+∞x x Nota.Per quanto visto
lim
x →+∞e
x log(x ).
Visto che x log(x ) → +∞ deduciamo che lim
x →+∞x
Limite di funzione: ordini di convergenza.
Definizione (Infinitesima in x0)
Una funzione f si diceinfinitesima in x0 se e solo se lim
x →x0
f (x ) = 0.
Definizione (Ordini di infinitesimi)
Siano f , g due funzioni infinitesime in x0.
selimx →x0
f (x )
g (x ) = 0 alloraf `e di ordine superiore rispetto a g (e si scrive f (x ) = o(g (x )) per x → x0);
selimx →x0
f (x )
g (x ) = ±∞ allorag `e di ordine superiore rispetto a f (e si scrive g (x ) = o(f (x )) per x → x0);
selimx →x0
f (x )
Limite di funzione: ordini di convergenza.
Definizione (Infinito in x0)
Una funzione f si diceinfinito in x0 se e solo se lim
x →x0
f (x ) = ±∞.
Definizione (Ordini di infinito) Siano f , g due funzioni infinite in x0.
selimx →x0
f (x )
g (x ) = ±∞ alloraf `e di ordine superiore rispetto a g;
selimx →x0
f (x )
g (x ) = 0 allorag `e di ordine superiore rispetto a f; selimx →x0
f (x )
Gerarchia degli infiniti
Si vede che limx →+∞logax = +∞, se a > 1. limx →+∞xα= +∞, se α > 0. limx →+∞ax = +∞, se a > 1. limx →+∞x ! = +∞. limx →+∞xx = ∞Gerarchia degli infiniti
In virt`u della gerarchia degli ordini di infinito, possiamo dimostrare i seguenti risultati.
Teorema
Vale il seguente limite
limx →+∞ logxαax = 0 per ogni α > 0, a > 1.
Teorema
Vale il seguente limite
limx →+∞x
α
Gerarchia degli infiniti
Teorema
Vale il seguente limite
limx →+∞ a
x
x ! = 0 per ogni a > 1.
Teorema
Vale il seguente limite
limx →+∞ xx !x = 0
Nota.
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 1.
Esempio Sappiamo che lim x →0sin (x ) = 0, lim x →0x = 0,e dal limite notevole
lim
x →0
sin (x )
x = 1
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 2.
Esercizio
Mostrare che 1 − cos(x ) = o(x ) per x → 0, cio`e limx →0 1−cos(x )x = 0. Svolgimento. Sappiamo che lim x →01 − cos (x ) = 0, lim x →0x = 0.
Dal limite notevole limx →01−cos(x )x2 = 1/2 abbiamo
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.
Esercizio
Mostrare che tan(x ) ∼ x per x → 0.
Svolgimento.
Per definizione, basta mostrare che
lim
x →0
tan(x )
x = 1
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 3.
Esercizio
Mostrare che arctan(x ) ∼ x per x → 0.
Svolgimento.
Per definizione, basta mostrare che
lim
x →0
arctan(x )
x = 1.
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 4.
Esercizio
Mostrare che xx `e infinito di ordine superiore rispetto 3x (per x → +∞).
Traccia.
Basta osservare che
lim x →+∞ 3x xx =x →+∞lim 3 x x = lim x →+∞e x log(3/x )= 0
Limite di funzione: ordini di convergenza, esempio 5.
Esercizio
Mostrare che, se α > β allora xα `e infinito di ordine superiore
rispetto xβ (per x → +∞). Traccia.
Basta osservare che se α > β allora
lim
x →+∞
xα
xβ =x →+∞lim x
Limite di funzione: nota sugli ordini di convergenza.
Nota. (Importante)
Si supponga di dover calcolare lim
x →x0
f+(x ) + f−(x )
g+(x ) + g−(x )
se le funzioni sonoinfinitesime e supponiamo f+/f−→ 0,
g+/g− → 0 (cio`e f+= o(f−), g+= o(g−)) essendo
lim x →x0 f+(x ) + f−(x ) g+(x ) + g−(x ) = lim x →x0 f−(x )(1 + (f+(x )/f−(x )) g−(x )(1 + (g+(x )/g−(x )) = lim x →x0 f−(x ) g−(x ) (5)
Limite di funzione: nota sugli ordini di convergenza.
se le funzioni sonoinfiniti e supponiamo f−/f + → 0,
g−/g+ → 0 essendo lim x →x0 f+(x ) + f−(x ) g+(x ) + g−(x ) = lim x →x0 f+− (x)(1 + (f−(x )/f+(x )) g+(x )(1 + (g−(x )/g+(x )) = lim x →x0 f+(x ) g+(x ) (6)
si possono tralasciare i termini infinito di ordine inferioref−,
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 1.
Esercizio Calcolare lim x →+∞ 2x4+ 4 · 3x x4+√x + log(x ). Traccia.Eliminando gli ordini di infinito inferiori
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 2.
Esercizio
Calcolare al variare del parametro α > 0 L = lim
x →+∞
2x4+ 4 · αx x4+ log x .
Traccia.
Eliminando gli ordini di infinito inferiori lim x →+∞ 2x4+ 4 · 3x x4+√x + log(x )=x →+∞lim 2x4+ 4 · αx x4 .
Se α < 1 allora 4 · αx → 0 e si vede facilmente che L = 2.
Se α = 1 allora 4 · αx = 4 e si si vede facilmente che L = 2.
Se α > 1 allora eliminando gli ordini di infinito inferiori
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 3.
Esempio Calcolare lim x →+∞ e5x x + sin(x ) − e6x. Traccia.Eliminando la funzione limitata (che non da contributo contro le infinite!), visto che e6x ha ordine superiore rispetto a e5x in quanto e6x/e5x = (e6/5)x → +∞ (e ovviamente superiore rispetto a x)
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 4.
Esercizio
Calcolare al variare del parametro α ∈ R+
lim
x →+∞
αx +1+ x2
πx− e−x− 2x3+ sin(x )
Traccia.
Notiamo che al numeratore tutto dipende se α ∈ (0, 1] o α ∈ (1, +∞). Al
denominatore, tolti gli infinitesimi e le funzioni limitate, osserviamo che πx ha
ordine superiore rispetto −2x3. Quindi
L = lim x →+∞ αx +1+ x2 πx− e −x− 2x3+ sin(x ) = lim x →+∞ αx +1+ x2 πx .
Seα ∈ (0, 1)il termine αx +1 `e infinitesimo, mentre seα = 1`e limitato. In
entrambi i casi il termine αx +1 `e irrilevante. Quindi
L = lim x →+∞ αx +1+ x2 πx =x →+∞lim x2 πx = 0
Limite di funzione: con ordini di convergenza, esercizio 4.
Seα ∈ (1, +∞)il termine αx +1`e infinito e domina su x2. Quindi
Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1
Esercizio Mostrare che lim x →0sin (x ) = 0. Svolgimento.L’asserto limx →0sin (x ) = 0 significa che per ogni > 0 esiste
δ() > 0 tale che | sin (x ) − 0| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0.
Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 1
Ricordiamo ora che arcsin `e dispari e quindi si ha
arcsin (−x ) = − arcsin (x ) per x ∈ [−π/2, π/2]. Quindi affinch`e − < sin (x) < , almeno in un intorno di 0 contenuto in
[−π/2, π/2], basta − arcsin () = arcsin (−) < x < arcsin () cio`e |x| < arcsin ().
Limite di funzione
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Figura : Il limite di sin (x ) per x → 0 `e 0. Descrizione degli intorni Vc
(rosso), Uc (magenta), per c = 0, per = 0.2. Dalla teoria si evince che
Limite di funzione: verifica del limite, esercizio 2
Esercizio
Mostrare che non valelimx →0x2 = 1. Svolgimento.
Per assurdo supponiamo sia limx →0x2= 1, cio`e che per ogni > 0
esiste δ() > 0 tale che |x2− 1| < , per ogni x tale che |x − 0| < δ(), con x 6= 0. Supponiamo inoltre sia < 1. Ma |x2− 1| < implica − < x2− 1 < cio`e 1 − < x2< 1 + e
quindi dalla monotonia della radice quadrata che o p
(1 − ) < x <p(1 + ) o
−p(1 + ) < x < −p(1 − )
Limite di funzione: esercizio 3
Esempio Verificare che lim x →−∞2 1/x = 1 Svolgimento.Come detto, mostrare che per ogni > 0 esiste K tale che se x < K allora
|f (x) − L| < . Nel nostro caso diventa per ogni > 0 esiste K tale che se
x < K allora |21/x− 1| < . La tesi sta per
− < 21/x− 1 < ⇔ 1 − < 21/x< 1 +
Visto che vogliamo determinare il comportamento per x → −∞ non `e
restrittivo supporre K < 0. Osserviamo che per x < 0, la funzione 1/x `e
negativa e decrescente. Quindi 21/x `e decrescente, in quanto composta di una
crescente con una decrescente. Inoltre `e non negativa, ed essendo 1/x < 0,
Limite di funzione: esercizio 3
Se ≥ 1, allora
1 − < 21/x < 1 + `
e ovviamente verificata per x < 0 in quanto 1 − < 0 < 21/x < 1 < 1 + .
In questo caso, posto K < 0 arbitrario, 1 − < 21/x < 1 +
Limite di funzione: esercizio 3
Se < 1 vogliamo
− < 21/x− 1 < ⇔ 1 − < 21/x < 1 + .
Se x < 0 allora certamente 21/x < 1 < 1 + . Basta mostrare che per un certo K < 0 si ha che se x < K allora
1 − < 21/x. Dalla monotonia crescente di log2(x ), osservato che log2(1 − ) < 0, x < 0 basta
log2(1 − ) < log22x1 = 1
x ⇔ x < 1 log2(1 − ) e quindi posto K = log 1
2(1−), se x < K allora
Limiti destro e sinistro e limiti: esercizio 1.
Esercizio Mostrare che lim x →0− 1 x = −∞ Svolgimento. Con la scrittura lim x →0− 1 x = −∞indendiamo che per ogni K < 0 esiste δ(K ) > 0 tale che 1x < K per ogni x ∈ (−δ(K ), 0).
In effetti, affinch`e 1x < K basta K1 < x (attenzione, K < 0) che `e verificata per x ∈ (−δ(K ), 0) con δ(K ) = K1
Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile
(facoltativo)
Traccia.
Dopo un po’ di conti essendo x + 3 x + 4 = 1 −
1 x + 4
si ricava, raccogliendo opportunamente e moltiplicando sopra e sotto per (−1/(x + 4)), x + 3 x + 4 x 2+72x +1 = e x 2(1+7/x 2) x (2+1/x ) log(1−1/(x +4)) −1/(x+4) (−1/(x +4))
e per algebra di limiti e limiti notevoli si ha che il limite dell’esponente vale −1/2 e quindi il limite vale
Limite di funzione: calcolo del limite, esercizio 1. Difficile
(facoltativo).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 105 0.6065 0.6065 0.6066 0.6066 0.6066 0.6066 0.6066 0.6067 0.6067 Figura : La funzionex +3 x +4 x 2 +72x +1per x ∈ [104, 106] (in verde) e la funzione
Limite di funzione: esercizio 2. Medio (facoltativo).
Esempio Calcolare al variare di α ∈ R L = lim x →+∞αx − p x2+ 3 per ogni α ∈ R. Traccia.L’unico caso complicato `e quello per α > 0. Distinguere i casi α2− 1 6= 0
(quindi α = 1) da quelli in cui α2− 1 = 0. Si ottiene che per
Limite di funzione: esercizio 3. Facile (facoltativo).
Esempio Mostrare che lim x →0 (1 + x ) √ 2− 1 x = √ 2 Traccia.Usare il limite notevole
lim
x →0
(1 + x )α− 1
Limite di funzione: esercizio 4. Facile (facoltativo).
Esempio Mostrare che lim x →0 √ 1 + x − 1 3 √ 1 + x − 1 = 3/2 Traccia.Moltiplicare e dividere per x e quindi ricordare il limite notevole
lim
x →0
(1 + x )α− 1
Limite di funzione: esercizio 5. Facile (facoltativo).
Esempio Mostrare che lim x →+∞ p 1 + x2− x = 0 Traccia.Limite di funzione: esercizio 6. Facile (facoltativo).
Esempio Mostrare che L = lim x →+∞( p 1 + x2− x)x3/2 = 0 Svolgimento. Da (f (x ))g (x )= eg (x ) log(f (x )) lim x →+∞( p 1 + x2− x)x3/2 = ex3/2log( √ 1+x2−x)Dall’esercizio precedente sappiamo che limx →+∞
√
1 + x2− x = 0
quindi log(√1 + x2− x) → −∞ e da x3/2 → +∞ ricaviamo che
Limite di funzione: esercizio 7. Facile (facoltativo).
Esempio Mostrare che L = lim x →−∞( p 2x2+ 1 + x ) = +∞ Traccia.Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Mostrare che, razionalizzando oppurtanamente,
lim x →+∞ √ x − r x2+ 1 x = 0. Esercizio
Mostrare che, razionalizzando oppurtunamente, lim
x →−∞
3 p
x2+ 1 −√2x2= −∞.
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio
Utilizzando opportune sostituzioni, calcolare limx →0sin(3x )x
limx →π+ √sin(x )
x −π
limx →+∞x π2 − arctan(x)
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio Mostrare che lim x →0 1 − cos3(x ) x tan (x ) = 3/2.Suggerimento: a3− b3 = (a − b)(a2+ ab + b2) e usare limite
notevole. Esercizio Mostrare che lim x →3 2x − 6 sin (πx ) = −2/π.
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio Mostrare che lim x →+∞x · π 2 − arctan (x) = 1.Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio Mostrare che lim x →0 sin(x2) p3x4+ x5cos(x )= 1/ √ 3 EsercizioCalcolare attraverso le sostituzioni t = 1/x , y = arccos(t) e u = (π/2) − y
lim
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio Calcolare (attenzione, x → 0) lim x →0 5x− 7x x Traccia.Raccogliere 7x e ricordare che lim x →0a
x−1
Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio Calcolare lim x →−∞ x3+ 2x + 1 x − 1 cos x 2 + 2 Traccia.Limite di funzione: esercizi riassuntivi.
Esercizio Calcolare lim x →0 sin(x2) p3x4+ x5cos(x ) Traccia.Usare il limite notevole limx →0sin(x )/x = 1 e raccogliere x4 nella
