Svolgimento simulazione di Analisi Matematica I del 31 gennaio 2020

Svolgimento simulazione di Analisi Matematica I del 31 gennaio 2020

Problema 2

Si consideri la funzione reale di una variabile

𝑓(𝑥) = 1 − 𝑒^{) *+ ),} . Dopo averne calcolato il dominio:

Anzitutto, calcoliamo il dominio della funzione. Per la presenza del logaritmo, dev’essere 𝑥^/ > 0 ⟹ ∀𝑥 ≠ 0 ,

da cui

dom(𝑓) = ℝ ∖ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) .

a. si studi la presenza di eventuali simmetrie nel grafico della funzione; (1 punto) 𝑓(−𝑥) = 1 − 𝑒^{A) *+ ),}

Non ci sono simmetrie.

b. si studi il segno della funzione; (2 punti)

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 1 − 𝑒^{) *+ ),} ≥ 0

𝑒^{) *+ ),} ≤ 1 ⟹ 𝑒^{) *+ ),} ≤ 𝑒^D ⟹ 𝑥 ln 𝑥^/ ≤ 0 Studiando il segno dei fattori, si ha

𝑥 ≥ 0

ln 𝑥^/ ≥ 0 ⟹ ln 𝑥^/ ≥ ln 1 ⟹ 𝑥^/ ≥ 1 ⟹ 𝑥^/− 1 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −1 ∨ 𝑥 ≥ 1 Facendo la tabella dei segni, prendiamo il segno meno ed escludiamo 𝑥 = 0 ∉ dom(𝑓).

𝑓(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −1 ∨ 0 < 𝑥 ≤ 1

c. si determini la presenza di eventuali asintoti orizzontali, verticali oppure obliqui; (2 punti) Calcoliamo i limiti alla frontiera del dominio.

)→LMlim 𝑓(𝑥) = lim

)→AMN1 − 𝑒^{) *+ ),}O = 1 − 𝑒^LM = −∞

Ci può essere un asintoto obliquo destro; tuttavia, per la gerarchia dell’infinito, essendo 𝑚 = lim

)→LM

𝑓(𝑥)

𝑥 = lim

)→AM

1 − 𝑒^{) *+ ),}

𝑥 = lim

)→AM

−𝑒^{) *+ ),}

𝑥 = −∞ , non ci può essere l’asintoto obliquo destro.

lim)→D𝑓(𝑥) = lim

)→DN1 − 𝑒^{) *+ ),}O = 1 − 1 = 0

)→AMlim 𝑓(𝑥) = lim

)→AMN1 − 𝑒^{) *+ ),}O = 1 − 𝑒^AM = 1 𝑦 = 1 è un asintoto orizzontale sinistro.

d. si calcoli la derivata prima e se ne determini il dominio; (2 punti) 𝑓^R(𝑥) = −𝑒^{) *+ ),}Sln 𝑥^/+ 𝑥 ⋅ 1

𝑥^/⋅ 2𝑥V = −𝑒^{) *+ ),}(ln 𝑥^/+ 2)

dom 𝑓^R = ℝ ∖ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)

e. si determinino gli intervalli di monotonia e si calcolino i punti di massimo e di minimo;

(4 punti) Studiamo il segno della derivata prima.

𝑓^R(𝑥) ≥ 0 ⟹ −𝑒^{) *+ ),}(ln 𝑥^/+ 2) ≥ 0

Essendo l’esponenziale sempre positivo, il segno è determinato dal fattore −(ln 𝑥^/+ 2), perciò risolviamo la disequazione

−(ln 𝑥^/+ 2) ≥ 0 ⟹ ln 𝑥^/+ 2 ≤ 0 ⟹ ln 𝑥^/≤ −2 ⟹ ln 𝑥^/ ≤ ln 𝑒^A/ ⟹ 𝑥^/ ≤ 𝑒^A/ ⟹ 𝑥^/− 1 𝑒^/

≤ 0 ⟹ −𝑒^AW ≤ 𝑥 ≤ 𝑒^AW

La funzione è monotona crescente in (−𝑒^AW; 𝑒^AW), mentre è monotona decrescente in (−∞; −𝑒^AW) ∪ (𝑒^AW; +∞). Ne segue che 𝑥 = −𝑒^AW è un punto di minimo relativo, mentre 𝑥 = 𝑒^AW è un punto di massimo relativo.

f. facoltativamente, si tracci un grafico qualitativo di 𝑓, tralasciando lo studio della derivata seconda;

g. si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa

𝑥_D = 1. (2 punti)

Il coefficiente angolare della retta tangente è dato da

𝑚 = 𝑓^R(1) = −𝑒^D(0 + 2) = −2 Il punto del grafico ha coordinate 𝑃(𝑥_D; 𝑦_D), dove

𝑦_D = 𝑓(1) = 1 − 𝑒^D = 1 − 1 = 0 , da cui 𝑃(1; 0). L’equazione della tangente è pari a

𝑦 = −2(𝑥 − 1) ⟹ 𝑦 = −2𝑥 + 2

È possibile scrivere il polinomio di Maclaurin al secondo ordine per la funzione in questione? Si

motivi la risposta e, in ogni caso, si calcoli tale polinomio di approssimazione per la funzione 𝑔 ∶ ℝ → ℝ definita da

𝑔(𝑥) = 𝑒^), .

(2 punti) Non è possibile scrivere il polinomio di Maclaurin a nessun ordine, poiché la funzione 𝑓 non è definita in 𝑥_D = 0, che è il centro dello sviluppo in serie.

Calcoliamo lo sviluppo al secondo ordine di 𝑔 in 𝑥_D = 0. Le sue derivate fino all’ordine 2 sono 𝑔(𝑥) = 𝑒^), ⟹ 𝑔(0) = 1

𝑔^R(𝑥) = 2𝑥𝑒^), ⟹ 𝑔^R(0) = 0

𝑔^RR(𝑥) = 2𝑒^),+ 2𝑥𝑒^),(2𝑥) = 2𝑒^),(1 + 2𝑥^/) ⟹ 𝑔^RR(0) = 2 . Applicando la formula dello sviluppo di Maclaurin

𝑝_/(𝑥) = 𝑔(0) +𝑔^R(0)

1! 𝑥 +𝑔^RR(0) 2! 𝑥^/ ne segue

𝑝_/(𝑥) = 1 + 𝑥^/ .

Esercizio 1

Si calcolino i seguenti limiti utilizzando, ove possibile, il metodo del confronto asintotico.

1. lim

)→LM]^𝑥^/+ 1 − ^𝑥^/+ 𝑥_ = lim

)→LM

𝑥^/+ 1 − 𝑥^/− 𝑥

√𝑥^/+ 1 + √𝑥^/+ 𝑥 = lim

)→LM

1 − 𝑥

√𝑥^/+ 1 + √𝑥^/+ 𝑥

= lim

)→LM

1 − 𝑥

|𝑥| bc1 + 1𝑥^/+ c1 + 1𝑥^/d

= lim

)→LM

1 − 𝑥 2𝑥 = −1

2

2. lim

)→D

𝑥 ln(1 + 2𝑥) (𝑒^e)− 1)^/ = lim

)→D

𝑥 ⋅ 2𝑥 (4𝑥)^/ = lim

)→D

2𝑥^/ 16𝑥^/= 1

8 3. lim

)→LMS1 −2 𝑥V

/)AW

Posto ^W_j = −₎^/⟹ 𝑡 = −⁾_/ ⟹ 𝑥 = −2𝑡, si ha

)→LMlim S1 −2 𝑥V

/)AW

= lim

j→AMS1 +1 𝑡V

AejAW

= lim

j→AMlS1 +1 𝑡V

j

m

Ae

S1 +1 𝑡V

AW

= 𝑒^Ae

4. lim

)→LM

𝑒^A) + log 𝑥 + 𝑥^/

2𝑥^/+ 1 = lim

)→LM

log 𝑥 + 𝑥^/

2𝑥^/+ 1 = lim

)→LM

𝑥^/ 2𝑥^/ = 1

2

(2 punti) Esercizio 2

Dopo averne calcolato il dominio, si trovino gli asintoti della funzione 𝑓(𝑥) = ^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥 .

(3 punti) Poniamo l’argomento della radice maggiore o uguale di zero.

𝑥^/+ 3𝑥 − 4 ≥ 0 ⟹ (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ 1 ∨ 𝑥 ≥ 3 dom 𝑓 = (−∞; 1] ∪ [3; +∞)

Calcoliamo i limiti alla frontiera del dominio.

)→AMlim 𝑓(𝑥) = lim

)→AM]^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥_ = +∞

)→LMlim 𝑓(𝑥) = lim

)→LM]^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥_ = lim

)→LM

𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 4𝑥^/

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 + 2𝑥= lim

)→LM

−3𝑥^/

|𝑥| + 2𝑥

= lim

)→LM

−3𝑥^/

3𝑥 = lim

)→LM(−𝑥) = −∞

In alternativa, il secondo limite si può calcolare anche in questo modo, senza razionalizzare:

)→LMlim ]^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥_ = lim

)→LM(|𝑥| − 2𝑥) = lim

)→LM(𝑥 − 2𝑥) = lim

)→LM(−𝑥) = −∞

Non ci sono asintoti orizzontali, ma ci possono essere quelli obliqui. Calcoliamone i coefficienti angolari.

𝑚_W = lim

)→AM

𝑓(𝑥)

𝑥 = lim

)→AM

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥

𝑥 = lim

)→AM

|𝑥| − 2𝑥

𝑥 = lim

)→AM

−𝑥 − 2𝑥

𝑥 = lim

)→AM

−3𝑥 𝑥

= −3 𝑚_/ = lim

)→LM

𝑓(𝑥)

𝑥 = lim

)→LM

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥

𝑥 = lim

)→LM

|𝑥| − 2𝑥

𝑥 = lim

)→LM

𝑥 − 2𝑥

𝑥 = lim

)→LM

−𝑥

𝑥 = −1 Calcoliamo ora le ordinate all’origine degli asintoti obliqui.

𝑞_W = lim

)→AM[𝑓(𝑥) − 𝑚_W𝑥] = lim

)→AMr^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥 + 3𝑥s = lim

)→AMr^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 + 𝑥s

= lim

)→AM

𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 𝑥^/

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 𝑥= lim

)→AM

3𝑥 − 4

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 𝑥= lim

)→AM

3𝑥 − 4

|𝑥| − 𝑥

= lim

)→AM

3𝑥 − 4

−𝑥 − 𝑥= lim

)→AM

3𝑥 − 4

−2𝑥 = −3 2 𝑞_/ = lim

)→LM[𝑓(𝑥) − 𝑚_/𝑥] = lim

)→LMr^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 2𝑥 + 𝑥s = lim

)→LMr^𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 𝑥s

= lim

)→LM

𝑥^/+ 3𝑥 − 4 − 𝑥^/

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 + 𝑥 = lim

)→LM

3𝑥 − 4

√𝑥^/+ 3𝑥 − 4 + 𝑥 = lim

)→LM

3𝑥 − 4

|𝑥| + 𝑥

= lim

)→LM

3𝑥 − 4

𝑥 + 𝑥 = lim

)→LM

3𝑥 − 4 2𝑥 =3

2 Le equazioni degli asintoti obliqui sono

𝑟_W ∶ 𝑦 = −3𝑥 −3

2 , 𝑟_/ ∶ 𝑦 = −𝑥 +3 2 Esercizio 3

Si studi la convessità della funzione

𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥

√2 + 𝑥^/ .

(3 punti) Calcoliamo la derivata seconda della funzione.

𝑓^R(𝑥) =

−√2 + 𝑥^/+ (𝑥 − 2) 2𝑥 2√𝑥^/+ 2

𝑥^/+ 2 =−(𝑥^/+ 2) + (𝑥 − 2)𝑥

(𝑥^/+ 2)^u/ =−𝑥^/− 2 + 𝑥^/− 2𝑥 (𝑥^/+ 2)^u/

=−2(𝑥 + 1) (𝑥^/+ 2)^u/

𝑓^RR(𝑥) = −2(𝑥^/+ 2)^u/− (𝑥 + 1) ⋅ 32√𝑥^/+ 2 ⋅ 2𝑥

(𝑥^/+ 2)^u = −2(𝑥^/+ 2) − 3𝑥(𝑥 + 1) (𝑥^/+ 2)^v/

= −2𝑥^/+ 2 − 3𝑥^/− 3𝑥 (𝑥^/+ 2)^v/

= −2−2𝑥^/− 3𝑥 + 2 (𝑥^/+ 2)^v/ Studiamo il segno della derivata seconda.

𝑓^RR(𝑥) ≥ 0 ⟹ −2−2𝑥^/− 3𝑥 + 2 (𝑥^/+ 2)^v/

≥ 0 ⟹2𝑥^/+ 3𝑥 − 2 (𝑥^/+ 2)^v/

≥ 0 ⟹ 2𝑥^/+ 3𝑥 − 2 ≥ 0 Δ = 9 + 16 = 25

𝑥_W,/ = −3 ± 5

4 ⟹ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 1 2 𝑓^RR(𝑥) ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≤ −2 ∨ 𝑥 ≥1

2 La funzione è concava in ]−2;^W

/_, mentre è convessa in (−∞; −2) ∪ ]^W

/; +∞_.

I punti 𝑥 = −2 e 𝑥 =^W_/ sono punti di flesso, cioè sono punti in cui la funzione cambia concavità.

Esercizio 4

Si determino i valori dei parametri reali 𝑎 e 𝑏 tali che la funzione 𝑓(𝑥) = }𝑎𝑒^)AW 𝑠𝑒 𝑥 > 1

𝑏𝑥^/+ 𝑥^u 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

sia continua e derivabile per ogni 𝑥 ∈ ℝ. (2 punti)

Calcoliamo i limiti destro e sinistro, uguagliandoli sia per la funzione 𝑓 che per la sua derivata 𝑓^R.

)→Wlim^€𝑓(𝑥) = 𝑎

)→Wlim^•𝑓(𝑥) = 𝑏 + 1 𝑎 = 𝑏 + 1

𝑓^R(𝑥) = }𝑎𝑒^)AW 𝑠𝑒 𝑥 > 1 2𝑏𝑥 + 3𝑥^/ 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

𝑓_A^R(0) = 𝑎 𝑓_L^R(0) = 2𝑏 + 3

𝑎 = 2𝑏 + 3 Mettendo a sistema le due condizioni ricavate, si ha

‚ 𝑎 = 𝑏 + 1 𝑎 = 2𝑏 + 3 , da cui

𝑏 + 1 = 2𝑏 + 3 ⟹ 𝑏 = −2 𝑎 = 𝑏 + 1 = −2 + 1 = −1

‚𝑎 = −1 𝑏 = −2 .