Algebra (Informatica) – 14 settembre 2004
Con 18 o pi`u punti si pu`o fare l’orale o accettare il voto dello scritto (30 e lode per chi risolve tutti gli esercizi); con meno di 18 punti si deve rifare lo scritto.
1. Risolvere, in Z13, le seguenti equazioni:
a)2x + 5 = 0 (3 punti) b) (x− 1)2 = 1 (3 punti)
Soluzione:
a) x =−52mod 13 = 4 b) basta svolgere il quadrato e si ottiene x2−2x = 0, da cui x = 0 e x = 2 mod 13 = 22. Risolvere le seguenti equazioni diofantine:
a)27x + 13y = 6 (4 punti) b)31x− y = 9 (4 punti)
Soluzione:
a){y = −12 − 27N, x = 6 + 13N} . b){y = −9 + 31N, x = N} .3. Trovare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso:(5 punti)
z = (1 + i)17
Soluzione:
(1 + i) = √ 2©cosπ4 + i sinπ4ª
per cui basta applicare la formula di DeMoivre:
(1 + i)17=³√
2´17½
cos17π
4 + i sin17π 4
¾
= 256 + 256i
4. Risolvere la seguente relazione di ricorrenza: (5 punti) un+2− 2un = 0
u0 = 1 u1 =√ 2
Soluzione:
nun =−12¡−12
√2− 12
√2¢ ¡√
2¢n√ 2o
=¡√
2¢n
5. Sia n un intero positivo, trovare il resto euclideo della divisione 1111117827 : 18 (6 punti).
Soluzione
: ϕ(18) = 6, quindi basta calcolare 17827 mod 6 = 1. A questo punto abbiamo 1111117827 = 111116k11111 e quindi, per il teorema di Eulero,1111117827mod 18 = 11111 mod 18 = 5
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