Algebra (Informatica) – 24 marzo 2004
Con pi`u di 18 punti si pu`o fare l’orale o accettare il voto dello scritto (30 e lode per chi risolve tutti gli esercizi); con meno di 17 punti si deve rifare lo scritto; con 17 o 18 punti si
`e ammessi all’orale.
1. Risolvere in numeri interi la seguente equazione: (4 punti) 15x− 48y = 6
Soluzione:
{x = 10 + 16k, y = 3 + 5k} dove k `e un intero relativo qualsiasi.2. Trovare tutti gli x ∈ Z48 tali che
15x = 6 mod 48 (5 punti)
Soluzione:
l’equazione diofantina dell’esercizio precedente `e la stessa che risolve questo problema e fornisce x = 10 + 16k, per cui le soluzioni x ∈ Z48 sono 10, 26, 42.3. Dimostrare che non esiste nessun intero x tale che:
18x = 194 mod 360
(5 punti)
Soluzione:
l’equazione diofantina che risolverebbe il problema: 18x− 360y = 194, `e impossibile perch`e il primo membro `e sempre multiplo di 18 e il secondo no.4. Calcolare, in forma trigonometrica, le radici quadrate di 25i− 25
(5 punti)
Soluzione:
osservato che eiπ3/4 =−12√2 + 12i√
2 = 12√
2 (−1 + i) si ottiene:
−25 + 25i = 25 (−1 + i) = 25√ 2eiπ3/4 le due radici richieste sono quindi:
±5√4
2(cos 3π/8 + i sin 3π/8) 5. Dimostrare che il numero intero:
310000000000000000+ 10
`e divisibile per 11. (6 punti)
Soluzione
: basta calcolare, modulo 11, le potenze di 3 fino ad ottenere 1 : 32mod 11 = 9, 33mod 11 = 5, 34mod 11 = 4, 35mod 11 = 1 Segue immediatamente che, essendo l’esponente divisibile per 5,¡310000000000000000+ 10¢
mod 11 = (1 + 10) mod 11 = 0
1
6. Dimostrare che x = i `e radice quadrupla del polinomio: (3 punti) x7− ix6+ 3x5− 3ix4+ 3x3 − 3ix2+ x− i
e trovarne le altre radici. (3 punti)
Soluzione
: basta dividere il polinomio per (x− i)4 e si ottiene subito:x7− ix6+ 3x5− 3ix4+ 3x3− 3ix2+ x− i
x4− 4ix3− 6x2+ 4ix + 1 = (x + i)3
Dimostrando cos`ı anche che le altre tre radici sono x = −i con molteplicit`a 3. Se si volesse dimostrare solo che x = i `e radice quadrupla, basta mostrare che `e radice del polinomio e delle sue prime tre derivate.
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