6. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2017)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Con la topologia Euclidea indotta da R3, si consideri lo spazio X ottenuto per rotazione attorno all’asse z della figura seguente:
0
z
x
p
q
Sia inoltre Γ la circonferenza ottenuta per rotazione attorno all’asse z del punto p.
(1) Determinare il gruppo fondamentale π1(X).
(2) Per ogni componente connessa di X \ Γ determinare il gruppo fondamen- tale e il rivestimento universale.
(3) Si consideri la somma connessa T ]S2 di un toro T con una sfera S2 . `E T ]S2 omeomorfa a X? Si determini la caratteristica di Eulero di T ]S2.
Esercizio 2. Si consideri la curva catenaria
α : R −→ R2, t 7→ (t, cosh t).
Dare la parametrizzazione della catenaria rispetto alla lunghezza d’arco.
Esercizio 3. Si consideri un disco circolare di raggio 1 nel piano x, y che ruota senza scivolare lungo l’asse delle x, si fissi un punto p sulla circonferenza (bordo del disco). La figura descritta dal movimento di p `e la traccia di una curva α : R −→ R2 detta cicloide.
(1) Si determini una parametrizzazione di α e se ne determinino i punti sin- golari.
(2) Si calcoli la lunghezza d’arco della cicloide corrispondente ad un’intera rotazione del disco.
(3) Si considerino ora due punti A e B in R3 sul piano verticale x = 0 con coordinate (0, yA, zA), (0, yB, zB) e zA> zB. Si consideri una massa punti- forme M che si muove da A a B soggetta solo alla forza di gravita e avente velocit`a iniziale nulla. Si determini la curva che descrive M andando da A a B nel minore tempo possibile, tale curva `e detta brachistocrona.
1
(4) Si provi che la brachistocrona `e la cicloide.
