LE FUNZIONI REALI
ESERCIZI SVOLTI
LE FUNZIONI REALI E I LORO DOMINI
Determinare l’insieme di esistenza delle seguenti funzioni
1 A f x( )=ln(cosx)
2 A f x( )= senx+1
3 A ln 1
1 ) ln
( +
= −
x arctg x x
f
4 A 1 cos(ln )2
( ) ln
f x x
x
= −
5 A f x( )=arcsen e2x−1
6 A
2
arcsen
ln( 1 )
( )
1 x
x x
f x
e
− −
= −
Risoluzioni
Calcoliamo l’insieme di esistenza delle nostre funzioni:
1 A { / cos 0} / 2 2 , 3 2 2 2 ,
2 2
D= x∈ x> =x∈ kπ < < +x π kπ ∨ π+ kπ < <x π + kπ k∈
2 A D={x∈/senx+ ≥1 0}
Poichésenx+ ≥ ⇒1 0 senx≥ − , disequazione sempre verificata, pertanto 1 D= .
3 A
Poiché l’arcotangente è definita su tutto , l’insieme di esistenza della funzione data coincide con quello della funzione ln 1
ln 1 x x
−
+ . Quest’ultima funzione richiede le seguenti condizioni:
0 0 1 1
0, ,
ln 1 1 x x
x x D e e
e
>
> ⇒ ⇒ = ∪ +∞
≠ − ≠
.
4 A
Poiché il coseno è definito su tutto , l’insieme di esistenza della funzione data richiede le seguenti condizioni:
2
0 0
ln 0 1
x x
x x
> >
≠ ⇒ ≠
pertanto: D=
] [ ]
0,1 ∪ +∞ .1,[
5 A La funzione arcoseno è definita per x compreso tra -1 e 1, estremi compresi, pertanto:
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LE FUNZIONI REALI
1 e2x 1 1
− ≤ − ≤ ⇒
2 2
2
1 1 1 1 1
1 1
x x
x
e e
e x
− ≤ − ≤ − ≤
⇒
− ≥ − ∀ ∈
2 2
2
1 1 2
1 1
x x
x
e e
e x
x x
− ≤ ≤
− ≥ − ⇒ ∀ ∈ ⇒
∀ ∈ ∀ ∈
1ln(2)
2 ln(e) ln 2 2
, x x
x x
x x
≤
≤
∀ ∈ ⇒ ∀ ∈
∀ ∈ ∀ ∈
Perciò: , ln 21 D= −∞ 2 .
6 A
Il dominio della funzione è dato dalle soluzioni reali del seguente sistema:
≤
≤
− ℜ
∈
∀
≠
≤
≤
−
≤
<
⇒
≤
≤
− ℜ
∈
∀
≠
≤
≤
−
<
−
⇒
≤
≤
−
≥
≠
−
≥
−
>
−
−
1 1
0 1 1
2 1 2
1 1
1 1 1
1
1 1
0 0 1
0 1
0
1 2
2 2
x x x
x x
x x e
x x x
x e
e x
x x
arcsenx arcsenx
arcsenx
Pertanto
= ,1 2
D 2 .
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