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Facolt`a di Agraria

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Academic year: 2021

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(1)

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 7/1/2004 A.A. 2003-2004

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione 2

|x−1|

≤ 4

√x

2. Data la funzione

f (x) = log(4x

2

− 1) 1. determinare il dominio;

2. calcolare i limiti agli estremi degli intervalli di cui `e costituito il dominio;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli la funzione `e concava e in quali convessa;

5. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto ¡

1, f (1) ¢

;

6. disegnare un grafico approssimativo di f

e della retta tangente precedentemente

individuata.

(2)

2 Matematica, 7/1/2004 v1

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

½ a − 2x se x < 0 arctg x se x ≥ 0 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile;

2. dire se per a = π/2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.

4. Data l’equazione differenziale y

0

(t) = 2y(t) − y

2

(t)

1. stabilire di che tipo di equazione si tratta;

2. esibire una soluzione del problema di Cauchy per l’equazione data con la condizione iniziale y(0) = 0;

3. dire se la funzione y(t) = √

t + 9 `e una soluzione del problema di Cauchy per l’e- quazione data con la condizione iniziale y(0) = 3;

4. determinare una soluzione del problema di

Cauchy per l’equazione data con la condizione

iniziale y(0) = 3, nel caso in cui non lo sia

gi`a la funzione di cui al punto precedente, ed

eseguire la verifica.

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