UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE I Una introduzione ai gruppi classici M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2016/2017

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UNIVERSIT `A CATTOLICA DEL SACRO CUORE

Facolt`a di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

ISTITUZIONI DI ALGEBRA SUPERIORE I

Una introduzione ai gruppi classici

M. Chiara Tamburini

Anno Accademico 2016/2017

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Indice

I La geometria dei gruppi classici 1

1 Forme sesquilineari sui campi . . . . 1

2 Forme sesquilineari e matrici . . . . 3

3 Ortogonalit`a . . . . 5

4 Spazi simplettici . . . . 7

5 Spazi ortogonali e spazi unitari . . . . 8

6 Alcune propriet`a dei campi finiti . . . . 11

7 Spazi ortogonali e unitari sui campi finiti . . . . 12

II I gruppi classici 17 1 Il gruppo generale lineare . . . . 17

2 Il gruppo simplettico . . . . 19

3 I gruppi ortogonali in caratteristica 6= 2. . . . 19

4 I gruppi unitari. . . . . 21

5 I gruppi semplici . . . . 21

Bibliografia 23

i

(4)

(5)

Capitolo I

La geometria dei gruppi classici

1 Forme sesquilineari sui campi

In questo Capitolo σ indica un automorfismo di un campo K. Saremo interessati solo ai casi in cui σ = id_K oppure σ ha periodo 2, ossia:

σ²= id_K.

Ad esempio ha periodo 2 l’automorfismo coniugio σ del campo complesso C:

a + ib 7→ a − ib.

La teoria di Galois ci dice che un campo finito K ha un automorfismo σ di periodo 2 se e solo se il suo ordine `e un quadrato. In tal caso, posto |K| = q², l’automorfismo σ `e l’applicazione:

α 7→ α^q, ∀ α ∈ K.

Per ogni α ∈ K conviene porre σ(α) := α^σ.

(1.1) Definizione Sia V uno spazio vettoriale su K. Una forma σ-sesquilineare su V

`

e una applicazione

( , ) : V × V → K tale che, per ogni v, v₁, v₂, w, w₁, w₂ ∈ V e per ogni λ, µ ∈ K

(1.2)

(v1+ v2, w) = (v1, w) + (v2, w) (v, w1+ w2) = (v, w1) + (v, w2)

(λv, µw) = λµ^σ(v, w) Una forma σ-sesquilineare su V si dice:

• bilineare se σ = id_K;

1

(6)

• hermitiana se σ ha periodo 2 e (v, w) = (w, v)^σ, per ogni v, w ∈ V . Diciamo inoltre che la forma `e :

• non singolare se, per ogni vettore non nullo v di V , esiste u ∈ V tale che (u, v) 6= 0_K.

• bilineare simmetrica se σ = id_K e, per ogni v, w ∈ V , si ha (v, w) = (w, v);

• bilineare antisimmetrica se σ = id_K e, per ogni v, w ∈ V , si ha (v, w) = −(w, v).

Chiaramente, per ogni v ∈ V :

((0_V, v)) = ((0_K0_V, v)) = 0_K(0_V, v) = 0_K= (v, 0_V) .

(1.3) Definizione Un’ isometria di una forma σ-sesquilineare ( , ) : V × V → K `e un’applicazione lineare iniettiva f : V → V tale che

(f (v), f (w)) = (v, w), ∀ v, w ∈ V.

Se W `e un qualunque sottospazio di V , ogni forma sesquilineare su V induce una forma sesquilineare su W . Basta infatti considerare la restrizione:

( , ) : W × W → K.

(1.4) Lemma (di Witt) Data una forma bilineare o hermitiana non singolare su V , siano U, U⁰ sottospazi di V e f : U → U⁰ una isometria (rispetto alle restrizioni della forma a U, U⁰). Allora f si estende a una isometria bf : V → V .

Per una dimostrazione si veda [1, 20, pag. 81], o anche [4, Capitolo 6, pag. 369].

(1.5) Esempi

1) Posto V = Rⁿ, l’applicazione

(v, w) := v^Tw, ∀ v, w ∈ V

`

e una forma bilineare simmetrica, non singolare su V . Per n = 2 si ha:

x₁ x₂

,

y₁ y₂

:= (x₁, x₂)

y₁ y₂

= x₁y₁+ x₂y₂. Nel caso n = 3 tale forma induce la metrica usuale nello spazio R³.

2) Posto V = Kⁿ e fissata una qualunque matrice J ∈ Mat_n(K), l’applicazione (v, w) := v^TJ w, ∀ v, w ∈ V

`e una forma bilineare su V . Per K = R, J = I si ha l’esempio 1).

(7)

2. FORME SESQUILINEARI E MATRICI 3

2 Forme sesquilineari e matrici

Date una forma σ sequilineare ( , ) : V × V → K e fissata una base B = {v₁, . . . , v_n}

di V , per ogni

v =

n

X

i=1

k_iv_i, w =

n

X

i=1

h_iv_i, k_i, h_i ∈ K in virt`u degli assiomi (1.2) della definizione 1.1 si ha:

(2.1) (v, w) =

n

X

i,j=1

kih^σ_j(vi, vj).

Introducendo la matrice

(2.2) J := ((v_i, v_j)) ∈ Mat_n(K).

e passando ai vettori coordinate vB =



 k1

. . . kn



, wB =



 h1

. . . hn



, la (2.1) si scrive nella forma:

(2.3) (v, w) = v_B^TJ w^σ_B, ∀ v, w ∈ V.

(2.4) Lemma Fissata la forma σ-sesquilineare ( , ) : V × V → K e la base B di V , l’unica matrice di Matn(K) che soddisfa (2.3) `e J.

Dimostrazione. Se A = (aij) soddisfa (2.3), da viB = ei per 1 ≤ i ≤ n, segue:

(vi, vj) = viBTAv_{j B} = eiTAej = aij, ∀ i, j ≤ n.

Si conclude A = J .

E cos`ı giustificata la seguente:`

(2.5) Definizione J = ((vi, vj)) si dice la matrice della forma ( , ) rispetto a B.

In virtù di (2.3), ogni forma bilineare di Kⁿè del tipo descritto nell’esempio 2). In tale esempio J è la matrice della forma rispetto alla base canonica. Infatti, se B è la base canonica di Kⁿ, per ogni v ∈ Kⁿ si ha v = vB.

(2.6) Lemma Sia J = ((vi, vj)) la matrice di una forma bilineare o hermitiana su V , rispetto a una base B = {v1, . . . , vn}.

1) La forma `e non singolare se e solo se det J 6= 0_K;

(8)

2) se σ = id_K, la forma è simmetrica se e solo se J^T = J ; 3) se σ = id_K, la forma è antisimmetrica se e solo se J^T = −J ; 4) se σ 6= id_K, la forma è hermitiana se e solo se J^T = J^σ. Dimostrazione.

1) Fissato v ∈ V , per ogni vi ∈ B si ha (v_i, v) = eiTJ v^σ_B.

Sia det J 6= 0_K. Consideriamo v ∈ V non nullo. Se fosse e_i^TJ v^σ_B = 0_K per ogni i, si avrebbe J v_B^σ = 0_Kⁿ da cui, moltiplicando per J⁻¹, la contraddizione v_B^σ = 0_Kⁿ. Pertanto (v_i, v) 6= 0_K per almeno un indice i. Concludiamo che la forma `e non degenere.

Viceversa la forma sia non degenere. Se fosse det J = 0_K, esisterebbe w ∈ V non nullo tale che J w^σ_B = 0_Kⁿ. Ne seguirebbe (v, w) = v^T_BJ w_B^σ = 0_K per ogni v ∈ V , contraddizione. Si conclude det J 6= 0_K.

2) e 4). Se la forma `e simmetrica o hermitiana si ha, in particolare, (v_j, v_i) = (v_i, v_j)^σ, 1 ≤ i, j ≤ n

da cui J^T = J^σ.

Viceversa, sia J^T = J^σ. Notando che (v, w) = (v, w)^T per ogni v, w ∈ V : (v, w) = v^T_BJ w_B^σ = v_B^TJ w^σ_BT

= (w^σ_B)^T J^σ(v_B^σ)^σ = w_B^TJ vB

σ

= (w, v)^σ. Si conclude che la forma è simmetrica se σ = id_K, è hermitiana se σ 6= id_K. 3) Se la forma è antisimmetrica, da

(v_j, v_i) = −(v_i, v_j), 1 ≤ i, j ≤ n segue J^T = −J . Viceversa, se J^T = −J , per ogni v, w ∈ V :

(v, w) = v_B^TJ wB = v_B^TJ wBT

= −w_B^TJ vB = −(w, v).

Si conclude che la forma `e antisimmetrica.

(2.7) Lemma Sia J ∈ Mat_n(K) la matrice di una forma sesquilineare su V , rispetto a una base B = {v₁, . . . , v_n}. Una matrice J⁰ ∈ Mat_n(K) `e la matrice della stessa forma rispetto una base B⁰ = {v₁⁰, . . . , v_n⁰} se e solo se esiste P ∈ GL_n(K) tale che:

(2.8) J⁰ = P^TJ P^σ.

(9)

3. ORTOGONALIT `A 5

Dimostrazione.

Supponiamo che J⁰ sia la matrice della forma rispetto B⁰ e sia P := (v⁰₁)_B . . . (v⁰_n)_B

la matrice di passaggio da B a B⁰. Per ogni v ∈ V si ha: vB= P v_B⁰. Ne segue:

(v, w) = v^T_BJ w^σ_B= v_B^T0P^T J (P^σw_B^σ0) = v^T_B0 P^TJ P^σ w^σ_B0. Pertanto P^TJ P^σ soddisfa (2.3), da cui J⁰ = P^TJ P^σ.

Viceversa, sia J⁰ = P^TJ P^σ, con P ∈ GLn(K). Essendo P invertibile esiste una base B⁰ di V tale che P `e la matrice di passaggio da B a B⁰. Per il punto precedente J⁰ `e la matrice della forma rispetto B⁰.

(2.9) Definizione Diremo che due matrici J, J⁰ ∈ Mat_n(K) sono congruenti se esiste P ∈ GL_n(K) tale che P^tJ P = (J⁰)^σ.

E facile verificare che la congruenza `´ e una relazione di equivalenza.

Per il precedente lemma, se J è la matrice di una forma sesquilineare rispetto una data base di V , allora J⁰ è congruente a J se e solo se è la matrice della stessa forma rispetto una conveniente base B⁰.

3 Ortogonalit`a

In questo paragrafo consideriamo una forma ( , ) : V × V → K che sia bilineare simmetrica o antisimmetrica, oppure hermitiana.

(3.1) Definizione Due vettori u, w ∈ V si dicono ortogonali se (u, w) = 0_K. In virtù dell’assioma (w, u) = ±(u, w)^σ l’ortogonalità fra vettori è simmetrica.

(3.2) Lemma Per ogni sottoinsieme W di V il sottoinsieme W^⊥ dei vettori di V ortogonali a tutti i vettori di W `e un sottospazio. Pertanto

W^⊥:= {v ∈ V | (v, w) = 0, ∀ w ∈ W }

`

e detto il sottospazio ortogonale a W . Dimostrazione.

• 0_V ∈ W^⊥ poich`e (0_V, w) = 0 per ogni w ∈ W .

(10)

• Siano v₁, v₂ ∈ W^⊥ e λ₁, λ₂∈ K. Ne segue

(λ1v1+ λ2v2, w) = λ1(v1, w) + λ2(v2, w) = 0_K+ 0_K= 0_K, ∀ w ∈ W.

Si conclude che λ1v1+ λ2v2 ∈ W^⊥, che `e pertanto un sottospazio.

(3.3) Definizione Siano U, W due sottospazi di V . Scriviamo V = U ⊥ W e diciamo che V `e somma ortogonale di U e W se

1) V = U ˙+W `e somma diretta di U e W ;

2) U ≤ W^⊥, ossia (u, w) = 0_K per ogni u ∈ U , w ∈ W . Un sottospazio W si dice totalmente isotropo se W ≤ W^⊥. (3.4) Lemma Supponiamo che la forma sia non degenere.

Per ogni sottospazio W di V si ha:

dim(W^⊥) = dim(V ) − dim(W ).

In particolare:

i) la dimensione di un sottospazio totalmente isotropo `e ≤ ¹₂dim V ;

ii) se la restrizione della forma a W `e non degenere, si ha V = W ⊥ W^⊥. Inoltre la restrizione della forma a W^⊥ `e non degenere.

Dimostrazione. Sia {w₁, . . . , w_m} una base di W . Per ogni v ∈ V si ha:

(3.5) v ∈ W^⊥ ⇐⇒ (w_i, v) = 0_K, 1 ≤ i ≤ m.

Detta B = {w1, . . . , wm, wm+1, . . . , wn} una base di V che estende quella scelta per W , sia J la matrice della forma rispetto B. Si ha allora:

(3.6) v ∈ W^⊥ ⇐⇒ e_i^TJ v_B^σ = 0_K, 1 ≤ i ≤ m.

Ossia i vettori v ∈ W^⊥ sono quelli per cui v_B^σ `e soluzione del sistema







e1TJ X = 0_K . . . emTJ X = 0_K,

X := (x₁, . . . x_n)^T.

Si tratta di un sistema lineare omogeneo in m equazioni e n = dim V indeterminate.

Essendo J non degenere, le sue righe (in particolare le prime m righe) sono indipendenti.

(11)

4. SPAZI SIMPLETTICI 7

Ne segue che le equazioni del sistema sono indipendenti. Quindi le sue soluzioni formano un sottospazio di dimensione n − m = dim V − dim W .

i) Sia W totalmente isotropo. Da W ≤ W^⊥ segue dim W^⊥≥ dim W . Quindi dim V − dim W ≥ dim W , da cui dim W ≤ ¹₂dim V .

ii) Se la restrizione della forma a W `e non degenere, allora W ∩ W^⊥= {0_V}. Ne segue dim(W + W^⊥) = dim W + dim W^⊥ = dim V , da cui V = W ⊥ W^⊥.

Infine sia u un vettore di W^⊥, ortogonale a tutti i vettori di W^⊥. Da V = W ⊥ W^⊥ segue che u `e ortogonale a tutti i vettori di V . Quindi u = 0_V perch`e la forma considerata

`

e non degenere.

(3.7) Teorema Ogni sottospazio totalmente isotropo di V `e contenuto in sottospazio totalmente isotropo massimale.

Dimostrazione. Siano U, W sottospazi totalmente isotropi di V , con W di dimensione massima fra quelle dei sottospazi totalmente isotropi. Ogni applicazione lineare iniettiva f : U → W soddisfa l’ipotesi del Lemma di Witt, e pu`o quindi essere estesa a un isometria f : V → V . Ne segue U ≤ bb f⁻¹(W ), con bf⁻¹(W ) totalmente isotropo massimale.

4 Spazi simplettici

(4.1) Definizione Uno spazio vettoriale V su K si dice simplettico se su di esso `e definita una forma bilineare, non degenere, tale che ogni vettore v ∈ V `e isotropo, ossia

(v, v) = 0_K.

Scopo di questo paragrafo `e dimostrare che esiste essenzialmente un unico spazio simplettico su K per ogni n pari.

Per la bilinearit`a, un prodotto simplettico `e antisimmetrico. Infatti, per ogni v, w ∈ Kⁿ: 0 = (v + w, v + w) = (v, v) + (v, w) + (w, v) + (w, w) = (v, w) + (w, v).

Ne segue (w, v) = −(v, w).

(4.2) Teorema Sia V uno spazio simplettico su K, di dimensione n.

1) n = 2m `e pari;

(12)

2) esiste una base B di V rispetto alla quale la forma ha matrice:

(4.3) J =

0 Im

−I_m 0

.

Dimostrazione. Induzione su n.

Se fosse n = 1, per qualunque base {v} di V si avrebbe (v, v) = 0_K, in contrasto con l’ipotesi che V `e non degenere. Quindi n ≥ 2.

Per la non-degenericit`a della forma, esistono v1, w ∈ V tali che λ := (v1, w) 6= 0_K. In particolare v1 e w sono linearmente indipendenti. Posto w1 := λ⁻¹w, si ha:

(v1, w1) = v1, λ⁻¹w = λ⁻¹(v1, w) = 1_K.

Se n = 2 abbiamo l’asserto. Infatti la matrice della forma rispetto B = {v₁, w₁} `e J =

0 1

−1 0

.

Per n > 2, il sottospazio W := hv1, w1i `e non singolare. Ne segue V = W ⊥ W^⊥.

W^⊥è non degenere, quindi è uno spazio simplettico di dimensione n−2. Per induzione su n si ha n−2 = 2(m−1) pari. Inoltre W^⊥ammette una base {v₂, . . . , v_m, w₂, . . . , w_m} rispetto alla quale la matrice della forma è del tipo di (4.3). Scegliendo

B = {v₁, . . . , v_m, w₁, . . . , w_m} si ha la tesi.

5 Spazi ortogonali e spazi unitari

Su un campo K di caratteristica 2, le forme bilineari simmetriche sono antisimmetriche.

Per tale ragione, per studiare gli spazi ortogonali in caratteristica 2, `e necessario intro- durre e classificare le forme quadratiche. Siccome qui non le trattiamo, per gli spazi ortogonali ci limitiamo al caso di caratteristica 6= 2.

(5.1) Definizione Sia V uno spazio vettoriale su un campo K.

(13)

5. SPAZI ORTOGONALI E SPAZI UNITARI 9

• V si dice uno spazio ortogonale se K ha caratteristica 6= 2 ed `e definita una forma bilineare simmetrica, non degenere ( , ) : V × V → K.

• V si dice uno spazio unitario se K che ha un automorfismo di periodo 2 ed `e definita una forma hermitiana, non degenere ( , ) : V × V → K.

(5.2) Definizione Sia V uno spazio ortogonale o hermitiano e sia B = {v1, . . . , vn} una sua base.

• B si dice ortogonale se (v_i, v_j) = 0 per ogni i 6= j.

• B si dice ortonormale se `e ortogonale e (v_i, v_i) = 1 per ogni i.

Equivalentemente B è una base ortogonale se la matrice della forma rispetto B è diagonale. B è una base ortonormale se la matrice della forma rispetto B è quella identica.

(5.3) Teorema Sia V uno spazio ortogonale o hermitiano su K. Nel caso in cui V `e ortogonale si supponga char K 6= 2. Allora V ha una base ortogonale.

Dimostrazione. Basta dimostrare che esiste v ∈ V tale che (v, v) 6= 0_K. Infatti, in tal caso, il sottospazio hvi `e non-degenere. Ne segue

V = hvi ⊥ hvi^⊥.

Poichh`e hvi^⊥ha dimensione n − 1 possiamo supporre, per induzione su n, che abbia una base ortogonale B. Pertanto {v} ∪ B `e una base ortogonale di V .

Resta da dimostrare l’esistenza di v ∈ V tale che (v, v) 6= 0_K.

Per la non-degenericit`a della forma, esistono u, w ∈ V tali che λ := (u, w) 6= 0_K. Se (u, u) 6= 0_K oppure (w, w) 6= 0_K siamo a posto. Quindi possiamo supporre

(u, u) = (w, w) = 0.

Se char K 6= 2, ponendo v = λ⁻¹u + w si ha:

(v, v) = λ⁻¹(u, w) + λ⁻¹σ

(w, u) = λ⁻¹λ + (λ^σ)⁻¹λ^σ = 21_K 6= 0_K.

Se char K = 2, allora V è unitario. Poichè l’automorfismo σ di K che definisce la forma hermitiana non è id_K, esiste α ∈ K tale che α^σ6= α. Scegliendo v = λ⁻¹αu + w si ha

(v, v) = α + α^σ = α − α^σ 6= 0_K.

(14)

(5.4) Osservazione Se K ha caratteristica 2, una forma bilineare simmetrica pu`o non ammettere basi ortogonali. Ad esempio, per n = 2`, consideriamo la forma bilineare indotta dalla matrice 0 I_`

I_` 0

rispetto alla base canonica di Kⁿ. Tale forma `e non degenere (e definisce uno spazio simplettico in caratteristica 2), ma non ammette basi ortogonali dato che tutti i vettori sono isotropi.

(5.5) Corollario

1) Uno spazio ortogonale V su C ha una base ortonormale;

2) uno spazio hermitiano V su C (rispetto all’automorfismo coniugio σ di C), tale che (v, v) > 0 per ogni v 6= 0V, ha una base ortonormale;

3) uno spazio ortogonale V su R, tale che (v, v) > 0 per ogni v 6= 0V in V , ha una base ortonormale.

Dimostrazione.

Per il Teorema 5.3 esiste una base ortogonale B = {v₁, . . . , v_n} di V . Poniamo (v_i, v_i) := λ_i, 1 ≤ i ≤ n.

1) Per ogni i ≤ n esiste µ_i∈ C tale che µ²_i = λ⁻¹_i . Una base ortonormale `e quindi:

B⁰ =µ⁻¹₁ v1, . . . , µ⁻¹_n vn .

2) e 3) Nel punto 2) notiamo che la condizione (v, v) = (v, v)^σ implica (v, v) ∈ R per ogni v ∈ V . Ha quindi senso la condizione (v, v) > 0.

Per ipotesi ogni λ_i `e un reale positivo. Esiste quindi µ_i ∈ R tale che µ²_i = λ⁻¹_i per ogni i ≤ n. Definendo B⁰ come nel caso precedente si ottiene una base ortonormale.

(5.6) Osservazione Dal Teorema 5.3 segue facilmente che uno spazio ortogonale V , di dimensione n su R, ha una base ortogonale rispetto alla quale la forma ha matrice

D = diag



1, . . . , 1

| {z }

h

, −1, . . . , −1

| {z }

n−h





per qualche h tale che 0 ≤ h ≤ n. Per il Teorema di Sylvester [5, Cap. VIII, & 6, pag 165] due matrici D e D⁰ di questo tipo sono congruenti solo se hanno lo stesso numero di componenti uguali a 1.

(15)

6. ALCUNE PROPRIET `A DEI CAMPI FINITI 11

Come si intuisce dai casi fin qui considerati, la classificazione delle forme bilineari simmetriche e hermitiane dipende essenzialmente dal campo K. Nel caso dei campi finiti si riesce a dare una classificazione completa, come vedremo nell’ultimo paragrafo di questo capitolo.

6 Alcune propriet`a dei campi finiti

Per la classificazione delle forme bilineari e simmetriche sui campi finti avremo bisogno delle propriet`a espresse dal seguente Lemma.

(6.1) Lemma Siano K un campo finito e X :=α² | α ∈ K l’insieme dei quadrati.

1) Se l’ordine di K `e pari, allora X = K;

2) se l’ordine di K `e `e dispari, allora K \ X 6= ∅. Inoltre fissato ∈ K \ X si ha:

K = X ∪ X = {0} ˙∪α²| α ∈ K^∗ ˙∪α² | α ∈ K^∗ ;

3) ogni elemento di K `e somma di due quadrati;

4) Se |K| = q²`e un quadrato, per ogni λ ∈ Fq(sottocampo di K di ordine q), l’ equazione x^q+1 = λ

ha q + 1 radici in K.

Dimostrazione.

1) Posto |K| = 2â, il monomorfismo di Frobenius ϕ : K → K definito ponendo ϕ(α) = α² per ogni α ∈ K, è una bijezione di K in sè . Quindi X = Imϕ = K.

2) L’applicazione ϕ : K^∗ → K^∗, definita ponendo ϕ(α) = α² per ogni α ∈ K^∗, `e un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Kerϕ =α | α² = 1 = {1, −1} ha ordine 2.

Per il Teorema degli omomorfismi fra gruppi K^∗

Kerϕ ' Imϕ.

Posto |K| = q, si deduce ^q−1₂ = |Imϕ|. Notando che X = {0} ∪ Imϕ, si conclude

|X| = 1 + q − 1

2 = q + 1 2 < q.

Infine 6∈ Imϕ essendo un non-quadrato. Ne segue Imϕ ∩ (Imϕ) = ∅.

(16)

Poich`e |(Imϕ) | = |Imϕ| = ^q−1₂ si conclude

K^∗ = Imϕ ˙∪ (Imϕ) =α² | α ∈ K^∗ ˙∪α² | α ∈ K^∗ .

3) Se |K| = 2^a, ogni β ∈ K `e un quadrato per il punto 1). Ne segue β = α²+ 0² per un opportuno β ∈ K. Se |K| = q dispari, fissato β ∈ K, consideriamo l’applicazione

tβ : X → K tale che x 7→ β − x, ∀ x ∈ X.

Essa `e iniettiva, quindi |t_β(X)| = |X| = ^q+1₂ . Ne segue |X| + |t_β(X)| = q + 1 da cui X ∩ t_β(X) 6= ∅.

Sia ρ ∈ X ∩ t_β(X). Da ρ ∈ X segue ρ = α² per qualche α ∈ K. Da ρ ∈ tβ(X) segue ρ = β − γ² per qualche γ ∈ K. Si conclude β = α²+ γ².

4) Fq² contiene Fq. Per ogni α ∈ Fq² si ha αα^q ∈ Fq. Infatti (αα^q)^q = α^qα^q² = αα^q. Possiamo quindi considerare l’omomorfismo τ : F^∗_q² → F^∗q tale che

α 7→ αα^q, ∀ α ∈ F^∗_q².

Ker τ =α | α^q+1= 1 ha ordine k ≤ q + 1. Dal teorema degli omomorfismi fra gruppi segue |Im τ | = ^q²_k⁻¹ ≥ q − 1. Poich`e il codominio di τ ha ordine q − 1 si conclude che Ker τ ha ordine q + 1 e che Im τ ha ordine q − 1, ossia τ `e suriettiva.

Infine, detta λ una preimmagine di λ, per ogni t ∈ Ker τ si ha (tλ)^q+1 = τ (tλ) = λ.

Pertanto i q + 1 elementi tλ, t ∈ Ker τ , sono le radici di x^q+1 = λ.

7 Spazi ortogonali e unitari sui campi finiti

In questo paragrafo supponiamo K = Fq finito e descriviamo la classificazione completa degli spazi ortogonali e unitari su Fq. Vedremo che, per ogni dimensione n fissata, esistono due spazi ortogonali non isometrici e un unico spazio hermitiano.

(7.1) Lemma Sia V uno spazio ortogonale di dimensione n ∈ {2, 3} su K, con |K| = q dispari, e sia un prefissato non-quadrato in K.

1) Se n = 2 e V ha un vettore isotropo non nullo, esiste una base rispetto alla quale la matrice della forma `e 0 1

1 0

;

(17)

7. SPAZI ORTOGONALI E UNITARI SUI CAMPI FINITI 13

2) se n = 2 e V non ha vettori isotropi non nulli, esiste una base rispetto alla quale la matrice della forma `e 1 0

0 −

;

3) se n = 3, per ogni λ ∈ K esiste v ∈ V , non nullo, tale che (v, v) = λ. In particolare in V ci sono vettori isotropi non nulli.

Dimostrazione.

1) Sia v1un vettore isotropo non nullo di V . Poichè la forma è non-degenere, esiste w ∈ V tale che (v1, w) 6= 0_K. In particolare v1 e w sono linearmente indipendenti. Ponendo w1 := (v1, w)⁻¹w si ha (v1, w1) = 1_K. Sia (w1, w1) = α. Definendo v2 := −^α₂v1+ w1 si ottiene una base {v₁, v₂} di V rispetto alla quale la matrice della forma è quella voluta.

2) Per il Teorema 5.3, esiste una base {w1, w2} di V rispetto alla quale la forma ha matrice diagonaleα 0

0 β

. Per il punto 2) del Lemma 6.1, possiamo supporre α = α²₁ⁱ,

−β = β₁²^j con i, j ∈ {0, 1}. Quindi, rispetto alla base B =α⁻¹₁ w₁, β₁⁻¹w₂ la matrice della forma `e

ⁱ 0 0 −^j

, i, j ∈ {0, 1} . Se fosse i = j il vettore e1+ e2=1

1

sarebbe isotropo. Scambiando eventualmente w1

con w2 possiamo pertanto supporre i = 0, j = 1, da cui l’asserto.

3) Sia B una base di V rispetto alla quale la forma ha matrice diagonale J . Almeno due degli elementi della diagonale principale di J sono entrambi dei quadrati o entrambi dei non quadrati. Pertanto, a meno di moltiplicazioni dei vettori della base per e di un loro riordinamento, possiamo supporre J = diag(α, α, β). Siano x, y ∈ K tali che

x²+ y²= λ − β α .

Detto v il vettore di V tale che vB = (x, y, 1)^T si ha v 6= 0_V e (v, v) = λ.

(7.2) Teorema Sia V uno spazio ortogonale o Hermitiano di dimensione n ≥ 2 su un campo finito K di ordine q. Supponiamo inltre che sia un non-quadrato in K.

1) se q `e dispari e V `e ortogonale, allora esiste una base rispetto alla quale la forma ha una delle seguenti matrici:

(7.3) J₁ = 0 Im

I_m 0

, J₂ =







0 Im−1

Im−1 0

1 0

0 −







, se n = 2m;

(18)

(7.4) K1 =



 1

0 Im

I_m 0



, K2 =



 1

0 Im

I_m 0



, se n = 2m + 1.

Le matrici J1 e J2 non sono congruenti. Analogamente K1 e K2 non sono congruenti.

2) Se V `e Hermitiano, esiste una base ortonormale di V . Dimostrazione.

1) Supponiamo n = 2m e ragioniamo per induzione su m.

Il caso m = 1 `e dimostrato nel Lemma 7.1. Supponiamo quindi m ≥ 2 e consideriamo una base ortogonale {v1, . . . , vn} di V . Il sottospazio hv₁, v2, v3i `e non-degenere. Per il punto 3) del Lemma 7.1 ha un vettore isotropo non nullo w. Inoltre ha un vettore u tale che (w, u) 6= 0. Dal punto 1) dello stesso Lemma segue che il sottospazio non singolare W = hw, ui ammette una base {w₁, w₂} tale che (w₁, w₁) = (w₂, w₂) = 0, (w₁, w₂) = 1.

Consideriamo la decomposizione ortogonale

V = W ⊥ W^⊥.

Applicando l’ipotesi induttiva a W^⊥, che ha dimensione n − 2, concludiamo che esiste una base di V rispetto alla quale la forma ha matrice una delle seguenti:





 0 1 1 0

0 I_m−2

I_m−2 0







≡ J₁,





 0 1 1 0

0 Im−3

I_m−3 0

1 0 0 −







≡ J₂.

La dimensione di un sottospazio totalmente isotropo massimale relativamente a J1 `e m. Infatti il sottospazio generato dai primi m vettori della base `e totalmente isotropo.

D’altra parte, per il punto i) del Lemma 3.4, un sottospazio totalmente isotropo non pu`o avere dimensione superiore a m = ⁿ₂.

Invece la dimensione di un sottospazio totalmente isotropo massimale relativamente a J₂ è m − 1. Infatti il sottospazio W , generato dai primi m − 1 vettori della base, è totalmente isotropo. Se non fosse massimale, per il Lemma 3.7 sarebbe contenuto in un sottospazio isotropo massimale U , necessariamente contenuto in W^⊥. Ma W^⊥ ha dimensione n−(m−1) = m+1 e coincide quindi con il sottospazio generato da W e dagli ultimi due vettori della base. Un calcolo diretto mostra che W è isotropo massimale in W^⊥. Si conclude che J₁ non è congruente a J₂.

(19)

7. SPAZI ORTOGONALI E UNITARI SUI CAMPI FINITI 15

Supponiamo ora n = 2m + 1 e ragioniamo per induzione su n.

Se n = 1 l’asserto `e ovvio. Se n ≥ 3, esiste v ∈ V tale che (v, v) = 1. Quindi V = hvi ⊥ hvi^⊥.

La restrizione della forma al sottospazio di dimensione 2m deve avere matrice (rispetto a una data base) congruente a una delle due precedenti. Pertanto vi sono, al massimo, due matrici simmetriche non congruenti in GL2m+1(K). D’altra parte K1 e K2 non sono congruenti. Infatti, se lo fossero, esisterebbe P non singolare tale che

P^TK1P = K2 = K1

da cui

(det P )²det K₁ = det K₁. In tal caso sarebbe un quadrato, contraddizione.

2) Se K = F²q e V `e Hermitiano, sappiamo che esiste una base ortogonale {v1, . . . , vn} di V , ossia una base rispetto alla quale la forma ha matrice diagonale

diag(λ₁, . . . , λ_n), λ_i= λ^σ_i = λ^q_i, 1 ≤ i ≤ n.

Per il punto 4) del Lemma 6.1, per ogni i ≤ n esiste µi ∈ Fq² tale che µiq+1 = λ⁻¹_i .

Ne segue che la base

B := {µ₁v₁, . . . , µ_nv_n}

`

e ortonormale.

(20)

(21)

Capitolo II

I gruppi classici

Per la descrizione dei gruppi di matrici ci siamo basati sul libro di Carter [2].

1 Il gruppo generale lineare

Siano K un campo e n un numero naturale ≥ 1.

(1.1) Definizione Il gruppo delle matrici n × n, a elementi in K, con determinante 6= 0, si dice gruppo generale lineare di rango n su K, e si indica con GLn(K).

Per il Teorema di Binet, l’applicazione

δ : GL_n(K) → K^∗

tale che A 7→ det A, è un epimorfismo di gruppi moltiplicativi. Il nucleo di δ è costituito dal gruppo speciale lineare SLn(K) delle matrici di determinante 1. SLn(K) è quindi un sottogruppo normale di GL_n(K). Inoltre, dal teorema degli omomorfismi segue che

GL_n(K)

SLn(K) ∼ K^∗.

Indichiamo con Z il centro di GLn(K), cio`e l’insieme degli elementi che commutano con tutti gli altri. Esso risulta essere l’insieme delle matrici scalari λI con λ ∈ K^∗.

(1.2) Definizione

• Si dice gruppo proiettivo generale lineare il quoziente GLn(K)

Z := PGLn(K).

• Si dice gruppo proiettivo speciale lineare il quoziente SL_n(K)

Z ∩ SL_n(K) := PSL_n(K).

17

(22)

Se K `e finito e ha ordine q tali gruppi si indicano rispettivamente con GLn(q), SLn(q), PGLn(q), PSLn(q).

Sia data una forma bilineare o Hermitiana, rispetto un automorfismo σ di K:

(1.3) ( , ) : Kⁿ× Kⁿ→ K.

Ricordiamo che un’isometria di (1.3) `e un elemento g ∈ GLn(K) tale che (gv, gw) = (v, w), ∀ v, w ∈ Kⁿ.

Sia J la matrice di (1.3) rispetto alla base canonica B di Kⁿ. Poich`e ogni vettore v ∈ Kⁿ coincide con il proprio vettore coordinate vB si ha:

(v, w) = v^TJ w^σ, ∀ v, w ∈ V.

Ne segue che un elemento g di GLn(K) `e una isometria se e solo se v^TJ w^σ = (gv)^TJ (gw)^σ = v^T(g^TJ g^σ)w^σ, ∀ v, w ∈ Kⁿ

se e solo se (applicando la precedente condizione ai vettori della base canonica):

g^TJ g^σ = J.

(1.4) Lemma

1) L’insieme H delle isometrie di (1.3) `e un sottogruppo di GLn(K).

2) Per ogni matrice invertibile P , il coniugato P⁻¹HP `e il gruppo delle isometrie del prodotto scalare la cui matrice, rispetto alla base canonica, `e

J⁰ = P^TJ P^σ.

Dimostrazione. Per quanto sopra osservato si ha:

H :=h ∈ GL_n(K) | h^TJ h^σ = J . 1) I ∈ H. Se x, y ∈ H, allora

(xy)^TJ (xy)^σ = y^T(x^TJ x^σ)y^σ = y^TJ y^σ = J, da cui xy ∈ H. Inoltre x⁻¹ ∈ H. Infatti, da x^TJ x^σ = J segue

(x^T)⁻¹x^TJ x^σx⁻^σ = (x^T)⁻¹J x^−σ,

(23)

2. IL GRUPPO SIMPLETTICO 19

ossia J = (x⁻¹)^TJ x⁻¹σ

.

2) Per ogni h ∈ H, si ha: (P⁻¹hP )^TJ⁰(P⁻hP )^σ = J⁰ se e solo se h^TJ h^σ = J .

(1.5) Osservazione E importante osservare che due gruppi coniugati H e P` ⁻¹HP sono isomorfi, tramite l’isomorfismo h 7→ P⁻¹hP . Pertanto, se B e B⁰ sono due basi di Kⁿ, e J, J⁰ le corrispondenti matrici di una stessa forma, i relativi gruppi di isometrie sono in generale diversi, ma hanno la stessa struttura, essendo isomorfi.

2 Il gruppo simplettico

(2.1) Definizione Il gruppo delle isometrie di uno spazio simplettico si dice gruppo simplettico e si indica con Sp_n(K).

Per quanto visto nel capitolo precedente, uno spazio simplettico ha dimensione pari n = 2` e ammette una base rispetto alla quale il prodotto ha matrice

J =

0 I`

−I_` 0

. Pertanto, a meno di coniugio, si pu`o supporre

Sp_2`(K) =g ∈ GL_2`(K) | g^tJ g = J .

Notiamo che he1, . . . , e`i, `e un sottospazio totalmente isotropo massimale.

Si dimostra che tutti gli elementi di Sp_2`(K) hanno determinante 1.

Inoltre il centro di Sp_2`(K) `e il sottogruppo generato da −I.

(2.2) Definizione Si definisce gruppo proiettivo simplettico il gruppo quoziente:

Sp_2`(K)

h−Ii := PSp_2`(K).

Se K `e finito, di ordine q, tali gruppi si indicano rispettivamente con Sp_2`(q), PSp_2`(q).

3 I gruppi ortogonali in caratteristica 6= 2.

(3.1) Definizione Supponiamo che K abbia caratteristica diversa da 2. Il gruppo delle isometrie di uno spazio ortogonale su K si dice gruppo ortogonale

(24)

In generale, essendoci spazi ortogonali non isometrici, vi sono pi`u gruppi ortogonali. Nel caso in cui K `e finito, di ordine q, per quanto visto nel capitolo precedente esistono due spazi ortogonali non isometrici, definiti dalle seguenti matrici, in cui hi = K^∗.

Se n = 2`:

J₁ =

0 I_` I` 0

, J₂ =







0 I_`−1 I_`−1 0

1

−





 .

Se n = 2` + 1:

K₁ =



 1

0 I_` I` 0



, K₂ = K₁.

(3.2) Definizione Nel caso |K| = q, dispari, le notazioni per i gruppi ortogonali:

• O⁺_2`(q) =h ∈ GL_2`(q) | h^TJ1g = J1 ;

• O⁻_2`(q) =h ∈ GL_2`(q) | h^TJ2g = J2 ;

• O⁺_2`+1(q) =h ∈ GL_2`+1(q) | h^TK₁g = K₁ .

Notiamo che, in dimensione dispari, nonostante vi siano due spazi ortogonali non isometrici, i relativi gruppi di isometrie coincidono. Infatti, essendo K₂ multipla di K₁, si ha:

h^TK2g = K2 ⇐⇒ h^TK1g = K1 ⇔ h^TK1g = K1.

Tutti questi gruppi sono costituiti da matrici di determinante ±1. Le loro intersezioni con il gruppo speciale lineare si indicano rispettivamente con

• SO⁺_2`(q);

• SO⁻_2`(q);

• SO_2`+1(q).

(3.3) Definizione Si chiama sottogruppo derivato di un gruppo G e si indica con G⁰ il sottogruppo generato dai commutatori, ossia:

G⁰:=x⁻¹y⁻¹xy | x, y ∈ G .

Segue da tale definizione che il sottogruppo derivato di un qualunque gruppo di matrici

`

e costituito da matrici di determinante 1, ossia che GL_n(K)⁰ ≤ SL_n(K).