Lavoro ed energia
•Lavoro di una forza
•Energia cinetica – teorema dell’energia cinetica
•Forze conservative e energia potenziale
•Forze non conservative ed energia totale
•Conservazione dell’energia
Il lavoro di una forza applicata ad un sistema è la quantita di energia che la forza
scambia con quel sistema. Esso è una grandezza scalare ed è definito dall’integrale del prodotto scalare della forza lungo lo spostamento.
E la componente della forza parallella allo spostamento che compie lavoro.
L’u ità di isu a del lavo o è il Joule 1 J = 1 N. . E u a ua tità alge i a :
F
d F
d F d
F
L . cos( ) cos( )
dy F dx F r
d r F
L y
b
a
b
a x
).
(
F
d
L >0 L < 0 L =0
Se piu forze agiscono sul sistema, il lavoro complessivo è la somma algebrica dei lavori di ogni forza.
d
d
F
F
La forza elastica è definita dalla legge di Hooke. Il lavoro compiuto dalla forza elastica si ottiene calcolando
2 2
1 2
1 1
2
1
2 2
2 2
2 1
1 2
( )
1 1
2 2 2 2
x x
x x x
x x
x
x
L F d x kx d x
x x
k xd x k kx kx
M
F
x
Il lavoro compiuto dalla mano per allungare la molla di x risulta : 0 1 2
x 2
L kx
Caso di una forza non costante : il caso della forza elastica
Una molla è caratterizzata dalla sua forza di richiamo
dove k è la costante elastica.
x k F
Per x1 < x2, L >0 mentre per x1 > x2, L <0. Per una corsa andata e ritorno, Ltot=0.
Energia cinetica
) ( 2
) 1 ( 2
1 ).
(
0 2 2
0 0
0
0
x mV x
mV dV
V m dx dx V dV m dx F L
dx V dV V
dx dV dt
dx dx dV dt
a dV a
m F
dx F r
d r F L
x
x x
x x
x x b
a
x
x x
Si definisce l’e e gia cinetica :
22 1 mV Ec
E
cL
Teorema dell’e e gia cinetica : il lavoro compiuto dalla risultante delle forze applicate sulla particella di massa m lungo un percorso è uguale alla variazione di energia cinetica lungo questo percorso.
Potenza : lavoro per unita di tempo
dt P dL
t
P L is tan tan ea
Per una forza costante nel tempo : F V
t F d t
d Pi F
Forze conservative e non conservative
Esistono due tipi di forze : Forze conservative :
•Il lavoro compiuto è integralmente trasformato in energia cinetica, o ’ è energia dissipata lungo il percorso.
•Il lavoro complessivo su una particella che si muove su un percorso chuiso è nullo.
•Il lavoro su una particella che si muove fra due punti qualsiasi non dipende del percorso seguito.
Lungo il percorso della particella sulla qualle agisce la forza conservativa, l’e e gia è conservata e si divide in energia cinetica e energia potenziale.
Esempio : forza elastica, forza gravitazionale.
Forze non conservative :
Il lavoro compiuto non è trasformato in energia cinetica ne potenziale ma dissipato in energia termica.
Esempio : attrito.
m
A
F B
F
Energia Potenziale
L’e e gia potenziale è il lavoro che puo compiere un sistema a seconda della posizione delle sue componenti.
Es. Forza gravitazionale
) 0 ( )
0 ( )
(
) 0 ( )
( )
(
0 0
p p
y
p y
p
E mgy
E dy
mg
E dy
y F y
E
x
p x
p c
dx x F E
E E
L
0
) (
Prendiamo per convenzione :
E p (0) 0 E p ( y) mgyy
0 -g
Es. Forza elastica :
2
0 2
) 1 0 ( )
(x kxdx E kx
E p
y p
Prendiamo per convenzione E
p(0) =0 per la posizione d’e uili io della molla.
L’e e gia potenziale dipende solo della posizione della particella. Si nota che l’e e gia potenziale si definisce trane una costante, ma ci interessiamo principalmente alle sue
variazioni. Anche l’e e gia cinetica, presso un altro sistema di riferimento in traslazione per esempio, sarà definita trane una costante.
Conservazione dell’e e gia
Se solamente forze conservative agiscono sulla particella, la variazione dell’e e gia cinetica compensa la variazione di energia potenziale o l’energia mecanica è
conservata :
p
0
c
E
E
Per le forze non conservative : la variazione di energia mecanica è uguale al lavoro delle forze dissipative:
nc p f
c
E L
E
La forza dissipativa produce energia interna (calore).
Ma l’e e gia totale è conservata :
int erna
0
meca nica
U
E
Esempio : un blocco arriva su una molla con un energia cinetica Ec. Comprime la molla perdendo tutta la sua energia cinetica. La molla compressa ha immagazzinato energia potentiale. La molla allora si distende e il blocco ritrova la sua energia cinetica iniziale. L’e e gia cinetica del blocco è stata trasferita alla molla in energia potenziale e ri-trasferrita al bloco in energia cinetica, perche la forza elastica (di richiamo) della molla è conservativa e non dissipa energia. Il lavoro complessivo compiuto dalla forza elastica sul percorso del blocco è nullo.
